Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

8/16/2019 Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

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Ecuaciones deChapman-Kolmogorov

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Ecuaciones de Chapman-

Kolmogorovl Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

proporcionan un método para calcular las

probabilidades de transición de “n” pasosl

( n )

lij

M ( m ) ( n m)

ik kj

para toda i!"#"$"."%

&!"#"$"..%k 0

l y cual'uier m#"$"("n-# y nm)#"m)$"(

l *stas ecuaciones se+alan 'ue al ir del

estado “i” al estado “&” en “n” pasos" el

proceso estar, en algn estado “” después

p p p


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l de e/actamente m 0menor 'ue n1 pasos.

l Los casos especiales de m# y mn-#

conducen a las e/presiones( n )

ij

M ( n 1)

ik kj

( n )

ij

k 0

M ( n 1)

ik

pkj

k 0

l para todos los estados i y &.

p p p

p p


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l *stas e/presiones 'ue las

probabilidades de transición de n pasos se

puedan obtener a partir de las probabilidadesde un paso de manera recursiva.

l 2ara n$

( 2)

ij

M

pik p

kj

k 0

l donde pi& son los elementos de la matri3 20$1

p


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l 4otemos 'ue estos elementos se obtienen al

multiplicar la matri3 de transición de un paso

por s5 mismo" esto es"( 2) 2

ij

l 6s5 mismo( n )

ij P P( n

1)

Pn

P(

n

1) P

p P P P

p


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l *&ercicio7

l *l clima en el pueblo de 8an 9uan puede

cambiar con rapide3 de un d5a a otro. 8inembargo" las posibilidades de tener clima

seco 0sin lluvia1 ma+ana es de alguna forma

mayor si hoy est, seco" es decir" no llueve.

*n particular" la probabilidad de 'ue ma+anaesté seco es de !.: si hoy est, seco" pero es

de sólo !.; si hoy llueve.


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l


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l 2ara el caso del clima" se usar, las fórmulas

anteriores para calcular las diferentes

matrices de transición de n pasos a partir dela matri3 2 0de un paso1.

p ( 2) PP

0.8 0.2 0.8 0.2

0.6 0.4 0.6 0.4


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l 6s5" si el clima est, en el estado ! 0seco1 en

un d5a particular" la probabilidad de estar en

el estado ! dos d5as después es de !.?;

p( 2)

PP

0.76

0.72

0.24

0.28

l @e manera similar" si el clima est, en el

estado # ahora" la probabilidad de estar en elestado ! dos d5as después es de !.?$


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l Las probabilidades del estado del clima A" B

o d5as a futuro también se pueden leer de la

misma forma a partir de las matrices de transiciónde A" B y pasos 'ue se calculan a continuación

p(3) P

3 PP

2

0.8 0.2 0.76 0.24 0.752 0.248

0.6 0.4 0.72 0.28 0.744 0.256


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p (

4) P

4 PP

3

l Dbservemos 'ue la matri3 de transición tiene

una interesante caracter5stica entre los elementos

'ue la forman. Las probabilidades de estas matricesse denominan probabilidades del estado estable

de la cadena de %arov

0.8 0.2 0.752 0.248 0.75 0.25

0.6 0.4 0.744 0.256 0.749 0.251


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l Calcular la matri3 de transición de dos pasospara el problema de inventarios

P ( 2)

P 2

P ( 2)

P 2

0.08 0.184 0.368 0.368 0.08 0.184 0.368 0.368

0.632 0.368 0 0 0.632 0.368 0 0

0.264 0.368 0.368 0 0.264 0.368 0.368 0

0.08 0.184 0.368 0.368 0.08 0.184 0.368 0.368

0.249 0.286 0.300 0.165

0.283 0.252 0.233 0.233

0.351 0.319 0.233 0.097

0.249 0.286 0.300 0.165


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l @ado 'ue se tiene una c,mara en e/istencia

al final de la semana" =Cu,l es la

probabilidad de 'ue no haya c,maras eninventario dos semanas después>

P( 2)

P2

0.249 0.286 0.300 0.165

0.283 0.252 0.233 0.233

0.351 0.319 0.233 0.097

0.249 0.286 0.300 0.165


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l @ado 'ue se tiene una c,mara en e/istencia

al final de la semana" =Cu,l es la

probabilidad de 'ue no haya c,maras eninventario dos semanas después>

P( 2)

P2

0.249 0.286 0.300 0.165

0.283 0.252 0.233 0.233

0.351 0.319 0.233 0.097

0.249 0.286 0.300 0.165

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