ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

DEFINICION: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

y´ = F (x, y )

se dice de Variables Separables si es posible factorizar F (x, y ) en la forma: F (x, y) = f ( x ) · g ( y )

Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia:

- Procedimiento: Variables Separables - Entrada: Una EDO en la forma y´ = F (x, y )- Salida: La solución de la ED.

Paso I: Factorizar el segundo miembro.Factorizar F (x, y) = f ( x ) · g ( y ), si tal

factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no continua.

Paso II: Separar las variables Hacer álgebra para poner variables diferentes

en lados diferentes:

Paso III: Integrar Integrando la expresión anterior con respecto a x

obtenemos:

o simplemente:

Paso IV: Despejar y OpcionalDebido a que y representa la función incógnita a

determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma:

y = Expresión en x

En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma explícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar y) se dice que la solución está dada en

forma implícita.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: ( GUÍA ALED, PÁGINA 16-EJERCICIO 2)

Sea la ecuación diferencial a) Encuentre la solución general b) Encuentre la solución particular que

verifica (2)=3.𝒚Separamos las variables : y(2) = 3 donde obtenemos que:x0 = 2 , y0 = 3=

reemplazando x0 y y0 en la solución general: =

Integramos: - =

= tenemos que :

Luego tenemos: C = -

- = por lo tanto la ecuación particular es:

- =

ECUACIONES DIFERENCIABLES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLESEn muchas ocasiones no es posible reparar las variables deuna E.D. directamente. En este caso se puede realizar uncambio de variable para llegar a convertir la E.D. en una devariables separables.

Por ejemplo la E.D.

No es de variables separables (las variables no pueden separarse de manera inmediata). Pero con el cambio de variable

𝟑𝒙 + + = obtenemos la E.D. 𝟒𝒚 𝟓 𝒖Que es una de variables separables y puede ser resuelta por el método anterior.

METODOS DE SOLUCIÓN• Escoger un cambio adecuado de variables. La siguiente tabla puede ayudar a

escoger el cambio:

• Formar la nueva E.D. con una de las variables originales y la nueva variable.

Ejemplo 1: Resuelva la E.D.

Ejemplo2: Resuelva la E.D.(GUÍA ALED,PÁGINA18-EJERCICIO 2F)

()

Por cambio de variables:= u u= = u

reemplazando:(u) (u

Obtenemos: (u )u (u

Finalmente la solución es : C C