Ecuaciones Diferenciales 1
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CENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA INDUSTRIALCENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA INDUSTRIAL
TEMA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
ALUMNO:
Alejandro Montes Ramírez Reg.9310440
PROFESOR:
Mtro. César Octavio Martínez Padilla
MATERIA:
Ecuaciones Diferenciales
a Miércoles 18 de Febrero de 2010
Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales
La ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
El orden: Ecuación Diferencial El orden: Ecuación Diferencial
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es la derivada más alta contenida en ella.
Ejemplo:
El grado: Ecuación Diferencial El grado: Ecuación Diferencial
El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando una ecuación diferencial esté dada forma polinomial.
Clasificación: Ecuaciones DiferencialesClasificación: Ecuaciones Diferenciales La ecuación diferencial contiene derivadas
Ordinarias de una o más variables dependientes con
respecto a una sola variable independiente.
Tipo
La ecuación diferencial contiene derivadas
Parciales parciales de una o más variables dependientes.
Primer orden F( x, y, y´)= 0
Segundo orden F ( x, y , y´, y´´)=0
Orden Tercer orden F( x, y, y´, y´´, y´´´)=0
… …
Orden n F(x, y´, y´´,…, y(n))=0
a) La variable dependiente y y todas
sus derivadas son de 1er. grado.
Lineales b) Cada coeficiente de y y sus derivadas
depende de solamente de la variable
independiente x (puede ser constante).
Grado
No lineales Las que no cumplen las propiedades
anteriores.
La solución: Ecuación Diferencial La solución: Ecuación Diferencial
La solución en una ecuación diferencial es una función que no tiene derivadas y que satisface a dicha función, esto quiere decir que al sustituir las funciones y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta un identidad.
La solución: Ecuación DiferencialLa solución: Ecuación Diferencial
Otra manera de comprender sobre ¿ qué es la solución en una ecuación diferencial ? es la siguiente:
Cuando una función , definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución en el intervalo.
Solución General: Ecuación DiferencialSolución General: Ecuación Diferencial
La solución general en una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).
Ejemplo: solución general Ejemplo: solución general
La función x + y2 = c es la solución de la ecuación diferencial:
Por que derivándola implícitamente tenemos: 1 + 2y ,o expresado en otra forma: 2yy´= -1
Sustituyendo (y) y (y´) obtenemos una identidad 2 donde
Solución Particular: Ecuación DiferencialSolución Particular: Ecuación Diferencial
La solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.
Ejemplo: solución parcialEjemplo: solución parcial
La función es la solución particular de la ecuación diferencial , por que derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos:
Por lo tanto 0=0
Interpretación GeométricaInterpretación Geométrica
La interpretación de una ecuación diferencial es la descripción matemática de la misma para ello se mostrara según su orden, tipo y grado:
Tipo Orden Grado Lineal
Ordinaria 1 1 sí
Parcial 1 1 sí
X2y´´+xy´+y = 0 Ordinaria 2 1 sí
yy´´+x3y = x Ordinaria 2 1 No
(Porque el coeficiente
de y´´ no depende de
x exclusivamente).
y´+ y = x/y Ordinaria 1 1 No
sen y´+ y=0 Ordinaria 1 ? No
Trayectorias Ortogonales Trayectorias Ortogonales
Las trayectorias ortogonales son las curvas que se intersectan formando un ángulo recto.
Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma: m1= , como
m2= -
m2= de la trayectoria ortogonal a la
primera ecuación.
Existencia e unicidad Existencia e unicidad
Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales:
¿Existe una solución al problema ?, si la hay ¿es única?
Para un problema de valor inicial , en una ecuación, se pregunta lo siguiente:
¿La ecuación diferencial tiene
Existencia soluciones ? ¿Alguna curvas solución pasa por el punto (x0, y0 )? ¿Cuándo podemos estar seguros que hay
Unicidad precisamente una curva solución que pasa por el punto (x0, y0 )?
Ejemplo: Problema de valor inicial con varias Ejemplo: Problema de valor inicial con varias solucionessoluciones
Ambas funciones y = 0 y y = x4/16 satisfacen la ecuación diferencial dx/dy = xy3/2, y la condición inicial y = 0, de modo que el problema del valor inicial
dx/dy = xy1/2 , y(0)= 0
tiene dos soluciones cuando menos. Como vemos en la figura, la graficas ambas funciones pasan por el mismo punto, (0, 0)
Campo direccionalCampo direccional
La terna (x, y, y´) determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x, y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional.
Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el campo direccional, en donde, para cada curva de la familia de solución, la tangente en cada uno de sus puntos tiene la misma dirección que el campo en ese punto.
Referencias Referencias
• http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm#VARIABLES DEPENDIENTES.
BibliografíasBibliografías
Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones al modeladoDennis G. Zill6ª edición;1997Ed. Thomson
Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones Dennis G. Zill 3ª edición; 1986Ed. Grupo Editorial Iberoamérica
Ecuaciones DiferencialesIsabel Carmona Jover 4ª edición; 1992Ed. PEARSON , Addison Wesley LogmanURL:
http://books.google.com.mx/books?id=fKAZmeIP0bAC&pg=PA23&dq=Que+es+el+grado+en+una+ecuacion+diferenciales&c
GlosarioGlosario
Variables dependientes.- Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, yo f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
Variable Independiente.- Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.