ECUACIONES DE LA RECTA - Archimedes' Tub · 2020. 8. 17. · ECUACIONES DE LA RECTA Ԧ Para...

© 2020 Urtzi Buijs Martín

ECUACIONES DE LA RECTAԦ

Para determinar la ecuación de una recta son necesarios dos elementos.

Si conocemos un punto de la recta y un vector director Ԧ podremos obtener las siguientes ecuaciones de la recta…


ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIÓN VECTORIAL

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

ECUACIÓN CONTINUA

Ԧ


Ԧ

Las coordenadas del punto también son las coordenadas del vector con origen en el origen decoordenadas…

… y extremo en el punto . Este vector se denomina:


ԦԦ

El vector director Ԧ tiene coordenadas (

…que son precisamente las coordenadas del punto extremo del vector equipolente aԦ con origen en el

origen de coordenadas.


DATOS

Ԧ

Ԧ

A partir de estos datos queremos obtener las coordenadas de cualquier punto de la recta.


Ԧ

Ԧ


Ԧ

Ԧ

Para ello nos fijamos que las coordenadas ( , ) del punto son

también las coordenadas de su vector de posición .


Ԧ

Ԧ


Ԧ

Ԧ

Queremos determinar las coordenadas del a partir de las coordenadas

de los vectores y Ԧ utilizando las operaciones con vectores.


Ԧ

Ԧ

Podemos considerar el vector equipolente a Ԧ que tiene su origen en el punto y multiplicarlo por un número real λ para que su extremo se sitúe sobre el punto


Ԧ

Ԧ

λ ∙ Ԧ

λ ∙

λ ∙

λ ∈ ℝ

De este modo tenemos que la suma + λ ∙ Ԧ es precisamente el vector


Ԧ

Ԧλ ∙

λ ∙

λ ∈ ℝ0 ∈ ℝ

Por ejemplo, si el escalar λ = 0 Tenemos que el punto coincide con el punto .


Ԧ

λ ∈ ℝ∈ ℝ0 > 𝜆

Ԧλ ∙

λ ∙

Si multiplicamos por un escalar λ < 0 obtenemos los puntos de la rectasituados al otro lado del punto .


ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Ԧλ ∙

λ ∙

𝜆 ∈ ℝ



Ԧλ ∙

λ ∙𝜆 ∈ ℝ

λ ∙

La ecuación vectorial de la recta podemos verla en coordenadas y realizar las operaciones del miembro derecho:



Ԧλ ∙

𝜆 ∈ ℝλ ∙ λ ∙



Ԧλ ∙

λ ∙ λ ∙𝜆 ∈ ℝ

De este modo obtenemos una igualdad entre dos vectores que equivale a que ambas coordenadas son iguales entre si.



Ԧλ ∙

λ ∙

λ ∙𝜆 ∈ ℝ

Llegamos a dos ecuaciones que también dependen del parámetro 𝜆 ∈ ℝ



Ԧλ ∙

ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝλ ∙



Ԧλ ∙


λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ ∙Podemos ahora tomar la primera de estas ecuaciones y despejar el parámetro λ .



Ԧλ ∙


λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ- .. y obtenemos λ

igualado a un cociente



Ԧλ ∙


λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ-

λ ∙

Podemos despejar el parámetro λtambién en la segunda ecuación.



Ԧλ ∙


λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ-

λ-

Y tendríamos que el parámetro λ es igual a dos cocientes…



Ԧλ ∙


λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ-

λ-

…Y estos dos cocientes han de ser iguales dando lugar a la siguiente ecuación:


ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA


Ԧλ ∙


λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

--Todos los puntos( , ) que satisfagan esta ecuación son puntos de la recta.


Ԧ

EJEMPLOPodéis repetir los pasos que hemos dado en forma teórica con el siguiente ejemplo que dejamos como ejercicio:


Ԧ

Ԧλ ∙EJEMPLO


Ԧ

λ ∙EJEMPLO


ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA

λ ∙ λ ∈ ℝ



λ ∙λ ∙

λ ∙ λ ∈ ℝ


λ ∙ λ ∙


λ ∙ λ ∈ ℝ


λ

λ


λ ∙

∙

∙

λ ∈ ℝ


ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA λ

λ


λ ∙

λ ∈ ℝλ



λ


λ ∙

λ ∈ ℝ

λ



λ


λ ∙

λ ∈ ℝ

λ-


ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA

λ

λ


λ ∙

λ ∈ ℝ

λ-

λ



λ

λ


λ ∙

λ ∈ ℝ

λ-

λ-


ECUACIÓNCONTINUADE LA RECTA


λ

λ


λ ∙

λ ∈ ℝ

--

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