Ecuaciones Diferenciales

Matemáticas Avanzadas

Universidad Tecnológica de Torreón

Lic.: Edgar Gerardo Mata Ortiz

Bryan A. Sandoval Villasana

7 ”A” T.M.

Ecuaciones Diferenciales Conceptos Básicos:

Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas por ejemplo:

Y + y´ = 0

Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:

Ecuación Diferencial Ordinaria.

Ecuación Diferencial Parcial.

Orden de una Ecuación Diferencial

El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:

Y´ significa derivada de Y.

Y¨ significa segunda derivada.

Solución de una ecuación diferencial:

La solución de una ecuación diferencial en una función desconocida “y” y la variable independiente “x” definida en un intervalo y es una función y que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x en el intervalo dado.

Y¨+ 4y = 0

Solución:

Y= sen2x + cos2x

Y´ = 2cos2x – 2sen2x

Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)

Y¨= - 4sen2x – 4cos2x

Comprobación y¨+4y = 0

- 4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0

- -4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0

Y¨ + 4y = 0

Y= 5sen2x + 3cos2x

Y´= 5(cos2x)(2) + 3(-sen2x) (2)

Y´= 10(cos2x) – 6sen2x

Y¨= - 20sen2x – 12cos2x

Comprobación: Y¨ + 4y = 0

y= - 20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x)

Y= -20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x = 0

Estas dos soluciones se llaman soluciones particulares, pero lo que generalmente se obtiene es la solución general:

Y = C1 sen2x + C2 cos2x

 

Y = e2x

Solución : y¨ + y´- 6y = 0

Y´= 2 e2x

Y¨ = 4 e2x

Comprobación :

4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0

6 – 6 = 0

Y = e-2x + e3x

Solución: y¨ - y´ - 6y = 0

Y´= -2 e-2x + 3e3x

Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x

Comprobación:

-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )

6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0

Y = x2 + ex + e-2x

Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )

Y´= 2x + ex + (-2e-2x )

Y¨ = 2 + ex + 4e-2x

Comprobación:

2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 (x2 + ex + e-

2x )

2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2 ) 2 x2 - 2 ex

- 2 e-2x

Y = C1 e2x + C2 (xe2x)

Solución : y¨ - 4y´ + 4y = 0

Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x

Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x

Comprobación :

4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0

4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x

- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0

Ecuaciones diferenciales por separación de variables

Ecuaciones diferenciales con variables separables:

=

Aplicando anti-logaritmo

Comprobación:

Sustituyendo:

2

Ecuaciones diferenciales exactas

= =

No es posible separar las variables, por lo que es necesario buscar otro método.

Formula : =

=4

Si es una ecuación diferencial exacta por que :

es igual a =4

1.-

= =

No es exacta porque: = no es igual =

Sin embargo, a veces es posible encontrar un factor ( que llamamos factor integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en exacta. Para encontrar este factor integrante podemos utilizar la siguiente formula:

= Encontrar factor integrante

Ahora utilizaremos este resultado para obtener el factor integrante por medio de la expresión:

Ahora multiplicaremos la ecuación diferencial original por este factor integrante, y el resultado de la multiplicación será una ecuación diferencial exactas.

=

A continuación aplicamos el método de solución de ecuaciones diferenciales exactas:

Integramos:

Solo falta determinar el valor g(y).

Para determinar el valor g(y) derivamos la función f encontrada respecto a y.

Este resultado se iguala con N

Simplificando:

- =0

Si =0 entonces

Por lo tanto la función buscada es :

Y la solución se obtiene igualando esta función a una constante C2:

Multiplicando por 12

2.-

No son exactas por lo cual se aplica la formula para encontrar el factor integrante:

=

=

= 0 = 1

Integramos :

=3

Determinar :

=

== =0

Sitios de interés

http://bryanlycan.blogspot.mx/

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https://www.facebook.com/licemata?fref=ts

http://www.scoop.it/t/mathematics-learning

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