Ecuaciones de primer grado con una incógnita
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCÓGNITA
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CONCEPTOS GENERALES :
Igualdad.Ecuación.Características principales.Grado de una ecuación.Reglas. Solución de una ecuación y ejemplo.
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IGUALDAD.
• Dos cantidades son iguales o equivalentes cuando tienen el mismo valor.
• Ejemplo:
6×3=18 9×2=18 9+9=18 20 + 2=18
son expresiones equivalentes ya que todas valen 18 por lo cual podremos decir que son cantidades iguales.
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ECUACIÓN.
• Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
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CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES.La variable x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 40 y los números 10 y 20 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
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GRADO DE UNA ECUACIÓN.• El grado de una ecuación se obtiene del término de mayor grado que
contenga a la(s) incógnita(s).
• Ejemplos
1. La ecuación 2x + 3 = 5, es de primer grado, porque la incógnita tiene exponente 1
2. La ecuación x² − 5x + 6 = 0, es de segundo grado, porque la incógnita tiene exponente 2
3. La ecuación x + y = 6, es de primer grado, porque las variables tienen exponente 1
• A las ecuaciones de primer grado se les llama lineales.
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REGLAS .
• El axioma fundamental de las ecuaciones es “si dos cantidades iguales verifican operaciones iguales los dos resultados serán iguales”
De este axioma se derivan las siguientes reglas:
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Si a dos miembros de una ecuación se suma o resta, una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste:
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Si a dos miembros de una ecuación se multiplica o divide por una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Si a dos miembros de una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.
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Los términos están sumando en el uno de los miembros pasan al otro miembro restando y viceversa:
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Los términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación se puede suprimir:
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Los términos que están multiplicando en uno miembro pasa a al otro miembro dividiendo y viceversa.
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y EJEMPLO.
• Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación .mediante un ejemplo.
9x – 9 +108x-6x-92=16x+28+396
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• Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x o la incógnita del problema) en el otro miembro. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que:
Si se suma o se resta un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se dice que: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha) la ecuación quedará entonces así:
9x+108x-6x-16x=28+396+9+92
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.
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SIMPLIFICACIÓN.
• El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Si se efectúa la simplificación del primer miembro:
9x+108x-6x-16x=(9+108-6-16)x=95x• Y se simplifica el segundo miembro:
28+396+9+92=525• La ecuación simplificada será:
95x=525
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DESPEJE.
• Ahora es cuando se llega al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual se recuerda que:
Si se multiplica o se divide ambos miembros por un mismo número diferente de cero, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) y no hay ningún otro término sumando o restando en ese mismo miembro, se pasa dicho número al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.
Al pasar el 5 dividiendo al otro lado, lo que estamos haciendo en realidad es dividir ambos miembros entre 5. Entonces, en el miembro donde estaba el 5 obtenemos 5/5, que se anula quedando sólo la x (decimos que el 5 que multiplicaba desaparece del primer miembro). En el otro lado, en cambio, el 5 que agregamos dividiendo no puede anularse (decimos que aparece dividiendo como si hubiera pasado de un lado a otro con la operación convertida en su inversa).
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• Volviendo al ejemplo, debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:
x=525/95• El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad
en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Se puede resolver la fracción (numerador dividido entre denominador) si el resultado fuera exacto; pero como en este caso es decimal (525:95 = 5,52631578947) se simplifica y ésa es la solución:
x=105/19
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Elaboro: Ana Karen Jiménez Jiménez
Escuela Preparatoria Ofic. No. 55 Ollin Tepochcalli
Grado: 1 Grupo: 2 Turno: Vespertino.