ECUACIONES DIFERENCIALES

I

Prof. Alejandro Cervantes Alvarez

http://clubdematematicasyciencias.jimdo.com/

1. Conceptos básicos

Ecuación Diferencial

• Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

• Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:

– TIPO.

– ORDEN.

– LINEALIDAD.

Clasificación por tipo

• Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

Clasificación por tipo…

• Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias: –

–

– yx

dt

dy

dt

dx

ydx

dy

dx

yd

eydx

dy x

2

03

2

2

2

Clasificación por tipo…

• Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.

Clasificación por tipo…

• Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales: –

–

–

y

v

x

u

t

u

t

u

x

u

y

u

x

u

2

2

2

2

2

2

2

2

0

Clasificación según el orden

• El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

Clasificación según el orden…

• La ecuación:

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

xeydx

dy

dx

yd

22

3

2

2

Clasificación según el orden…

• Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden se puede expresar mediante la forma general: F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0

Donde F es una función de valores reales de n+2 variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).

Clasificación según el orden…

• Es posible despejar de una ecuación diferencial ordinaria en forma única la derivada superior y(n) en términos de las n+1 variables restantes.

La ecuación diferencial: Donde f es una función continua de valores reales, se denomina forma normal.

).,..´´,´,,,()( 1 n

n

n

yyyyxfdx

yd

Clasificación según la linealidad

• Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en

y, y´, y´´, . . ., y(n)

• Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando

)()()()(...)()( xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

012

2

21

1

1

Clasificación según la linealidad…

• En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2): y se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal: – La variable dependiente y y todas sus derivadas

y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1.

– Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x.

)()()( 01 xgyxadx

dyxa )()()()( xgyxa

dx

dyxa

dx

ydxa 012

2

2

Clasificación según la linealidad…

• Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal.

Clasificación según la linealidad…

• Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales:

El coeficiente de y´ depende de y

Función no lineal de y

Potencia de y diferente de 1

xeyyy 21 ´)(

02

2

ydx

ydln

xydx

yd23 3

5

5

Solución de una ecuación diferencial

• Cualquier función f, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.

Ejemplo

• Verifica si la función es una solución de la ecuación diferencial

2

x

ey

0'2 yy

00

0

02

12

0'2

igualdadlasatisface

propuestasoluciónlaqueverificarparaED laen sustituye seAhora

2

1'entoncesSi

Solución

?22

?22

22

xx

xx

xx

ee

ee

yy

eyey

Soluciones explícitas e implícitas

• Se dice que una solución en la que la variable dependiente se expresa solamente en términos de la variable independiente y constantes es una solución explícita.

• Una relación G(x,y)=0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo I, siempre que existe al menos una función f que satisface tanto la relación como la ecuación diferencial en I.

Familias de soluciones

• Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c)=0 de soluciones al que se le da el nombre de familia uniparamétrica de soluciones.

• Cuando se resuelve una ecuación diferencial de n-ésimo orden F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0, se busca una familia no paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, …, cn)=0. Esto significa que una ecuación diferencial puede poseer un número infinito de soluciones que corresponden al número ilimitado de elecciones de los parámetros.

Solución particular

• Una solución de una ecuación diferencial que está libre de parámetros arbitrarios se le llama solución particular.

Problema de valores iniciales

• El problema que consiste en resolver:

donde y0, y1, …, yn-1 son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se denomina problema de valores iniciales.

Los valores de y(x) y sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0; y(xo)=yo, y´(xo)=y1, ..., y(n-1)(xo)=yn-1 se llaman condiciones iniciales.

10

1

1000

1

n

n

n

n

n

yxyyxyyxy

aSujeta

yyyxfdx

yd

)(...,,)(,)(

:

)...,,,,(

)(

Ejemplo

1).........( 22

2

2

2

tenemos tantolopor 24

sin4

cos

4sin

4cos

4

propuestasolución la acondición primera la sAplicaremo

224

' ademásy

24

que forma talde constantes las para valoreslos Determine

0y'y' ED la de

soluciones de familia una representa sincosfunción La

21

21

21

21

cc

cc

ccy

Solución

y

y

xcxcy

xxy

cc

cc

cc

ccy

xcxcyxcxcy

sin3cos

es buscadasolución la tantoloPor

1y 3

(2)y (1)por dado ecuaciones de sistema el sresolvermo Finalmente

2).........( 222

2

2

2

tenemos tantolopor 224

cos4

sin

4cos

4sin

4'

dadacondición la aplicando ,cossin' entonces sincos si

derivada primera laobtener snecesitamocondición segunda laaplicar Para

12

21

21

21

2121

Existencia de una solución única

• Sea R una región rectangular en el plano xy definida para a<X<b, c<Y<d que contiene el punto (x0,y0) en su interior. Si f(x,y) y son continuas en R, entonces existe un intervalo I0: x0-h<x<x0+h h>0, contenido en a<X<b y una función única y(x), definida en I0, que es una solución del problema de valores iniciales.

yf

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuación diferencial lineal (Definición)

• Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma

es una ecuación lineal en la variable dependiente y

)1.().........()()( 01 xgyxadx

dyxa

Ecuación diferencial de primer orden de variables separables

- Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma

es separable o que tiene variables separables

Ejemplo

& e

1)(

Nota

e

1

e

e

forma laen separables variablesde ED la Escribamos

Solución

e expresión lapor dada ED la Resuelva

2

2

2

2

2

y

x

x

y

x

x

x

yxy

yxyx

yxyx

eh(y)e

xg

ee

dx

dy

ee

dx

dy

eedx

dy

yhxgdx

dy

eedx

dy

cee

dxedye

dxedye

dxe

e

dy

ee

dx

dy

xxy

xxy

xxy

x

x

y

y

x

x

3

3

3

2

2

3

1e

es buscada implicita formaen ED la desolución la Así,

e

lados ambosen Integrando

e

e

1

e

1

forma siguiente la de procedamos ED laresolver para Ahora

Ecuaciones diferenciales lineales

• Cuando se dice que la ecuación lineal

es homogénea; en caso contrario es no homogénea

• Forma estándar de la ecuación diferencial lineal

0)( xg

)2().........()( xfyxPdx

dy

)1.().........()()( 01 xgyxadx

dyxa

Solución de la ecuación lineal

• La solución de la ecuación diferencial en forma estándar es la suma de dos soluciones

donde es la solución de la ecuación homogénea asociada y es una solución particular de la ecuación no homogénea

pc yyy

cy

py

Método de variación de parámetros (para una ecuación lineal)

• Encontremos una solución particular de la ecuación no homogénea

donde

)()( 1 xyxuyp

dxxP

c cexcyy)(

1 )(

Ejemplo

xeee

xfx

xP

yxdx

dy

xfyxPdx

dy

Solución

xydx

dy

x

lndx

x

1P(x)dx

2

2

2

integrantefactor el obtengamos Ahora

x

1)( &

1)(

queconcluir podemosanterior expresión la De

x

11

)()(estandar formasu en ED la Escribamos

1xexpresión lapor dada lineal ED la Resuelva

x

c

x

xy

cxyx

dxxd

dxxd

xxdx

d

xfeyedx

d

ln

por dada esta buscadasolución la tantoloPor

ln

x

1y

x

1y

tenemosigualdad la de lados ambosen integrando e separando

x

1y

enemosanterior texpresión laen dosustituyen

recordemos buscadasolución lahayar Para

2

P(x)dxP(x)dx

Ecuaciones diferenciales exactas

Teorema

Solución de la ecuación diferencial exacta

Ejemplo

forma siguiente la de procedemosy

exacta es ED la entoncescoinciden parciales ambas que Puesto

22x

),(x

2y

),(y

exacta es ED la silugar primer en sVerificamo

02expresión lapor dada ED la Resuelva

2

22

222

xyyxyyxN

xyxyxyxM

Solución

dyxydxyx

x

g

gxyxyxf

gyxyxf

yxyxf

M(x,y)

yxMyxf

yxf

a respecto parcial

integral la de resultadon integració de constante la es y :Nota

y3

1),(

yx),(

lados ambos Integrando

x),(

anterior expresión laen doSustituyen

),(),(x

que forma talde ),(función una existe exacta ED laser Por

23

22

22

dyxyxyydg

xyxygdy

d

g

xygxy

yxfyxN

yxNyxf

F(x,y)

gxygxyxyxf

yyxf

)22()(

22y

y obtenemosanterior expresión la integrando e ndoReescribie

2y'2

tenemosarriba obtenida

),(y

lay ED laen dada ),(expresión la Igualando

),(),(y

que sabemos de ldiferencia de definición lapor Pero

y'2y3

1

y),(

y

de respecto ),( a teparcialmen Derivando

2

2

2

23

dada ED la aregresar

permite le ldiferencia esta anterior,expresión la de ldiferencia

la determinar debera resultado elcomprobar desea Si Nota.

3

1

igualdad lapor dada esta buscadasolución la Finalmente

3

1

3

1),(

),( mossimplificay ssustituimo )(conocer Al

)(

)22()(

Integrando

223

22322223

222

2

cyxyx

yxyxxyyxyxyxyxf

yxfyg

xyyxyyg

dyxyxyydg

ED por sustitución (homogéneas y de Bernoulli)

Solución de una ED homogénea por reducción

• Una ecuación diferencial homogénea de primer orden se puede reducir a una ecuacion diferencial de variables separables si se realiza cualquiera de los siguientes cambios de variable

o

Al sustituir obtenemos una ED de variables separables de la forma

uxy vyx

0),1(),1( xduudxuNdxuM

Ejemplo

0

0

0

0

semejates términosdofactorizany términosasociando

0ux

tenemosldiferenciaecuación laen doSustituyen

tantolopor , es propuesto variablede cambio El

0 homogénea ED la Resuelva

2

2

22

222

22

22

xdudxu

xduudxdxuu

xduudxdxuux

xduudxxdxuux

xduudxxdxuxx

xduudxdy

uxy

Solución

dyxdxxyy

cy

xx

ux

cu

x

u

du

x

dx

u

du

x

dx

xdudxu

xdudxu

ln

expresión lapor dada esta buscadasolución la tanto

lopor ,y variablede cambioun hicimos que Recordemos

1ln

lados ambosen integrando

0

separables variablesde ED una es ya obtenidaecuación la

2

2

2

2

Ecuación de Bernoulli

Ejemplos

Solución de una ED de Bernoulli

Trayectorias ortogonales

¿cómo obtener la familia de sus trayectorias ortogonales?

Ejercicio

Ley de enfriamiento de Newton

Ejemplo

Ejercicios

1. Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un cuarto cuya temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. ¿Cuándo la temperatura será de 40º C y 26º C?

2. Agua a una temperatura de 10º C demora cinco minutos en calentarse a 20º C en un cuarto cuya temperatura es de 40º C.

a) Encuentre la temperatura después de 20 minutos y después de 30 min

b) ¿Cuándo la temperatura será de 25º C?

Circuitos en serie

Circuito RC en serie

Ejemplo