Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones Diferenciales
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DEFINICIONES: Es une ecuación que establece una relación ente la variable independiente x (puede existir más) y la variable dependiente y, y sus derivadas.
F (x , y , y , ,… , yn−1 )=0
TIPO:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.): Contiene sólo derivadas ordinarias, ejemplo:
3 y ,+3 xsen (x ) y=0
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (E.D.P.): Contiene sólo derivadas parciales, ejemplo:
δ2 μδ t2
+ δ2μδ x2=0
GRADO: Es el máximo exponente de la variable y/o sus derivadas, ejemplo:
( y ,)2+ y=xsen (x )
ORDEN: Es la máxima de las derivadas.
LINEAL: Una ecuación diferencial se dice lineal si se puede expresar de la siguiente manera,
SOLUCIONES:
EXPLÍCITA →→→→→ y=x2+2
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
IMPLÍCITA →→→→→xy−sen (x+ y2 )=3
ECUACIÓN LINEAL DE 1er ORDEN
y ,+ p ( x ) y=q (x)
MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE
Objetivo: Encontrar la función u(x ) tal que
u ( x ) ( y ,+ p ( x ) y )= ddx
( y u ( x ))
u ( x ) y ,+u ( x ) y p (x )= y ,u ( x )+ yu, (x)
u ( x ) y p ( x )= y dudx
u ( x ) p ( x )=dudx
∫ duu(x )
=∫ p ( x )dx
ln (u )+c=∫ p ( x )dx
u+ec=e∫ p ( x )dx
ecESCONSTANTE
u=e∫ p ( x )dx
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
x y ,=2 y+x3 cos ( x)
/*Lo primero que hay que hacer es tratar de dejar a esta ecuación 𝑥y ,=2 y+x3 cos (x ) expresada a la forma y ,+ p ( x ) y=q (x)para poder usar la fórmula*/
x y ,−2 y=x3 cos (x)
y ,−2xy=x2cos (x ) (1) /*Donde encontramos que p ( x )=−2
x */
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
u=e∫ p ( x )dx
u=e−2∫ dx
x
u=e−2 ln (x )
u=x−2
/*Multiplicando por x−2 a la ecuación (1) tenemos: */
x−2 y ,−2x−3=cos ( x)
ddx
( y x−2 )=cos (x )
∫ d ( y x−2 )=∫cos ( x )dx
y x−2=sen ( x )+c
∴ y=x2 sen ( x )+c x2
RESOLVER LA SIGUENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
(x2+1 ) dydx
+3 x3 y=6 xe−32x2
y,+
3 x3
(x2+1)y=
6 x e−32x2
(x2+1) (2)
u=e∫ p ( x )dx
u=e3∫ x3
(x2+1)dx
→→→ u=e3∫ (x− x
(x2+1 ))dx
u=e32x2−3
2ln (x2+1) →→→ u=e
32x2
(x2+1)−32
/*Multiplicando por e32x2
(x2+1)−3
2 a la ecuación (2) se obtiene*/
e32x2
(x2+1)−3
2 y ,+e32x2
(x2+1 )−52 (3 x2 y )=6 x (x2+1)
−52
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
ddx
( ye 32x2
(x2+1 )−32 )= 6 x
(x2+1)52
∫ d ( ye32x2
(x2+1 )−32 )=∫ 6 x
(x2+1)52
dx
( ye 32x2
(x2+1 )−3
2 )=−2¿
∴ y=−2¿¿
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
= y3
1−2x y2 ; y (0 )=1
dxdy
=1−2x y2
y3 →→→→ dxdy
= 1
y3−2 xy
/*Ya está expresado de la forma x ,+ p ( y ) x=q ( y)*/
x ,+ 2yx= 1
y3 (3)
u=e∫ p ( y )dy
u=e2∫ dy
y
u= y2
/*Multiplicando por y2 a la ecuación (3) tenemos: */
y2 x ,+2xy= 1y
ddy
(x y2 )= 1y
∫ d (x y2 )=∫ 1ydy
x y2=ln ( y )+c
/*Evaluando para y (0 )=1 se obtiene: */
0¿
2010
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∴ x y2=ln ( y )
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
(x+ y e y ) dydx
=1
(x+ y e y )=dxdy→→→→→→ (x+ ye y )=x ,
x ,−x= y e y (4)
u=e∫ p ( y )dy→→→→u=e−∫dy→→→→u=e− y
/*Multiplicando por e− y a la ecuación (4) nos da como resultado*/
e− y x ,−x e− y= y
ddy
(x e− y )= y→→→→∫d (x e− y )=∫ y dy
∴ x e− y= y2
2+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
=sen (x+ y )
/*Esta ecuación NO es lineal es por eso que vamos a hacer un cambio de variable*/
t=x+ y→→→→→dtdx
=1+ dydx
dtdx
−1=sen ( t )→→→→→→dtdx
=sen ( t )+1 /*Es separable*/
∫ dtsen ( t )+1
=∫dx /*Integrando por el método de sustitución universal tenemos: */
sen ( t )= 2 z1+z2 ;cos ( t )=1−z2
1+z2 ; dt=2dz
1+z2 ; z= tan ( t2)
2010
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∫2dz
1+z2
2 z1+z2 +1
=x+c→→→∫2dz
1+z2
z2+2 z+11+z2
=x+c
∫ 2dz
z2+2 z+1=x+c→→→∫ 2dz
(z+1)2=x+c→→→− 2
z+1=x+c
−2
tan (t2)+1
=x+c
∴− 2
tan( x+ y2 )+1=x+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
y ,+2 y={1 ;0≤ x≤10 ; x>1
y (0 )=0
TRAMO 1 0≤ x≤1
y ,+2 y=1
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e2∫dx→→→u=e2 x
ddx
( y e2x )=e2x→→→∫ d ( y e2x )=∫ e2 xdx→→→y e2x=12e2x+c
/*Evaluando y (0 )=0 por que se encuentra dentro del TRAMO 1 */
¿
∴ y=12−1
2e−2 x
TRAMO 2 x>1
y ,+2 y=0
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e2∫dx→→→u=e2 x
ddx
( y e2x )=0→→→ y e2 x=c
∴ y=c e−2x
2010
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y ( x )={12−1
2e−2x ;0≤x ≤1
ce−2x ; x>1
limx→ 1−¿ 1
2−
12e−2 x= lim
x→1+¿ ce−2 x
¿ ¿¿
¿
12−1
2e−2=c e−2→→→c=1
2e2−1
2
∴ y ( x )={ 12−
12e−2 x ;0≤x ≤1
( 12e2−1
2 )e−2x
; x>1
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
y ,=ex + y
t=x+ y→→→→dtdx
=1+ dydx
dtdx
−1=e t→→ dtdx
=e t+1→→dxdt
= 1
e t+1→→∫ dx=∫ dt
et+1
u=et+1→→du=et dt→→dt=duet→→dt= du
u−1
∫ dx=∫ dt
et+1→→→x=∫
duu−1u
→→→x=∫ duu (u−1 )
/*Aplicando fracciones parciales tenemos: */
x=−∫ duu
+∫ duu−1
→→→x=− ln (u )+ ln (u−1 )+c
x=ln(u−1u )+c→→→x=ln(1−
1u )+c→→→x=ln(1− 1
e t+1 )+c
∴ x=ln(1− 1
e x+ y+1 )+cRESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
sen ( x ) y ,+ y−2 cos (x)=2cos2(x )
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
sen ( x ) y ,+ y=2 cos2 ( x )+2 cos ( x)→→→sen ( x ) y ,+ y=2 cos (x )(cos ( x )+1 )
y ,+y
sen ( x )=
2cos ( x )sen ( x )
(cos ( x )+1 )sen ( x )
→→ y ,+csc ( x ) y=2cot ( x )( cos ( x )sen ( x )
+1
sen ( x ) )y ,+csc ( x ) y=2 cot ( x )(cot ( x )+csc ( x ))
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e∫csc ( x )dx
→→→u=e−ln|csc ( x )+ cot ( x )|
u= 1csc ( x )+cot (x)
y ,
csc ( x )+cot (x )+
csc ( x ) ycsc ( x )+cot (x )
=2cot (x )
ddx (( 1
csc ( x )+cot ( x ) ) y )=2 cot ( x )→→d (( 1csc ( x )+cot ( x ) ) y)=2 cot (x )dx
∫ d (( 1csc ( x )+cot ( x ) ) y)=∫2cot ( x )dx
∴ ycsc ( x )+cot ( x )
=2 ln|sen (x)|+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
y ,+ ycos ( x )=sen ( x ) cos ( x )
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e∫cos ( x )dx
→→→u=esen(x)
esen ( x ) y ,+ y esen ( x ) cos ( x )=esen ( x ) sen ( x ) cos ( x )
ddx
(esen ( x ) y )=esen ( x ) sen (x ) cos ( x )→→→∫ d (esen ( x ) y )=∫ esen( x ) sen ( x )cos (x )dx
/*Desarrollando la integral ∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx */
∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx→→
∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx=esen ( x ) sen (x )−∫ esen (x )cos (x )dx
∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx=esen ( x ) sen (x )−esen(x)+c
∴ esen ( x ) y=esen ( x ) sen (x )−esen(x )+c
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
x y ,− yx+1
−x=0
y ,− yx+1x
−1=0→→→ y ,− xyx+1
=1
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−∫ x
x+1dx
/*Desarrollando la integral ∫ xx+1
dx */
∫ xx+1
dx→→→→→→
∫ xx+1
dx=xln ( x+1 )−∫ ln ( x+1 )dx→→
∫ xx+1
dx=xln ( x+1 )−∫ ln ( z )dz→→→→→→
∫ xx+1
dx=xln ( x+1 )−¿
∫ xx+1
dx=xln ( x+1 )−( x+1 ) ln ( x+1 )+( x+1 )+c
u=e−xln ( x+1 )+( x+1) ln ( x+1 )−( x+1 )→→→u= (x+1 )−x (x+1)x+1 e−(x +1)
u=(x+1)e−(x+1)
y , ( x+1 ) e−( x+1)−( x+1 ) e−( x+1) xy=( x+1 ) e−(x +1)
ddx
(( x+1 ) e−( x+1) y )=( x+1 ) e−( x+1)→→∫ d ( ( x+1 )e−( x+1 ) y )=∫ ( x+1 )e−( x+1 )dx
/*Desarrollando la integral ∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx */
∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx→→→→∫ ue−udu→→→→
∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx=−ue−u+∫e−udu
∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx=−ue−u−e−u+c
∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx=−( x+1 ) e−( x+1)−e−(x +1)+c
2010
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∴ ( x+1 ) e−( x+1) y=−( x+1 ) e−( x+1)−e−( x+ 1)+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
y ,+ xsen (2 y )=x e−x2
cos2( y )
/* Sustitución */ t=tan ( y )
dtdx
=sec2 ( y ) dydx→→→
dydx
= 1
sec2 ( y )dtdx
1
sec2 ( y )dtdx
+xsen (2 y )= xe− x2
cos2 ( y )→→→1
sec2 ( y )dtdx
+2xsen ( y )cos ( y )=x e−x2
cos2 ( y )
dtdx
+2 xsen ( y ) cos ( y ) sec 2 ( y )=x e−x2
cos2 ( y ) sec2 ( y )
dtdx
+2 xtan ( y )=xe− x2
→→→dtdx
+2 xt=xe− x2
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e2∫ xdx
→→→u=ex2
dtdxex
2
+2ex2
xt=x ex2
e− x2
→→→ddx
(ex2
t )=x→→→∫d (e x2
t )=∫ x dx
∴ ex2
tan ( y )= x2
2+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
2 xdydx
= y+2 xcos ( x ); y (1 )=0
2 xdydx
− y=2 xcos ( x )→→→dydx
− 12x
y=cos ( x )
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−1
2 ∫ dxx →→→u=e
−12
ln (x)→→→u=x
−12
dydxx
−12 − 1
2xx
−12 y=x
−12 cos ( x )→→→
ddx
(x−12 y )=x
−12 cos ( x )
d ( x−12 y )=x
−12 cos (x )dx→→→∫ d (x
−12 y)=∫ x
−12 cos ( x )dx
/*Desarrollando la integral ∫ x−1
2 cos ( x )dx para esto hay que recordar lo
siguiente: */
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
x−12 y=∑
n=0
∞ (−1 )n x2n+(1
2 )
(2n )! (2n+( 12 ))
+c→→→ y=x12∑n=0
∞ (−1 )n x2n+( 1
2 )
(2n )!(2n+( 12 ))
+c x12
y=∑n=0
∞ (−1 )n x2n+1
(2n ) !(2n+( 12 ))
+c x12
/* Evaluando en y (1 )=0 */
0=∑n=0
∞ (−1 )n
(2n )! (2n+( 12 ))
+c→→→c=−∑n=0
∞ (−1 )n
(2n ) !(2n+( 12 ))
∴ y=∑n=0
∞ (−1 )n x2n+1
(2n )! (2n+( 12 ))
−∑n=0
∞ (−1 )n
(2n ) !(2n+( 12 ))
x12
ECUACIÓN DE BERNOULLI
y ,+ p ( x ) y=q (x ) ynn− {0,1 }
Multiplicando a toda la expresión por y−n
y−n y ,+ y−n p ( x ) y=q ( x ) yn y−n
y−n y ,+ y1−n p ( x )=q ( x ) (1)
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
t= y1−n dtdx
=(1−n) y−n dydx
1
1−ndtdx
= y−n dydx
Reemplazando en la ecuación (1)
11−n
dtdx
+ p (x ) t=q (x)
t ,+(1−n ) p ( x ) t=q ( x )(1−n)
Esta expresión quedó semejante a y ,+ p ( x ) y=q (x) ya que (1−n) es sólo una constante.
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
x dy− y dx=(xy)12 dx
xdydx
− y=( xy )12→→→→x
dydx
− y=x12 y
12→→→→
dydx
−yx=x
−12 y
12 (1)
t= y1−n→→→t= y1−1
2→→→t= y12
dtdx
=12y
−12 dydx→→→→ y
−12 dydx
=2dtdx
/*Dividiendo a toda la ecuación (1) por y12∗¿
y−1
2 dydx
− y−12 yx= y
−12 x
−12 y
12
y−1
2 dydx
−1xy
12=x
−12
2dtdx
−1xt=x
−12 →→→→
dtdx
−1
2xt=x
−12
2
u=e∫ p ( x )dx→→→→u=e−∫ dx
2x→→→→u=x−12
ddx
(t x−1
2 )= 12 x→→→∫ d (t x
−12 )=∫ 1
2 xdx→→→t x
−12 =1
2ln ( x )+c
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
∴ y12 x
−12 =1
2ln ( x )+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
= x
x2 y+ y3
dxdy
= x2 y+ y3
x→→→
dxdy
=xy+ y3 x−1 /*n=-1*/
t=x1−n→→→t=x2→→→dtdy
=2xdxdy
/*Multiplicando por x a la ecuación*/
xdxdy
=x xy+ y3 x−1 x→→→→xdxdy
=x2 y+ y3
xdxdy
−x2 y= y3→→→→12dtdy
−ty= y3→→→→dtdy
−2 ty=2 y3
u=e∫ p ( y )dy→→→u=e−∫2 y dy
→→→u=e− y2
e− y2 dtdy
−2 ty e− y2
=2 y3 e− y2
ddy
(e− y2
t )=2 y3 e− y2
→→→∫d (e− y2
t )=∫ 2 y3e− y2
dy
/*Desarrollando la integral ∫2 y3 e− y2
dy */
∫2 y3 e− y2
dy→→→→→→
∫2 y3 e− y2
dy=2¿
∫2 y3 e− y2
dy=−e− y2
y2−e− y2
+c
e− y2
t=−e− y2
y2−e− y2
+c
∴ e− y2
x2=−e− y2
y2−e− y2
+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
x y ,+ y= y2ln ( x ) ; y (1 )=1
(1 ) y ,+ yx= y2 ln (x)
x→→→
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
/*Multiplicando a toda la ecuación (1) por y−2 */
y , y−2+ y−2 yx= y−2 y2 ln (x )
x→→→→y , y−2+ y
−1
x=
ln (x)x
−dtdx
+ tx=
ln (x)x
→→→dtdx
− tx=
−ln (x)x
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−∫ dx
x →→→u=x−1
x−1 dtdx
−x−1 tx=−x−1 ln (x)
x→→→x−1 dt
dx−x−2 t=
−ln (x )x2
ddx
(x−1 t )=−ln (x )x2 →→→∫ d (x−1 t )=−∫ ln (x)
x2 dx
/*Desarrollando la integral ∫ ln (x)x2 dx */
∫ ln ( x )x2
dx→→→→→→
∫ ln ( x )x2
dx=−ln (x )
x+∫ 1
x2dx
∫ ln ( x )x2
dx=−ln (x )
x−1x+c
x−1 t=ln (x)x
+ 1x+c→→→x−1 y−1=
ln ( x)x
+ 1x+c
/* Evaluando en y (1 )=1 da como resultado: */
(1 )−1 (1 )−1=ln (1 )
1+ 1
1+c→→→c=0
∴ x−1 y−1=ln (x)x
+ 1x
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
8 xdydx
− y= −1
y3 √x+1
dydx
−18yx=−1
8y−3
x √x+1→→→t= y1−n→→→t= y4→→→
dtdx
=4 y3 dydx
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
/* Multiplicando a la ecuación por y3 */
y3 dydx
− y3 18yx=−1
8y−3 y3
x √x+1
14dtdx
−18tx=−1
81
x √ x+1→→→
dtdx
−12tx=−1
21
x√ x+1
u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−1
2 ∫ dxx →→→u=x
−12
x−12 dtdx
−12x
−12 tx=
−12
x−12
x √x+1→→→
ddx
( x−12 t )=−1
21
x32 √ x+1
∫ d (x−1
2 t )=−12∫ 1
x32 √x+1
dx
/* Resolviendo la integral ∫1
x32 √ x+1
dx */
∫ 1
x32 √ x+1
dx→→→→2∫ (u2−1 )−32 du
u=sec ( z )→→→du=sec ( z ) tan (z)
2∫( tan¿¿2(z ))−3
2 (sec ( z) tan ( z ))dz→→→2∫ sec (z )dztan2(z)
→→→2∫ cos ( z )dzsen2(z)
¿
v=sen ( z )→→→dv=cos ( z )dz
2∫ dvv2 =−2
1v=−2
1sen (z)
=−2u
2−1u
=−2(√x+1)2−1
√ x+1=−2
x√x+1
∴ x−1
2 y4= x√ x+1
+c
ECUACIONES EXACTAS
Sean M, N, My, Nx, continuas en la región rectangular <x< ,
<x< , entonces la ecuación M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es exacta en
sí y sólo si My = Nx en cada punto de esto es ,
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
y
Interpretación:
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
( y exy cos (2 x )−2exy sen (2x )+2 x) dx+( xe xycos (2x )−3 )dy=0
/* Lo que acompaña al dx es la M y lo que acompaña al dy es la N */
∂M∂ y
=cos (2x ) exy+xy exy cos (2 x )−2 xexy sen (2x )
∂N∂ x
=cos (2 x )exy+xy exy cos (2 x )−2 x exy sen (2 x )
∂M∂ y
=∂ N∂ x
∴Es exacta
∂σ∂ x
=M= y exy cos (2 x )−2exy sen (2x )+2 x
/* x es una constante en la siguiente integral: */ σ=∫ (x exy cos (2 x )−3 )dy
σ=cos (2 x ) exy−3 y+c ( x )(1)
/* Derivando a (1) con respecto a x (y es una constante) da como resultado M */
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
∂σ∂ x
=M→→ y exy cos (2x )−2e xy sen(2x )+c , ( x )= y exy cos (2x )−2exy sen (2 x )+2x
c , ( x )=2 x→→→c ( x )=∫2 xdx→→→c ( x )=x2
∴cos (2x ) exy−3 y+x2=d ;d∈R
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
=2 ysen ( x )−ex sen( y)excos ( y )+2cos (x )
(excos ( y )+2cos (x ) )dy=(2 ysen ( x )−e xsen ( y ) )dx
−(2 ysen ( x )−ex sen ( y ) )dx+(e xcos ( y )+2cos (x ) )dy=0
∂M∂ y
=−2 sen ( x )+excos ( y ) ∂ N∂ x
=−2 sen (x )+e xcos ( y )
∂M∂ y
=∂ N∂ x
∴Es exacta
∂σ∂ x
=M=(−2 ysen ( x )+ex sen ( y ) ) ∂σ∂ y
=N=(ex cos ( y )+2cos ( x ) )
/* y es una constante en la siguiente integral */ σ=∫ (−2 ysen ( x )+ex sen ( y ) )dx
σ=2 ycos ( x )+ex sen ( y )+c ( y )(2)
/* Derivando a (2) con respecto a y (x es una constante) da como resultado N */
∂σ∂ y
=N→→2cos (x )+excos ( y )+c , ( y )=ex cos ( y )+2 cos ( x )
c , ( y )=0→→→c ( y )=a ,a∈R
∴2 ycos (x )+ex sen ( y )+a=d a ,d∈R
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
x dx+ ydy= x dy+ y dx(x2+ y2)
2010
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(x2+ y2 ) (x dx+ y dy )=x dy+ y dx
(x2+ y2 )x dx+(x2+ y2 ) ydy−xdy− y dx=0
(( x2+ y2 ) x− y )dx+( (x2+ y2 ) y−x ) dy=0
∂M∂ y
=2 yx−1∂N∂ x
=2xy−1→→→∂M∂ y
=∂ N∂ x
∴Es exacta
∂σ∂ x
=M=(x2+ y2 ) x− y ∂σ∂ y
=N=(x2+ y2 ) y−x
/* y es una constante en la siguiente integral */ σ=∫ ((x2+ y2 ) x− y )dx
σ= x4
4+ y
2 x2
2− yx+c ( y )(3)
/* Derivando a (3) con respecto a y (x es una constante) da como resultado N */
∂σ∂ y
=N→→ y x2−x+c , ( y )= (x2+ y2 ) y−x
c , ( y )= y3→→→c ( y )=∫ y3dy→→→c ( y )= y4
4
∴ x4
4+ y
2 x2
2− yx+ y
4
4=d ,d∈R
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
y ,=y ( y−ex)e x−2xy
dydx
=y ( y−ex )ex−2 xy
→→→dy (ex−2 xy )=( y ( y−e x)) dx
( y ( y−ex ))dx−(ex−2 xy )dy=0→→→
∂M∂ y
=2 y−ex ∂ N∂ x
=2 y−ex→→→∂M∂ y
=∂ N∂x
∴ Esexacta
∂σ∂ x
=M=( y ( y−ex )) ∂σ∂ y
=N=(−ex+2xy )
/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫ (−e x+2 xy )dy
2010
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σ=− y ex+x y2+c ( x )(4)
/* Derivando a (4) con respecto a x (y es una constante) da como resultado M */
∂σ∂ x
=M→→− yex+ y2+c , ( x )=( y ( y−ex ))
c , ( x )=0→→→c ( x )=a ,a∈R
∴ y ex+x y2+a=d ,a ,d∈R
ECUACIONES QUE NO SON EXACTAS
El objetivo es una función (x,y) tal que al multiplicar a la ecuación, la misma se convierta en EXACTA.
μMdx+μNdy=0
(μM ) y=(μN )x
μyM+μM y=μxN+μ N x
Caso a)
μM y=dμdxN+μ N x
μ (M y−N x )=dμdxN
∫ M y−N x
Ndx=∫ dμ
μ
∫ M y−N x
Ndx= ln (μ )
∴μ=e∫M y−Nx
Ndx
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
Caso b)
dμdyM+μM y=μ N x
dμdyM=μ (N x−M y)
∫ N x−M y
Mdy=∫ dμ
μ
∫ N x−M y
Mdy=ln (μ)
∴μ=e∫ N x−M y
Mdy
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
y (1+ln ( xy )+2 x )dx+(x−2 y2 )dy=0
∂M∂ y
=2+ ln (xy )+2x∂ N∂x
=1→→→∂M∂ y
≠∂N∂ x
∴Noesexacta
μ=e∫ N x−M y
Mdy→→→μ=e
∫ 1−(2+ln ( xy )+2 x)y (1+ln ( xy )+2x )
dy
→→→μ=e−∫ (1+ln ( xy )+2x)
y (1+ ln ( xy )+2x )dy
μ=e−∫ dy
y →→→μ=e−ln ( y )→→→μ= 1y
y1y
(1+ ln ( xy )+2x )dx+ 1y
(x−2 y2 )dy=0→→→
∂M∂ y
= 1y∂ N∂ x
=1y→→→
∂M∂ y
=∂N∂x
∴Esexacta
∂σ∂ x
=M=(1+ln ( xy )+2 x) ∂σ∂ y
=N=1y(x−2 y2)
2010
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/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫( 1y
(x−2 y2 ))dyσ=xln ( y )− y2+c ( x )(1)
/* Derivando a (1) con respecto a x (y es una constante) da como resultado M */
∂σ∂ x
=M→→ ln ( y )+c , ( x )=(1+ ln (xy )+2 x )→→ ln ( y )+c , ( x )=1+ ln (x )+ ln ( y )+2 x
c ( x )=∫ (1+ln ( x )+2x )dx→→→c ( x )=x+xln ( x )−x+x2
∴ xln ( y )− y2+xln ( x )+x2=d ,d∈ R
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
y ,=−2 xyln( y)
x2+ y2 √ y2+1
dydx
=−2 xyln ( y )x2+ y2 √ y2+1
→→→ (x2+ y2 √ y2+1 )dy=−(2 xyln ( y ) )dx
∂M∂ y
=2 xln ( y )+2 x∂ N∂ x
=2 x→→→∂M∂ y
≠∂ N∂ x
∴Noes exacta
μ=e∫ N x−M y
Mdy→→→μ=e
∫ 2 x−2 xln( y )−2x
(2xyln ( y ) )dy
→→→μ= 1y
1y
(2 xyln ( y ) )dx+ 1y
(x2+ y2 √ y2+1 )dy=0
∂M∂ y
=2 xy∂ N∂x
=2xy→→→
∂M∂ y
=∂ N∂x
∴ Esexacta
∂σ∂ x
=M=(2 xln ( y )) ∂σ∂ y
=N= 1y
(x2+ y2 √ y2+1 )
/* y es una constante en la siguiente integral */ σ=∫(2 xln ( y ))dx
σ=x2 ln ( y )+c ( y )(2)
/* Derivando a (2) con respecto a y (x es una constante) da como resultado N */
2010
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∂σ∂ y
=N→→x2
y+c, ( y )=1
y(x2+ y2√ y2+1 )→→→
x2
y+c , ( y )= x
2
y+ y
2 √ y2+1y
c ( y )=∫ y2√ y2+1y
dy→→→c ( y )=∫ y√ y2+1→→
c ( y )=12∫√ zdz→→→c ( y )=1
3( y¿¿2+1)
32 ¿
∴ x2 ln ( y )+13( y¿¿2+1)
32=d ,d∈ R ¿
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
(x+sen ( y ) )dx+cos ( y )=0
∂M∂ y
=cos ( y ) ∂ N∂ x
=0→→→∂M∂ y
≠∂N∂ x
∴Noes exacta
μ=e∫M y−N x
Ndx→→μ=e
∫ cos ( y)cos ( y)
dx
→→μ=ex
∂M∂ y
=excos ( y ) ∂ N∂ x
=ex cos ( y )→→→∂M∂ y
=∂ N∂ x
∴Esexacta
∂σ∂ x
=M=(ex x+ex sen ( y )) ∂σ∂ y
=N=excos ( y )
/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫(excos ( y ))dy
σ=ex sen ( y )+c ( x ) (3 )
/* Derivando a (3) con respecto a x (y es una constante) da como resultado M */
∂σ∂ x
=M→→ex sen ( y )+c , ( x )=(ex x+e xsen ( y ) )
c ( x )=∫ ex x dx→→→c ( x )=e x(x−1)
∴ ex sen ( y )+ex (x−1 )=d ,d∈ R
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
(cos (2 y )−sen ( x ) )−2 tan ( x ) sen (2 y ) y '=0
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
∂M∂ y
=−2 sen (2 y ) ∂ N∂ x
=−2 sec2 ( x ) sen (2 y )→→∂M∂ y
≠∂ N∂x
∴ Noesexacta
μ=e∫M y−N x
Ndx
→→→μ=e∫ 1
−2 tan (x ) sen (2 y )(−2 sen (2 y )+2 sec2 ( x ) sen ( 2 y ))dx
μ=e∫ −2 sen (2 y )
−2 tan ( x ) sen (2 y )(1−sec2 (x ))dx
→→→μ=e∫−tan2 (x)
tan ( x )dx
→→→μ=e−∫ tan ( x )dx
μ=e ln|cos (x)|→→→μ=cos (x)
(cos (2 y ) cos (x)−sen (x ) cos (x))dx−2 tan ( x )cos (x )sen (2 y )dy=0
∂M∂ y
=−2 sen (2 y )cos ( x ) ∂N∂ x
=−2cos ( x ) sen (2 y )→→→∂M∂ y
=∂ N∂ x
∴Es exacta
∂σ∂ x
=M=( cos (2 y )cos (x )−sen ( x )cos (x )) ∂σ∂ y
=N=−2 sen ( x ) sen(2 y )
/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫(−2 sen ( x ) sen(2 y ))dy
σ=sen ( x )cos (2 y )+c ( x ) ( 4 )
/* Derivando a (4) con respecto a x (y es una constante) da como resultado M */
∂σ∂ x
=M→→cos (2 y ) cos (x )+c , ( x )=(cos (2 y )cos (x )−sen ( x ) cos (x ))
c , ( x )=−sen ( x ) cos ( x )→→→c ( x )=−∫sen ( x )cos ( x )dx→→→c ( x )=14
cos (2 x)
∴ sen ( x ) cos (2 y )+ 14
cos (2x )=d ,d∈R
ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Sea y ,=f (x , y ). Se dice que la ecuación es homogénea si:
f ( x , xt )=f (1 , t)
Ejemplo:
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
y ,= x−3 yx−2 y
=f (x , y)
f ( x , y )= x−3 yx−2 y
f ( x , xt )= x−3 ( xt )x−2 ( xt )
f ( x , xt )=f (1 ,t ) ∴Eshomogénea
y ,=f (x , y ) si es homogénea se la puede expresar como: y,=F ( y
x)
t= yx
y=tx dydx
=x dtdx
+ t
y ,=F (t) y,=F ( y
x)
dtdxx+t=F ( t )∴Es separable
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
x dy− y dx=√ x2+ y2dx
x dy=√ x2+ y2dx+ y dx→→→x dy=(√x2+ y2+ y )dx
dy=(√x2+ y2+ y )
xdx→→→dy=(√x2+ y2
x+ yx )dx→→→
dydx
=(√ x2+ y2
x2 + yx )
dydx
=(√1+( yx )2
+ yx )→→→
t+ dtdxx=√1+t 2+t→→→
dtdxx=√1+ t2→→→∫ dx
x=∫ dt
√1+t 2→→
ln ( x )+c=∫ sec 2(z )dzsec (z )
→→→ ln ( x )+c=∫ sec ( z )dz→→→ ln ( x )+c=ln|sec ( z )+ tan (z)|
ln ( x )+c=ln|√1+t 2+t|
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
∴ ln (x )+c=ln|√1+( yx )2
+yx |
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
= x+3 yx−2 y
dydx
=
x+3 yx
x−2 yx
→→→dydx
=1+3( yx )1−2( yx )
→→→
dtdxx+t=1+3 t
1−2t→→→
dtdxx= 1+3 t
1−2 t−t→→→
dtdxx=2t 2+2 t+1
1−2t
∫ 1−2 t dt
2 t2+2 t+1=∫ dx
x→→→
12∫
1−2t dt
t2+t+12
=¿∫ dxx
¿
←←←12∫
1−2 t dt
(t+ 12)
2
+ 14
=∫ dxx
12∫
1−2(u−12 )
u2+ 14
du=∫ dxx→→→∫ 1−u
u2+ 14
du=∫ dxx
∫( 1
u2+14
− u
u2+14 )du=ln (x )+c→→→2arctg( u12 )−1
2ln|u2+ 1
4|=ln ( x )+c
2arctg ( t+12
12
)−12
ln|( t+ 12 )
2
+14|=ln ( x )+c
∴2arctg (yx+ 1
212
)−12
ln|( yx +12 )
2
+14|=ln (x )+c
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
( x− y ) y ,=x+ y
( x− y )dy= (x+ y )dx→→→x− yx+ y
=dxdy→→
x− yyx+ yy
=dxdy→→→
t−1t+1
= dtdyy+ t→→→
t−1t+1
−t= dtdyy→→→
−1−t2
t+1= dtdyy→→→
−(1+ t2)t+1
= dtdyy
−∫ t+1
1+ t2dt=∫ dy
y→→→−∫( t
1+t 2 +1
1+t2 )dt=ln ( y )+c
−12
ln (1+t 2 )−arctg ( t )=ln ( y )+c
∴−12
ln(1+( xy )2)−arctg ( xy )=ln ( y )+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
x dx+ ( y−2 x )dy=0
x+( y−2 x ) dydx
=0→→→dydx
=−xy−2x
→→→dydx
=x
2 x− y→→→
dydx
=
xx
2 x− yx
dydx
= 1
2−yx
→→→→→→dtdxx+t= 1
2−t→→→
dtdxx= 1
2−t−t
dtdxx=
(t−1 )2
2−t→→→∫ dx
x=∫ 2−t
(t−1 )2dt /* Integrando por fracciones parciales */
2−t(t−1)2
= At−1
+ B
(t−1)2→→→2−t=A ( t−1 )+B→→→A=−1 B=1
ln ( x )+c=−ln ( t−1 )− 1t−1
∴ ln (x )+c=−ln( yx−1)− 1yx−1
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
(x2+ y2 )dx+ (x2−xy )dy=0
(x2+ y2 )+(x2−xy ) dydx
=0→→→ (x2+ y2 )=−(x2−xy ) dydx
(x2+ y2 )=(xy−x2) dydx→→→
dydx
=(x2+ y2 )(xy−x2 )
→→→dydx
=
(x2+ y2 )x2
(xy−x2 )x2
dydx
=1+¿¿
dtdxx=1+ t2
t−1−t→→→
dtdxx= t+1
t−1→→→∫ dx
x=∫ t−1
t+1dt
ln ( x )+c=∫ dt−∫ 2t+1
dt→→→ ln ( x )+c=t−2 ln ( t+1 )
∴ ln (x )+c= yx−2 ln( yx +1)
ECUACIONES DE LA FORMA dydx
=a1 x+b1 y+c1
a2 x+b2 y+c2
OBJETIVO: Eliminar constantes c1 yc2.
Cambio de Variable:
x=X+h y=Y +k
dx=dX dy=dY
dYdX
=a1 (X+h )+b1 (Y +k )+c1
a2 (X+h )+b2 (Y +k )+c2
dYdX
=a1 X+b1Y +(a1h+b1 k+c1)a2 X+b2Y +(a2h+b2k+c2)
{a1h+b1k+c1=0a2h+b2k+c2=0
∴Paraque seahomogénea
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
2010
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dydx
= x+2 y−52 x+ y−4
x=X+h y=Y +k
dx=dX dy=dY
dYdX
=(X+h )+2 (Y +k )−52 ( X+h )+(Y +k )−4
→→→dYdX
=X+2Y +(h+2k−5)2 X+Y +(2h+k−4)
{h+2k−5=02h+k−4=0
h=1k=2∴Paraque seahomogénea
dYdX
= X+2Y2 X+Y
→→→dYdX
=
X+2YX
2 X+YX
→→→dYdX
=1+2( YX )2+( YX )
→→→
dtdX
X+ t=1+2 t2+t
→→→dtdX
X=1+2 t2+t
−t→→→dtdX
X=1−t 2
2+t
∫ dXX
=∫ 2+t1−t 2
dt /* Integrando por fracciones parciales */
2+t1−t 2
= 2+t(1−t )(1+t)
= A1−t
+ B1+t
→→→A=32B=1
2
ln (X )+c=−32
ln (1−t )+ 12
ln (1+t )→→→ ln ( X )+c=−32
ln(1−YX )+ 12
ln(1+ YX )
∴ ln (x−1 )+c=−32
ln(1− y−2x−1 )+ 1
2ln(1+ y−2
x−1 )RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
= 3 x+ y−16 x+2 y+3
x=X+h y=Y +k
dx=dX dy=dY
dYdX
=3 ( X+h )+(Y +k )−16 (X+h )+2 (Y +k )+3
→→→dYdX
=3 X+Y +(3h+k−1)
6 X+2Y +(6h+2k+3)
2010
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{ 3h+k−1=06h+2k+3=0
NOTA :Estas ecuaciones son paralelas NO vamosa poderencontrar los valores deh y k .Loque significaque se puede
hacer uncambiode variable .
dydx
= 3 x+ y−16 x+2 y+3
→→→dydx
= 3 x+ y−12 (3 x+ y )+3
/* Cambio de variable */ t=3 x+ y→→→ y=t−3 x→→→dydx
= dtdx
−3
dtdx
−3= t−12 t+3
→→→dtdx
= t−12t+3
+3→→→dtdx
=7 t+82t+3
→→→2 t+37 t+8
dt=dx
∫ 2 t+37 t+8
dt=∫ dx→→→27∫dt+∫
57
7 t+8dt=¿∫ dx¿
27t+ 5
49ln (7 t+8 )=x+c
∴ 27(3 x+ y)+ 5
49ln (7(3 x+ y )+8 )=x+c
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
= 2 y−x+52 x− y−4
x=X+h y=Y +k
dx=dX dy=dY
dYdX
=2 (Y +k )−(X+h )+52 ( X+h )− (Y +k )−4
→→→dYdX
=2Y−X+(2k−h+5 )2 X−Y + (2h−k−4 )
{2k−h+5=02h−k−4=0
h=1k=−2∴Paraque sea homogénea
dYdX
=2Y−X2 X−Y
→→→dYdX
=
2Y−XX
2 X−YX
→→→dYdX
=2(YX )−1
2−(YX )→→→
dtdX
X+ t=2 t−12−t
→→→dtdX
X=2 t−12−t
−t→→→dtdX
X= t2−12−t
dXX
= 2−tt2−1
dt→→→∫ dXX
=∫ 2−tt 2−1
dt /* Integrando por fracciones parciales */
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
ln (X )+c=−32
ln (t+1 )−52
ln ( t−1 )→→→ ln (X )+c=−32
ln( YX +1)−52
ln( YX−1)∴ ln (x−1 )+c=−3
2ln( y+2x−1
+1)−52
ln( y+2x−1
−1)
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
(−3 x+ y+6 )dx+( x+ y+2 )dy=0
( x+ y+2 )dy=−(−3 x+ y+6 )dx→→→ (x+ y+2 )dy=(3x− y−6 )dy
dydx
=(3 x− y−6 )
( x+ y+2 )
x=X+h y=Y +k
dx=dX dy=dY
dYdX
=3 (X+h )− (Y+k )−6
(X+h )+(Y +k )+2→→→
dYdX
=3 X−Y +(3h−k−6)X+Y +(h+k+2)
{3h−k−6=0h+k+2=0
h=1k=−3∴Paraque seahomogénea
dYdX
=3 X−YX+Y
→→→dYdX
=
3 X−YXX+YX
→→→dYdX
=3−( YX )1+(YX )
→→→
t+ dtdX
X=3−t1+ t
→→→dtdX
X=3−t1+t
−t→→→dtdX
X=−t2−2t+31+ t
dtdX
X=−( t+3 )(t−1)
1+ t→→→
dtdX
X=(t+3 )(1−t)
1+t→→→
dXX
=1+t
( t+3 )(1−t)dt
∫ dXX
=∫ 1+t(t+3 )(1−t)
dt /* Integrando por fracciones parciales */
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
ln (X )+c=−12
ln (t+3 )−12
ln (1−t )→→→ ln (X )+c=−12
ln(YX +3)−12
ln(1−YX )
∴ ln (x−1 )+c=−12
ln( y+3x−1
+3)−12
ln(1− y+3x−1 )
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:
dydx
=−4 x+3 y+52x+ y+7
x=X+h y=Y +k
dx=dX dy=dY
dYdX
=−4 ( X+h )+3 (Y +k )+5
2 (X+h )+(Y +k )+7→→→
dYdX
=−4 X+3Y +(−4 h+3k+5)
2 X+Y +(2h+k+7)
{−4 h+3k+5=02h+k+7=0
h=−85k=−19
5∴ Paraquesea homogénea
dYdX
=−4 X+3Y2 X+Y
→→→dYdX
=
−4 X+3YX
2 X+YX
→→→dYdX
=−4+3( YX )
2+(YX )→→→
t+ dtdX
X=−4+3 t2+t
→→→dtdX
X=−4+3 t2+t
−t→→→dtdX
X=−t2+t−42+t
dtdX
X=−(t 2−t+4)
2+ t→→→
dXX
= −2+t(t 2−t+4)
dt→→→∫ dXX
=−∫ 2+t(t 2−t+4)
dt
2+ t(t 2−t+4)
=A (2t−1 )+Bt 2−t+4
→→→2+t=A (2 t−1 )+B→→A=12B=5
2
−∫ 2+ t(t 2−t+4)
dt=−12
ln (t 2−t+4 )−52∫
dt
t 2−t+4
/* Desarrollando la integral ∫ dt
t 2−t+4 */
∫ dt
t 2−t+4=∫ dt
( t2−t+ 14 )+4−1
4
→→→∫ dt
( t−12 )
2
+ 154
→→
2010
AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi
ln (X )+c=−12
ln (t 2−t+4 )−52 ( 2
√15arctg( 2( t+ 1
2 )√15 ))
ln (X )+c=−12
ln((YX )2
−YX
+4)− 5
√15arctg (( 2Y
X+1)
√15)
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE Ier ORDEN.
Harry Potter sabe que la única forma de derrotar a Lord Voldemort es produciendo un compuesto llamado DUPREE, para luego ingerirlo combinado con agua, lo que le proporcionará más poderes que su eterno rival y así finalmente acabar con él. Para ello necesita de dos sustancias clave: “saliva de lagarto con gripe” y “moco de rata de alcantarilla”. Hermione le dice a Harry que la rapidez de transformación de la cantidad X del compuesto es proporcional al producto de las cantidades NO transformadas de las sustancias antes mencionadas (suponer que una onza de cada sustancia es necesaria para generar una onza del compuesto). Ron ha podido conseguir 4 onzas de la primera sustancia y 5 onzas de la segunda para iniciar el procedimiento. Al cabo de 50 minutos, Harry ha fabricado una onza de DUPREE. Hermione le recuerda que necesita suministrarle 1.5 onzas para alcanzar los efectos deseados. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para obtener la dosis necesaria?
Seax (t )el número deonzas de DUPREE enel instante t .
El problemade valor inicial es :
dxdt
=k (5−x ) (4−x ) ;x (0 )=¿0 , x (50 )=1¿
2010
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∫ kdt=∫ dx(5−x ) ( 4−x ) /* Desarrollando por fracciones parciales */
1(5−x ) (4−x )
= A5−x
+ B4−x
→→→ A=−1B=1
∫ kdt=∫( 14−x
− 15−x )dx→→→kt+c=ln|5−x|−ln|4−x|
kt+c=ln|5−x4−x|Sustituyendo x (0 )=0 , se tiene :
k (0 )+c=ln|54|→→→c=ln|5
4|kt+ln|5
4|=ln|5−x4−x |Sustituyendo x (50 )=1 , se tiene :
k (50 )+ ln|54|=ln|5−1
4−1|→→→50k+ ln|54|=ln|4
3|→→→50 k=ln|43|−ln|5
4|50k=ln|16
15|→→→→k= 150
ln|1615|
Laecuación es :∴ t50
ln|1615|+ ln|5
4|=ln|5−x4−x|
Porúltimocalculando el valor de t para cuando x=1.5( 32)onzas se tiene :
t50
ln|1615|+ ln|5
4|=ln|5−32
4−32|→→→
t50
ln|1615|+ln|5
4|=ln| 7252|
t50
ln|1615|+ ln|5
4|=ln|75|→→→→
t50
ln|1615|=ln|75|−ln|5
4|
t50
ln|1615|= ln|7
554|→→→→
t50
ln|1615|=ln|28
25|
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∴t=50 ln|28
25|ln|16
15|≈87.8min
Una taza de café es preparado con agua hirviendo en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30 C. En la cocina, durante 5 minutos, se deja enfriar la taza de café, alcanzando una temperatura de 90 C; y los 8 minutos, la taza de café es llevada al comedor. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18 C, después de dos minutos se observa que la taza de café es 65 C.¿A los cuantos minutos de estar la taza de café en el comedor, puede ser ingerido el café si la temperatura óptima para tomarlo es de 45 C?
COCINA
COMEDOR
2010
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;
;
Por último calculando “t” para cuando T=45ºC
2010
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, El café debe ser ingerido a los 5,16 minutos en el comedor.
El método de carbono 14 se usa a menudo para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una caverna de Sudáfrica se encontró un cráneo humanoide junto con los restos de una fogata. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo es igual al de la fogata. Se ha establecido que solamente el 1% de la cantidad original de carbono 14 queda en la madera quemada de la fogata. Calcule la edad del cráneo si la semivida (tiempo en que tarda una sustancia radioactiva en desintegrarse la mitad) del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Por último calculando el tiempo “t” para cuando x=1%x0 (1/100)
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SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Sean p, q funciones continuas sobre el intervalo (α,β), entonces se dice:
L()=❑, ,+ p ( x )❑,+q (x)
Sea y= y1(x ) , y= y2(x ) dos soluciones de la ecuación diferencial
y , ,+ p ( x ) y ,+q ( x ) y=0 (1)
L ⟨ y ⟩=0→Núcleo de latransformada
L ⟨ y1 ⟩= y1,,+ p ( x ) y1
,+q ( x ) y1=0
L ⟨ y2 ⟩= y2,,+ p ( x ) y2
,+q ( x ) y2=0
L ⟨c1 y1+c2 y2 ⟩=¿
L ⟨c1 y1+c2 y2 ⟩=c1 ( y1, ,+ p ( x ) y1
, +q ( x ) y1 )+c2( y2, ,+ p ( x ) y2
, +q ( x ) y2)
∴L ⟨c1 y1+c2 y2 ⟩=c1 L ⟨ y1 ⟩+c2L ⟨ y2 ⟩
Condiciones iniciales y (x¿¿0)= y0 y, (x0 )= y0
, ¿
( x )=c1 y1 ( x )+c2 y2(x )
2010
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❑, ( x )=c1 y1, ( x )+c2 y2
, (x )
{y0=c1 y1 (x0 )+c2 y2(x0)y0,=c1 y1
, (x0 )+c2 y2, (x0)
WRONSKIANO→→→→[ y1(x0) y2(x0)y1, (x0) y2
, (x0)]=( y1 y2,− y2 y1
, )≠0 , x0 ϵ (α , β ) .
W ( y1 , y2)≠0∴Loque quieredeci r es quesonlinealmente independientes .
{ y1 , y2 }Se los conoce comoconjunto fundamental de solusiones de la ecuaciónhomogénea(C .F .S .)
−W ,−p ( x )W=0 dWdx
=−p (x )W ln (W )=−∫ p ( x )dx
W ( y1 , y2)=e−∫ p ( x )dx∴Teoremade ABEL
MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ORDEN
y , ,(x )+ p ( x ) y ,(x )+q ( x ) y (x)=0 (1)
Consideremos que y1(x) es una solución de la ecuación (1), se
pretende encontrar una solución linealmente independiente y2(x ).
y2(x )=v ( x ) y1(x )
y2, ( x )=v , ( x ) y1(x)+v (x) y1
, (x)
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y2, , ( x )=v ,, ( x ) y1(x )+2 y1
, ( x ) v , ( x ) y1,, ( x ) v (x)
y2, ,(x )+ p ( x ) y2
, (x)+q (x ) y2(x)=0
(v¿¿ , , ( x ) y1 ( x )+2 y1, ( x ) v , ( x ) y1
,, ( x ) v ( x ))+ p ( x ) (v , ( x ) y1 ( x )+v ( x ) y1, ( x ) )+q ( x ) (v ( x ) y1 ( x ) )=0¿
v ( x ) ( y1, , ( x )+ p ( x ) y1
, ( x )+q ( x ) y1 ( x ) )+¿
¿
t=dvdx dt
dx=d
2 vdx2
t , ( x ) y1 ( x )+ t ( x ) (2 y1, ( x )+ p ( x ) y1 ( x ) )=0
dtdxy1 (x )+t (x ) (2 y1
, (x )+ p ( x ) y1 ( x ) )=0
dtdxy1 (x )=−t ( x ) (2 y1
, ( x )+ p ( x ) y1 ( x ) )
∫ dtt ( x )
=−∫(2y1, ( x )y1
¿+ p (x))dx¿
ln (t ( x ) )=−2 ln ( y1 (x ) )−∫ p ( x )dx
t= y1−2 ( x )e−∫ p (x )dx
dvdx
=∫ e−∫ p ( x )dx
y12(x)
∴ v (x )=∫ e−∫ p (x )dx
y12(x )
dx
Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
2 x2 y , ,+¿
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t= y , t ,= y ,,2 x2t ,+t 3=2 xt
Expresando de la forma y ,+ p ( x ) y=q (x ) yn(Ecuación de Bernoulli)
t ,−1xt=−1
2t 3
x2 (1)
z=t 1−n
z=t−2
dzdx
=−2 t−3 dtdx
Multiplicando por −¿2t−3 a la ecuación (1)
−2 t−3t ,+ 2xt−2= 1
x2
dzdx
+ 2xz= 1
x2 (2)
u=e∫ p ( x )dx
u=e2∫ dx
x
u=x2
Multiplicando por x2 a la ecuación (2)
x2 dzdx
+2xz=1
ddx
( z x2 )=1
∫ d ( z x2 )=∫ dx
z x2=x+c
z= x+cx2
1
t2= x+c
x2
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t 2= x2
x+c
t=√ x2
x+c
dydx
=√ x2
x+c
dy= x
√ x+cdx
y=∫ x
√ x+cdx
y=∫❑2−c❑ (2d )
y=2∫ (❑2−c )d
y=23(√ x+c)3−2c (√ x+c )+d
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