Revista Colombiana de Física, vol. , No. de 20

Ecuaciones de MaxwellMaxwell equations

Julian Ricardo Galvis Diaz1, Andrea Cardenas2

1Universidad Industrial de Santander.

Recibido viernes 8 de agosto de 2014

ResumenLas ecuaciones de Maxwell son un conunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagné -ticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimenta-les debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplaza -miento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnetico.

Palabras claves: James Clerk Maxwell, campo electromagnético.

AbstractMaxwell equations are a set of four equations which fully described electromagnetic phenomena. The biggest contribution of James Clerk Maxwell was collect this equations, in long years of experimental results owning to Coulomg, Ampere, Faraday and others, introducing the concepts field and stream of displacement and unifying electric and magnetic field in one concept: the electromagnetic field.

Keywords: James Clerk Maxwell, electromagnetic field.

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1. Introducción

Las ecuciones de maxwell vistas en su forma general son:

a. ∇ ∙ D⃗=ρ

b. ∇ x E⃗=−∂ B⃗∂ t

c. ∇ ∙ B⃗=0

d. ∇ x H⃗= j⃗+ ∂ D⃗∂ t

2. Ecuaciones de maxwell en medio materiales

Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asu-miendo que estos son lineales, homogéneos, isótropos y no disper-sivos, podemos encontrar una relación entre los vectores intensi-dad eléctrica e inducción magnética a través de dos parámetros conocidos como permitividad magnética, esta definida como:

a. D⃗=Ɛ E⃗=Ɛo Ɛr E⃗

b. B⃗=μ H⃗=μo μr H⃗Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E / D y B / H es lineal. Si esta relación es lineal, matemática-mente se puede decir que Ɛ y µ están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque la matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función Ɛ (x, y, z), si en esta diagonal uno de los ele-mentos es diferente al otro se dice que es un medio anisótro-po. Estos elementos también son llamados constantes dieléc-tricas y, cuando estas constantes no dependen de su posición, el medio es homogéneo.

Los valores de Ɛ y µ en medios lineales, no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en me-dios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escala-

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res, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.

3. Demostracion de las ecuaciones de maxwell en forma diferencial e integral

3.1 Ley de Gauss

3.1.1 Forma diferencial

La canrga encerrada Qenc, puede determinarse mediante una sumatoria si se trata de cargas puntuales, o mediante una integra-ción si se trata de distribuciones continuas. En este ultimo caso

Qenc = ∫Vo

❑

ρdτ

Pero si la sustituimos por la definición de carga encerrada se tiene

∫So

❑

E⃗ ∙ d s⃗= 1εo∫Vo

❑

ρdτ

Aplicando el teorema de la divergencia (teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo de salida neto de una región), al primer miembro de la ecuación anterior

∫Vo

❑

¿¿

Dado que esta igualdad debe cumplirse para un volumen Vo cual-quiera, necesariamente los integrandos de ambos miembros deben ser iguales, se tendrá entonces,

∇ ∙ E⃗= ρεo

3.1.2 Forma integral

Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse:

Φ=∮dV

❑

E⃗ ∙ d A⃗= 1ε o∫V

❑

ρ dV=Qaεo

Donde Φ es el flujo eléctrico, E⃗ es el campo eléctrico, d A⃗ es un

elemento diferencial de área A sobre la cual se realiza la integral,

Qa es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad

de carga en un punto V y ε o es la permitividad eléctrica del vacio.

3.2 Ley de gauss para campo magnético

3.2.1 Forma diferencial

Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y savart (indica el campo magnético creado por co-rrientes eléctricas estacionarias) para una distribución de corriente de volumen

B (r )=μo

4 π∫ J (r ´ ) x

(r−r ´ )(r−r ´ )3 dr ´

Y, operando se llega a que puede escribirse como

B = ∇ x A donde A = μ0

4 π∫ J (r ´ )

(r−r ´ )dr ´

De donde es inmediato que ∇ ∙ B=0

Para demostrar la ley de Gauss para el campo magnético partiendo de la ley de Biot y Savaart hacemos uso de la identidad

r−r ´

(r−r ´ )3=−∇ 1

(r−r ´ )

Lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como

B (r )=μo

4 π∫∇ 1

(r−r ´ )x J (r ´ ) dr ´

Y aplicando la identidad vectorial:

∇ x (∅ A )=(∇∅ ) x A+(∇ x A)

Podemos separar el campo en dos integrales

B(r) = μo

4 π∫∇ x

J (r ´ )(r−r ´ )

dr ´−μo

4 π∫ ∇ x J (r ´ )

(r−r ´ )dr ´

La segunda integral se anula porque J es función de r´ no de r. En la primera se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre r´ y el otro sobre r, resultando finalmente

B(r) = ∇ x ¿

3.2.2 Forma Integral

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Autor principal et al.: Titulo

La ley de Gauss para el campo magnético equivale a decir que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo

∮B ∙ ds=0

La demostración es inmediata a partir de la forma diferencial, sin más que aplicar el teorema de Gauss

∮dr

❑

B ∙ dS=∫τ

❑

∇ ∙ B dτ=∫τ

❑

0 dτ=0

3.3 Ley de Ampere

3.3.1 Forma diferencial

Para demostrar esta ley partiendo de la ley de Biot y Savart se aplica que

B=∇ x A donde A=μo

4 π∫ J (r ´ )

(r−r ´ )dr ´

Aplicando que

∇ x B=∇ x (∇ x A )=∇ (∇ ∙ A )−∇2 A

Resultan dos espreciones integrales. La primera se anula demos-trando que este campo A es senoidal (lo cual no es trivial). La

segunda, ras aplicar las propiedades de 1

r−r ´ resulta ser igual a

μo J

3.3.3 Forma integral

A partir de la forma diferencial de la Ley de Ampere puede obte-nerse una expresión integral equivalente

∮r

❑

B ∙ dr=μo I donde I =∫S

❑

J ∙ dS

Que, en palabras, expresa que la circulación de B a lo largo de la curva cerrada r arbitraria (interpretable como la rotación neta de B al recorrer esta curva) es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa una superficie S apoyada en la curva r y orientada según la regla de la mano derecha. La demostración es inmediata sin más que aplicar el teorema de Stokes:

∮r

❑

B ∙ dr=∫s

❑

(∇ x B ) ∙ dS=μo∫s

❑

J ∙ dS=μo I

En la expresión integral de la ley de Ampere en la elección de S es arbitratia, con tal de que este apoyada en r. Esto es una consecuen-

cia de que la densidad de corriente estacionaria en un campo sole-noidal.

3.4 Ley de Faraday – Lenz

3.4.1 Forma diferencial

Por medio del teorema de Stokes se puede obtener

∇ x E⃗=−∂ B⃗∂ t

Esta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday, junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell, unificando asi al elec-tromagnetismo. En el caso de un inductor con N vueltas de alam-bre, la forma se transforma en

V ε=−NdΦdt

Donde Ve es el voltaje inducido y dΦdt

es la tasa de variación

temporal del flujo magnético Φ. El sentido del voltaje inducido (el signo negativo en la formula) se debe a la ley de Lenz

3.4.2 Forma integral

Para transformar la ley de Faraday a su forma diferencial se aplica el teorema de Stokes

∮E ∙ dL=∬ (∇ x E ) ∙ ds=−∬ ∂ B∂ t

∙ ds

4. Ecuaciones de onda para dielectricos

4.1 Ecuacion de onda para el campo eléctrico

∇ x (∇ x E⃗ )=−∂∂ t

(∇ x B⃗)

Sustituyendo ∇ x B⃗ y aplicando identidad de rotacional tenemos:

−∇2 E⃗+∇ (∇ ∙ E⃗ )=−∂∂ t

μo(J⃗ +ε o∂ E⃗∂ t

)

Ahora bien, sabemos que la segunda parte del lado izquierdo es cero y J es cero, quedándonos solo

−∇2 E⃗=−μo εod2 E⃗d t2

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Ahora, igualando a cero y sabiendo que μo ε o=1

c2 siendo c la

velocidad de la luz, tenemos la ecuación de onda para E

∇2 E⃗− 1C2

d2 E⃗d t2 =0

4.2 Ecuacion de onda para campo magnético

∇ x (∇ x B⃗ )=∇(μo(J⃗ +ε od E⃗dt ))

Aplicando las mismas identidades que con E y sabiendo que J también es cero, nos queda:

−∇2 B⃗= 1

C2

∂∂t

(∇ x E⃗)

Sustituyendo∇ x E⃗ e igualando a cero, tenemos la ecuación de

onda

∇2 B⃗− 1C2

d2 B⃗d t2 =0

5. Conclusiones y Agradecimientos

James Clerk Maxwell, fue una de las mentes matemáticas más preclaras de su tiempo, cuya influencia se dejo notar grandemente en la física habiendo hecho contribuciones fundamentales en la comprensión de la naturaleza, abriendo asi el camino para la in-vención de lo que hoy conocemos como tecnologías de la informa-ción y la comunicación.

Sus aportaciones fueron tan importantes que en 1931, con motivo al centenario de su nacimiento, Albert Einstein describió su trabajo como el más profundo y provechoso que la física ha experimenta-do desde los tiempos de Newton

6. Referencias

(1)Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación. Referencias documentales para fuentes de información electróni-cas. Bogotá: Icontec NTC 4490, 1998, 23 p. (NTC 4490).(2)Luar, Gom. Ecuaciones de Maxwell. 2002. http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell(3)Gomez, Rodrigo. Ley de Gauss. 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss(4)Aruca, Lom. Ley de Faraday. 2008. http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Faraday

(5)Reynold, Arthur. Ley de Ampere. 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Amp%C3%A8re(6) Cervantes, Jose. Aplicaciones ley de Maxwell. 2008. http://www.fisicanet.com.ar/fisica/electrodinamica/ap05_electrodinamica.php#.UOtI-OQ3t3p(7) Flores, Juan Carlos. Maestros de la física. 2008. http://www.santillana.cl/EduMedia/fisica4.pdf(8) Calle, Rodolfo. Elecromagnetismo. 2009. http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/112/htm/sec_6.htm

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