Introducción a las ecuaciones diferenciales. Definiciones básicas y terminologías.

En los cursos de cálculo el alumno aprendió que, dada una función la derivada es también una función de y que se encuentra mediante alguna regla

apropiada. Por ejemplo: entonces o bien

Definición de ecuación diferencial. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o mas variables dependientes se dice que es una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.

Clasificación según el tipo: Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplos:

Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o mas variable dependientes de dos o más variables independientes de llama ecuación diferencial parcial. Ejemplos:

1

y= f xy '= f ' x y ' '= f ' ' x y ' ' '= f ' ' ' x

y= f xy '= f ' x x

y=e x2

y '=2 xe x2

y '=2 x y

dydt−5 y=1a

b y−x dx4 x dy=0

c

d 2 ydx2 −2 dy

dx6 y=0

dudx− dvdx= x

d

∂ u∂ y=−∂v∂ x

x ∂u∂ x y ∂ v∂ y=u

∂2u∂ x2=

∂2u∂ t 2−2 ∂ u∂ t

a

b

c

Clasificación según el orden: El orden de la más alta derivada de una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Ejemplos:

Clasificación según la linealidad o no linealidad. Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:

Ejemplos:

Definición de solución de una ecuación diferencial. Se dice que una función definida en cualquier intervalo es una solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación reduce a una identidad. Ejemplos: Verifique que las funciones son una solución de la ecuación.

2

a 4 x dydx y= x

d 2 yd x25 dydx

3

−4 y=e x

a2 ∂4u∂ x4

∂2u∂ t 2=0

b

c

Ecuación diferencial ordinaria de1er orden.

Ecuación diferencial ordinaria de 2ºorden.

Ecuación diferencial parcial de 4º orden.

an xd n yd xn

an−1x d n−1 yd xn−1⋯a1x

dydxa0x y=g x

x dy y dx=0

y ' '−2 y ' y=0

x3 d 3 yd x3−x

2 d 2 yd x23 x dy

dx5 y=e x

y y ' '−2 y '=x

d 3 yd x3 y

2=0

a

b

c

d

e

Ecuación diferencial ordinaria lineal de1erorden.

Ecuación diferencial ordinaria lineal de 2ºorden.

Ecuación diferencial ordinaria lineal de 3ºorden.

Ecuación diferencial ordinaria no lineal de 2º orden.

Ecuación diferencial ordinaria no lineal de 3ºorden.

f I

dydx=1

4x3 1

4x3=x x4

1612

14 x

3=x x2

4 14x3= 1

4x3

dydx=x y

12y= x

4

16a

3

b y '=x e xe x

y ' '=x e x2e x

y ' '−2 y ' y=0y= xe x

x e x2e x−2 xe xe x xe x=0x e x2e x−2 x ex−2ex x ex=0

0=0

c y= cx1

y '=− cx2

x dydx y=1

x− cx2 cx1=1

− cx cx1=1

1=1

c=0

d y=C1 cos 4 x

y=C2 sen 4 x

y ' '16 y=0y '=−4C1 sen4 xy ' '=−16C1 cos 4 x

−16C1 cos 4 x16 C1cos 4 x=00=0

y '=4C 2 cos 4 xy ' '=−16C 2 sen 4 x

y ' '16 y=0−16C2 sen 4 x16C2 sen 4 x=0

0=0

c0

c0

Ejercicio 1: Verifique que la función sea solución de la ecuación.

4

1 y=e− x2 2 y ' y=0

y=e3 x10e2 x dydx−2 y=e3 x

3 y=5 tan5 x y '=25 y2

4 y=12sen x− 1

2cos x10 e−x y ' y=sen x

5

y=65−6

5e−20 t dy

dt20 y=24

x2 dydx2 x y=0y=− 1

x2

6

2

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Problemas con condición inicial. A diario nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden sujeta a la condición adicional donde es un número en un intervalo y en un número real arbitrario. El problema sujeto a resolver se llama problema de valor inicial.

Variables separables. Una ecuación diferencial es separable o que tiene variables separables si tiene la forma:

Ejemplos:

5

y '= f x , y y x0= y0 x0 I y0

y x0= y0

x0 , y0

y '= f x , y

dydx=g x h y

dydx=2e3x

∫ dy=∫2e3 xdx

y=2 x13e3xc

a

dydx=sen5 x

∫ dy=∫ sen5 x dx

y=−15cos5 xc

b

x1dy− y dx=0x1dy= y dx

∫ dyy =∫dxx1

c

ln y=ln∣x1∣ln cln y=ln∣c x1∣e ln y=e ln∣cx1∣

y=c x1

∫ h y dy=∫ g x dxc

6

dydx=− x

y yy

4 x0

==

3y0

∫ y dy=−∫ x dx

12 y2=−12x2c2

x2 y2=c2

y2=−x2c4x0

,3y0

4232=c2

169=c2

25=c2

c=5x2 y2=25

d

e x e− y sen xdx− y dy=0x e− y sen xdx= y dy

∫ x sen x dx=∫ y e y dyu=x

du=dydv=sen x dx

v=e y

u= ydu=dx

dv=e y dyv=−cos x

−x cos x∫ cos x dx= y e y−∫e y dy−x cos xsen x= y e y−e yc−x cos xsen x=e y y−1c

f x y4dx y22e−3x dy=0

x e3x dx=− y22y4 dy

u=x

v=13e3 xdu=dx

dv=e3 xdx

13x e3x−1

3∫ e3 x dx=−−1

y− 2

3 y3

x y4dx=− y22e−3 x dy

∫ x e3 xdx=−∫ y−22 y−4dy

13x e3x−1

9e3x= 1

y 2

3 y3c

19e3 x 3 x−1= 1

y 2

3 y3c

e3 x 3 x−1= 9y 6y3c

Ejercicio 2:

7

1 dydx=cos 5 x

dxe3x dy=0

3 x1 dydx=x6

4 x y '=4 y

5

dxdy=x2 y 2

1x

dydx=y3

x2

6

2

dydx=e3x2 y7

8 9 10

4 y y x2dy−2 xx y2dx=02 y x1dy= xdxe− y1 sen x dx=1cos x dy y 0=0

11 y dy=4 x y2112 dx y 0=1

Funciones homogéneas.

Solución de ecuaciones homogéneas. Una ecuación diferencial de la forma se dice que es homogénea si y son funciones homogéneas del mismo grado. Método de solución.

Ejemplos:

8

f x , y =x22 x y y2

f x , y =x33 x 2 y5

f x , y =2 xy1

Función homogénea de 2º gradoNo es funciónhomogénea

Función homogénea de grado0

a b

c

M x , y dxN x , ydy=0

M N

y=u xdydx=ux du

dx

u= yx

x=v ydxdy=v y dv

dy

v= xy

x dydx= yx e

yx

x dydx= y xeyx 1x

dydx= yxe

yx

u x dudx=ueu

x dudx=eu

∫e−udu=∫ 1xdx

−e−u=ln xc

y 1=1

−e− yx=ln xc

−e−1=ln 1cc=−e−1

−e− yx=ln x−e−1

a

9

b 2 x3 y dxx4 y4dy=02 x3 y dx=−x4 y4dydxdy=−x4 y 4

2 x3 ydxdy=− x2 y y3

2 x3 v y dv

dy=−v2 1

2v3 y dvdy=− v2 1

2v3vy dvdy=−3v2 1

2 v3y dvdy=−3v 41

2v3 2v3

3v41dv=−1

ydy

u=3 v41du=12 v 3dv

16 ln 3v41=−ln yc6ln 3v41=−6 ln yln cln 3v41ln y6=ln cln [ y63v 41]=ln cy63v41=c

y63 x4

y41=cy63 x4 y 4

y4 =cy23 x4 y4=c3 x4 y2 y6=c

c 2 x y ydx− x dy=0

2 x 12 y

12 ydx=x dy

2 x12 y

12 yx

=dydx

2u12u=ux du

dx

2u12= x du

dx

2∫ 1xdx=∫ u

− 12du

2 ln x=2u12c

ln x=uc

ln x= yxc x x ln x= yc x

∫ 2v3

3v41dv=−∫ 1

ydy

2xdx= 1

u12

du

2 y12

x12

yx=dydx

122 ln x=2u

12c

Ejercicio 3:

10

x− y dxx dy=0x dx y−2 xdy=0

y2 y x dx− x2dy=0

−y dx x x y dy=0

2 x 2 y dx=3 x3 y3dydydx= yx xy

y dxdy= x4 y e

−2 xy

x y2 dydx= y3− x3 y 1=2

2 x 2 dydx=3 x y y2 y 1=−2

1 2 3

4

5

6

7

8

9

Ecuaciones exactas. Una ecuación diferencial se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer término es una diferencial exacta. Método de solución.

Ejemplos:

11

M x , y dxN x , ydy=0

M x , y dxN x , ydy=0∂M∂ y=∂N∂ x Es exacta.

∫M x , ydx=∫M x , y dxh y∫N x , ydy=∫ N x , y dyg x f x , y =c

a 2 x yM

dxx2−1N

dy=0

∂M∂ y=2 x ∂N

∂ x=2 x

∫ 2 x y dx= x2 yh y

∫ x2−1dy=x2 y− yg x

x2 y− y=c

e2 y− y cos x y M

dx2 x e2 y− xcos x y2 y N

dy=0

∂M∂ y=2e2 y x y sen x y−cos x y

∂N∂ x=2e2 yx y sen x y−cos x y

∫ e2 y− y cos x y dx= x e2 y−sen x yh y

∫2 x e2 y−x cos x y2 ydy= xe2 y−sen x y y 2g xx e2 y−sen x y y2=c

b

c cos x sen x−x y2M

dx y 1− x2N

dy=0

∂M∂ y=−2 xy ∂N

∂ x=−2 xy

∫ cos x sen x−x y 2dx=−12cos2 x− 1

2x2 y2h y

∫ y−x2 ydy= 12y2−1

2x2 y2g x

−12cos2 x−1

2x2 y21

2y2=c

−cos2 x−x2 y2 y2=c

y 0=2

−cos20−022222=c−14=c

c=3−cos2 x−x2 y2 y2=3

Ejercicio 4:

12

2 y2 x−3dx2 y x24dy=0

x y x− y dxx x−2 ydy=0

y3− y2 sen x−x dx3 x y22 y cos x dy=0

y ln y−e−x y dx 1yx ln ydy=0

x dydx=2 x ex− y6 x2

1 2 3 4 5

2 x y dxx2 y dy=0sen y dx1x cos y dy=0

x y exyx− x2

y exy y '=0

1y2 yx3 = xy2

1x2 dydx

1 y cos x y dxx cos x y dy=0

x y 2dx2 x y x2−1dy=0 y 1=14 y2 x−5dx6 y4 x−1dy=0 y −1=2

6

7

8

9

10

11 12

Ecuaciones lineales. Se le llama ecuación lineal a la ecuación diferencial que tiene la forma:

Método de solución.

Ejemplos:

13

a1x dydxa0 x y=g x

[a1x dydxa0 x y=g x] 1

a1 xdydxa0x a1x

y= g x a1x

dydxp x y= f x

x =e∫ p xdx

x [ dydx px y= f x]x dy[ p x x y−x f x ]dx=0

dydxp x y= f x

dxdyp y x= f y

x =e∫ p xdx

y=e∫ p ydy

x dydx−4 y= x6 ex 1x

dydx−4xy=x5 ex

p x =−4x

x =e−∫ 4

x dx= e−4 ln x= x−4

x−4 dydx− 4xy=x5 ex

x−4dy−4 x−5 y−x ex dx=0

∫ x−4dy=x−4 yg x

∫ −4 x−5 y− xe xdx= x−4 y− x exe xh yu=xdu=dx

dv=e xdxv=e x

x−4 y− xe xe x=cx4 x−4 y−x exex=cy− x5 e xx4 e x=c x 4

y= x5 e x−x4 exc x 4

a

14

dydx= 1x y2

y −2=0b

dxdy=x y2

dxdy−x= y2

p y =−1

y=e−∫ dy=e− y

e− y dx−x e− y− y2 e− ydy=0

∫e−y dx= xe− yh y ∫ −xe− y− y2 e− y dy= xe−y−− y2e−y2∫ ye− y dy

u= y2

du=2 y dydv=e−y dy u= y

du=dydv=e−y dy

v=−e−y v=−e−y

=x e− y y2 e− y−2− y e− y∫ e− y dy=x e− y y2 e− y2 y e− y2e− yg x

x e− y y2 e− y2 y e− y2e− y=c

x e− y y2 e−y2 y e−y2e− y=0e y

x y22 y2=0

−2e002e02 0e02e0=c−22=c

c=0

x=− y2−2 y−2

Ejercicio 5:

15

dydx y=e3 x

y '3 x2 y=x2

x2 y 'x y=1x4 y2dy2 ydx=0x dy=x sen x− y dx

1

2

3 4 5

dydx5 y=20 y 0=2

L didtRi=E L , R , E son constantes , i 0=i 0

dydx= ye x

6

7

8

Crecimiento y decrecimiento. El problema de valor inicial:

En donde es una constante, aparece en muchas teorías físicas que involucran crecimiento, o bien, decrecimiento. Por ejemplo: En la biología a menudo se observa que la rapidez con que ciertas bacterias se multiplican, es proporcional al número de bacterias presentes en cierto instante. Para cortos intervalos de tiempo, la magnitud de una población de animales pequeños como roedores puede predecirse con bastante exactitud mediante la solución de la ecuación anterior. En física un problema de valor inicial proporciona un modelo para proporcionar la cantidad restante de una sustancia que se desintegra radiactivamente. La ecuación diferencial anterior también puede determinar la temperatura de un cuerpo que se enfría. La constante de proporcionalidad puede ser negativa o positiva y ser determinada resolviendo el problema mediante una medida subsecuente de en un tiempo

16

dxdt=k x x t 0=x0

k

k

x t 1t 0

Aplicación de las ecuaciones diferenciales. Ejemplos: Circuito L-R en serie:

La segunda ley de Kirchhoff dice: En un circuito en serie que contiene solo una resistencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje a través del inductory del resistor es igual a la tensión aplicada al circuito.

Ecuación diferencial lineal para la corriente en donde y son constantes conocidas como inductancia y resistencia respectivamente. A veces la corriente se le llama respuesta del sistema. Un problema: Una batería de se conecta a un circuito en serie con una inductancia de y la resistencia es de Determinar la corriente si la intensidad inicial es de cero.

Multiplicamos por 2.

17

Ldidt i R E t

L didti R=E t

i t L Ri t

12V 12H

1012didt10 i=12 i 0=0

didt20 i=24

P t =20t =e∫ 20 dt

t=e20 t

didt20 i=24e20 t

e20 tdi20 i e20t−24e20tdt=0

∫e20 t di=i e20 tht

∫ 20 i e20 t−24e20 tdt= 2020i e20 t−24

20e20 t g i

i e20 t−65e20 t=ce−20 t

i 0=0

i=65ce−20 t

0=65c e−20 0

0=65c

c=− 65

i t =65−6

5e−20 t

Enfriamiento: La ley de Newton del enfriamiento dice que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con la que la temperatura cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea. Esto es:

Donde es una constante de proporcionalidad.

Problema: Al sacar un pastel del horno su temperatura es Después de 3 minutos¿En cuánto tiempo se enfriará a la temperatura ambiente de ?

Cuando tenemos: donde y por lo tanto:

De se obtiene:

18

300º F . 200º F70º F

dTdt=K T−T m

t 0=300º Ft 3=200º Ft x =70º FdTdt=K T−70

∫ dTT−70

=K∫ dtln T−70=K tce ln T−70=eK tc

T−70=e K t ec

T−70=e K t cT=ce K t70

T=230 eK t70

T t =230 e−0,19018 t70

T t T mdTdt=K T−T m

k

T 0=300 300=c270 c2=230

T 3=200200=230 e3k70200−70=230 e3k

130=230 e3k

130230=e3k

1323=e3k

ln 1323=3k

13

ln 1323=k

k=−0,19018

Ecuaciones diferenciales de orden superior. Se dice que un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo si en una constante no todas cero, tales que

para toda en el intervalo.

Definición de independencia lineal. Se dice que un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si no son linealmente dependientes en el mismo. El Wronskiano. Criterio para funciones linealmente independientes. Supongase que

tiene al menos derivadas. Si el determinante:

Si el Wronskiano es igual a cero es linealmente dependiente. Si el Wronskiano no es igual a cero es linealmente independiente. Ejemplo:

19

f 1x , f 2x ,... , f nx I c1 , c2 ,... , cn

C1 f 1 xC 2 f 2 x...Cn f nx =0 x

f 1x , f 2x ,... , f nx

I

f 1x , f 2x ,... , f nx n−1

W=∣f 1 f 2 ⋯ f nf 1' f 2

' ⋯ f n'

⋮ ⋮ ⋮f 1n−1 f 2

n−1 ⋯ f nn−1∣≠0

W=∣ex x e x

ex x exex∣= xe2 xe2 x−x e2 x=e2 x Linealmente independiente.

W=∣ sen2 x 1−cos2 x2 sen x cos x 2 sen 2 x ∣=2 sen2 x sen 2 x−2 sen xcos x2sen x cos x cos 2 x

W=2 sen2 x sen 2 x−sen 2 xsen2 x cos 2 xW=sen 2 x 2 sen2 x−1cos 2 x W=sen 2 x 1−cos 2 x−1cos 2 x W= sen2 x 0W=0 Linealmente dependiente.

a

b

Solución de ecuaciones lineales. Ecuaciones homogéneas. Una ecuación diferencial lineal de la forma:

Se dice que es homogénea, mientras que:

En donde recibe el nombre de no homogénea.

Definición de conjunto fundamental de soluciones. Se le llama conjunto fundamental del soluciones en un intervalo a cualquier conjunto

de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden en el intervalo

Definición de solución general de ecuaciones homogéneas. Sean un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden en el intervalo La solución general de la ecuación en el intervalo, se define como donde

Definición de solución general de ecuaciones no homogéneas. Sea una solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden

en un intervalo y sea la solución general de la ecuación homogénea asociada en el intervalo. La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea en el intervalo se define como:

Como obtener una segunda solución a partir de una solución conocida (reducción de orden).

20

an xd n ydxnan−1x

d n−1 ydxn−1 ⋯a1x

dydxa0 x y=0

an xd n ydxnan−1x

d n−1 ydxn−1 ⋯a1x

dydxa0 x y=g x

g x≠0

Iy1 , y2 , ... , yn n

n 1 I

1

2

y1 , y2 , ... , ynn 1 Iy=c1 y1c2 y2...cn yn c i , i=1, 2, 3,... , n

y pn 2 I yc=c1 y1c2 y2...cn yn

y=c1 y1c2 y2...cn yn y p

a2 x y' 'a1x y

'a0 x y=0

y ' 'P x y 'Q x y=0

y2= y1∫ e−∫ P xdx

y12 dx

Ejemplos:

21

x2 y ' '−3 x y '4 y=0 y1=x2

y ' '−3xy ' 4

x2 y=0

x2 y ' '−3 x y '4 y=0 1x2

P x =−3x

y2= x2∫ e

∫ 3x dx

x22dx = x2∫ e

3 ln x

x4 dx = x2∫ e

ln x3

x4 dx

y2= x2∫ x

3

x4 dx = x2∫ 1xdx = x2 ln x

y=c1 x2c2 x

2 ln x

a

b x2 y ' 'x y 'x2−14 y=0

x2 y ' ' x y ' x2− 14 y=0 1

x2

y1=sen x x

y ' '1xy '1− 1

4 x2 y=0

P x =1x

y2=sen x x ∫

e−∫ 1

x dx

sen x x 2 dx =

sen x x ∫

e−ln x

sen2 xx

dx = sen x x ∫

e ln x−1

sen2 xx

dx

y2=sen x x ∫

x−1

sen2 xx

dx = sen x x ∫

1sen2 x

dx = sen x x ∫ csc

2 x dx

y2=sen x x

−cot x = sen x x − cos xsen x

y2=−cos x x

y=c1sen x xc2

cos x x

Ejercicio 6:

22

y ' '16 y=0

9 y ' '−12 y '4 y=0x2 y ' '−7 x y '16 y=0x y ' ' y '=0

1 2 3

4 5

y ' '− y=0

y1=cos 4 xy1=cosh x

y1=e2 x3

y1=x4

y1=ln x

y ' '−4 y '4 y=0 y1=e2 x

6

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Se ha visto que la ecuación lineal de primer orden

donde es una constante, tiene la solución exponencial en por consiguiente es natural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales enpara ecuaciones de orden superior como:

en donde las son constantes. Los sorprendente es que todas las soluciones son funciones exponenciales. Se empezará considerando el caso particular de la ecuación de segundo orden.

Ecuación auxiliar. Si se prueba una solución de la forma entonces y de tal manera que la ecuación se convierte en:

Debido a que nunca se anula para valores reales de es evidente que la única manera de que esta función exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial es seleccionando de tal manera que sea una raíz de la ecuación cuadrática:

Está última ecuación se le llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la función diferencial Se consideran 3 casos según la ecuación auxiliar tenga raíces reales diferentes, raíces iguales o raíces conjugadas.

23

dydxa y=0

a y=c1 e−a x −∞ ,∞

−∞ ,∞

an ynan−1 y

n−1⋯a2 y' 'a1 y

'a0=0 1a i , i=0,1 ,... , n

a y ' 'b y 'c y=0 2

y=em x y '=mem x y ' '=m2em x

2

a m2 em xbmem xc em x=0

em x am2bmc=0em x y

m

a m2bmc=0 3

2

Caso 1: Raíces reales diferentes. Si

Caso 2: Raíces reales repetidas. Si

Caso 3: Raíces conjugadas o imaginarias.

Ejemplo caso 1:

Ejemplo caso 2:

Ejemplo caso 3:

24

m1≠m2

y=c1 em1 xc2 e

m2 x

m1=m2

y=c1 em1 xc2 x e

m2x

m= Real

± iImaginario

y=e x c1 cos xc2 sen x

2 y ' '−5 y '−3 y=02m2−5m−3=02m1m−3=02m1=0m1=−

12

m−3=0

m2=3

y=c1 e− 1

2 xc2e3 x

y ' '−10 y '25 y=0m2−10m25=0m−52=0m−5=0m1=5

m−5=0m2=5

y=c1 e5xc2 x e

5x

y ' ' y ' y=0m2m1=0

y=e−1

2 xc1 cos32xc2 sen

32x

m=−1±1−42

m=−1±−32

m=−1±3 i2

=−12 =3

2

Ejemplos.

25

a

y ' '−4 y '13 y=0 y 0=−1 y ' 0=2m2−4m13=0

m= 4±16−522

= 4±−362

= 4±6 i2=2 =3

y=e2 x c1 cos3 xc2 sen3 x −1=e0c1 cos0c2 sen 0

y=e2 x −cos3 xc2 sen3 x y '=e2 x 3 sen 3 x3c2 cos3 x 2e2 x −cos3 xc2 sen3 x

2=3c2−2

2=e03 sen03c2 cos02e0 −cos 0c2 sen 02=103c22−10

c2=43

y=e2 x−cos 3x43sen3 x

c1=−1−1=1c10

y ' ' '3 y ' '−4 y=0m33m2−4=0

an=1ao=−4 p=±1,±2,±4

q=±1

pq=±1,±2,±4

1 3 0 −41 4 4

1 4 4 0

1∣m1=1

m−1m24m4=0m−1m22=0

m2=−2 m3=−2

y=c1 exc2 e

−2 xc3 x e−2x

b 3 y ' ' '5 y ' '10 y '−4 y=03m35m210m−4=0

an=3ao=−4 p=±1,±2,±4

q=±1,±3

pq=±1,±2,±4,±1

3,±2

3,±4

33 5 10 −4

1 2 43 6 12 0

13∣

m1=13

m−133m26m12=0

=−1 =3

y=c1 e13 xe−x c2cos 3 xc3 sen 3 x

m=−2±4−162

= −2±−122

= −2±23i2

m−133m22m4=0

c

Ejercicio 7:

26

4 y ' ' y '=0

y ' '9 y=0y ' '− y '−6 y=0d 2 ydx2 8 dy

dx16 y=0

y ' '3 y '−5 y=0

1 2 3 4

5

12 y ' '−5 y '−2 y=0

3 y ' '2 y ' y=0y ' '−4 y '5 y=0

y ' '−36 y=0

6 7 8 9

y ' ' '−4 y ' '−5 y '=0

y ' ' '−5 y ' '3 y '9 y=0y ' ' ' y ' '−2 y=0y ' ' '3 y ' '3 y ' y=0y ' '16 y=0

10 11 12 13 14

y ' '6 y '5 y=0y 0=2 y ' 0=−2

y ' ' '− y=0

15 16 y 0=0 y ' 0=3

Operadores diferenciales. En cálculo la derivada se representa con frecuencia con la letra esto es El símbolo se llama operador diferencial y este transforma una función derivable en otra función, por ejemplo:

Factorización de operadores diferenciales.

El operador anulador. Formula 1: El operador diferencial anula cada una de las funciones Ejemplo:

Formula 2: El operador diferencial anula cada una de las funciones Ejemplos:

27

D y '=dydx=D y

D

a D e4x =4 e4x

b D 5 x3−6 x2=15 x2−12 xD cos 2 x=−2 sen 2 xc

D2−1=D1D−1

D n k , x , x2 , x3 ,... , xn−1 .

1−5 x28 x3

D−n e x , x e x ,... , xn−1e x .

a

e5 x

n=1 =5D−5e5 x=0De5x−5e5 x=05e5x−5e5x=0

0=0

b

c 4 e2x−6 xe2 x

D−24e2 x=0D−22−6 x e2 x=0D−224e2 x−6 x e2 x =0

D 41−5 x28 x3y

=0

D2−4D44 e2 x−6 x e2 x=0D2 4e2 x−6 x e2x D −16e2 x24 x e2 x44 e2x−6 xe2 x=0

y '=2 e2 x−12 x e2 x

y ' '=−24 x e2 x−8e2 x

y=4e2x−6 xe2 x y=−16e2x24 x e2 x

y '=−8e2 x48 xe2 xy=16e2 x−24 x e2 x

−24 x e2x−8e2 x−8e2x48 xe2 x16e2 x−24 x e2 x=00=0

Formula 3: El operador diferencial anula cada una de las funciones

Ejemplo:

Caso especial.

Ejemplo:

28

[D2−2D22]n

e xcos x , xe x cos x , x2 e x cos x ,... , xn−1 ex cos x ,e x sen x , x e x sen x , x2 e x sen x ,... , xn−1 e x sen x .

e− xcos 2 xn=1 =−1 =2 D22D5e−x cos 2 x=0

{D22D[−1222]}e−x cos 2 x=0

D22{cos xsen x=0

sen5 xn=1 =0 =5D225 sen5 x=0D2 sen5 x25 sen5 x=0y=sen5 xy '=5cos5 xy ' '=−25 sen5 x−25 sen5 x25 sen5 x=0

0=0

d

e

Ejercicio 8:

29

9D2−4D 2−5D 2−4D−12

1 2 3 4 5

D34DD310D225D

6 7 8 9

D32D2−13D10

D 48DD 4−8D216

D 4

2D−1

10

11

12 13 14

D−2D5

y=10 x3−2 x

y=4ex2

D34D23D

15 16

y=4e2x

y=2cos8 x−5 sen8 x

Determinar el operador diferencial :

Factorizar el operador diferencial :

Verificar queel operador diferencial anula a la función dada :

17

D 264

16 x−2 x3

x31−5 x 17e2 x

18 19

x3 xe6 x

cos 2 x20 1sen x21 22 23 24 25

13 x9 x2−sen 4 x8 x−sen x10cos5 xe− x2 x e x− x2 ex

2−ex 2

3ex cos 2 xe− x sen x−e−2x cos x26

2D 2−3D−2

Solución de ecuaciones No-homogéneas. Método de coeficientes indeterminados. Para obtener la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea se deben llevar a cabo dos pasos. a) Hallar la función complementaria b) Encontrar cualquier solución particular para la ecuación no homogénea.

Ejemplos:

30

yc .y p

y= yc y p

a d 2 ydx2 3 dy

dx2 y=4 x2

d 2 ydx2 3 dy

dx2 y=0

m23m2=0m1m2=0m1=−1 m2=−2

yc=c1 e−xc2 e

−2 x

D34 x2=0m3=0

m4=0 m5=0m3=0y p=c3c4 xc5 x

2

y=AB xC x2

y '=B2C xy ' '=2Cd 2 ydx2 3 dy

dx2 y=4 x2

2C3B2C x2AB xC x2=4 x2

2C3B6C x2 A2 B x2C x2=4 x2

x22C x 6C2 B2C3B2 A=4 x2

2C=4C=2

6C2 B=0 2C3B2 A=0122 B=0B=−6

4−182 A=0A=7

y p=7−6 x2 x2

y=c1 e−xc2e

−2 x7−6 x2 x2

31

y ' '−3 y '=8e3x4 sen xm2−3m=0mm−3=0m1=0 m2=3yc=c1c2 e

3 x

D−3D218e3 x4 sen x =0m−3m21=0m3=3 m2=−1

m=i

y p=c3 xe3 xc4 cos xc5 sen x

y=Ax e3 xBcos xC sen xy '=3 A x e3xAe3 x−B sen xC cos xy ' '=9 A x e3x3 Ae3 x3 Ae3x−B cos x−C sen xy ' '=9 A x e3x6 Ae3 x−Bcos x−C sen x

9 A x e3x6 Ae3 x−Bcos x−C sen x−3 3 A xe3 xAe3x−B sen xC cos x=8e3 x4 sen x9 A x e3x6 Ae3 x−Bcos x−C sen x−9 Ax e3 x−3 Ae3 x3 B sen x−3C cos x=8e3x4 sen x3 Ae3 x−B cos x−C sen x3 Bsen x−3C cos x=8e3 x4 sen xe3 x 3 Acos x −B−3C sen x −C3B=8e3 x4 sen x3 A=8

A=83

−B−3C=0 3 B−C=4−B−3C=03−3 B−9C=0

−3 B−9C=0−10C=4

C=−25

B=−3C

B=65

y p=83x e3x 6

5cos x−2

5sen x

y=c1c2e3 x8

3x e3x6

5cos x−2

5sen x

b

=0 =1

y ' '−3 y '=8e3x4 sen x

Ejercicio 9:

32

y ' '4 y '4 y=2 x6

y ' ' ' y ' '=8 x2

y ' '−2 y '−3 y=4e x−9y ' '− y '−12 y=e4 x

1 2 3 4 5

y ' '8 y=5 x2e−x

y ' ' y '=3

6 y ' '25 y=6 sen x7 y ' '6 y '9 y=−x e4 x8 y ' '− y= x2e x59 y ' '−2 y '5 y=ex sen x10 y ' '−64 y=16 y 0=1 y ' 0=011

Método de variación de parámetros.

Ejemplo:

33

a2 y' 'a1 y

'a0 y=g xyc=c1 y1c2 y2

Identificar y1 , y2

W=∣y1 y2

y1' y2

' ∣y ' 'P x y 'Q x y= f xIdentificar f xW 1=− f x y2 W 2= f x y1

1'=W 1

W2'=W 2

W1 2

y p=1 y12 y 2

y= yc y p

①

②

③

④

⑦

⑧

⑨➉

y ' '−4 y '4 y=x1e2 x

m2−4m4=0m−22=0

m2=2m1=2

yc=c1 e2xc2 x e

2 x①

⑤⑥

y1=e2 x y2= xe

2 x②

③ W=∣ e2 x xe2 x

2e2 x 2 x e2 xe2 x∣=2 x e4 xe4 x−2 xe4 x=e4 x

y ' '−4 y '4 y= xe2 xe2 x④⑤ f x =x e2xe2x

⑥W 1=−x e

2 xe2 x x e2 x

W 1=−x2 e4 x−x e4x

W 2=x e2 xe2x e2 x

W 2= xe4 xe4 x

⑦ 1'=−x 2e4 x−x e4 x

e4x =−x2−x 2'=x e4 xe4 x

e4 x = x1

⑧ 1=∫ −x2− xdx=− 13x3− 1

2x2 2=∫ x1dx=1

2x2x

⑨ y p=−13x3−1

2x2e2x 1

2x2x xe2 x

y p=−13x3e2 x−1

2x2 e2 x1

2x3 e2 x x2e2 x

y p=16x3 e2x1

2x2 e2 x

y=c1 e2 xc2 xe

2 x12x2 e2x1

6x3e2 x

➉

Ejercicio 10:

34

y ' '− y '−12 y=e4 x

y ' '− y= x2e x5

1 2 3 4

y ' '−2 y '−3 y=4e x−9

y ' '4 y '4 y=2 x6

Transformada de Laplace. Definición: Sea una función definida para , Entonces la integra

se denomina transformada de Laplace de siempre que la integral exista.

35

t≥0

ℒ{ f t }=∫0

∞f t e−s t dt

ℒ{k }=∫0

∞k e−s t dt

=∫0

∞k e−s t dt

=− kse−s t∣

0

∞

a

ℒ{t}=∫0

∞t e−s t dt

=∫0

∞t e−s tdt

=− tse−s t ∣

0

∞

1s∫0

∞e−s t dt

b

du=dtu=t dv=e−s tdt

v=−1se−s t

=− tse−s t ∣

0

∞

− 1s2 e

−s t∣0

∞

=−∞se−s ∞0

se−s0− 1

s2 e−s ∞ 1

s2 e−s 0

= 1s2

=− kse−s ∞ k

se−s0

= ks

ℒ{e3 t}=∫0

∞e3 te−s t dt

=∫0

∞e3 t e− s tdt

=∫0

∞e−s−3 tdt

=− 1s−3

e−s−3 t∣0

∞

=− 1s−3

e−s−3∞ 1s−3

e−s−3 0

= 1s−3

c

f

f

Ejercicio 11:

36

1 2

ℒ{t e−2 t }

ℒ {t 2 e−2t }

37

ℒ{sen2 t }=∫0

∞e− s t sen 2 t dt

u= sen 2 tdu=2 cos 2 t dt

dv=e−s tdt

v=−1se−s t

ℒ{sen2 t }=−1se−s t sen 2 t ∣

0

∞

2s∫0

∞e−s t cos 2 t dt

u=cos2 tdu=−2 sen2 t dt

dv=e−s tdt

v=−1se−s t

ℒ{sen2 t }=2s −1

s e−s t cos 2 t ∣0

∞

−2s∫0

∞e−s t sen 2 t dt

ℒ{sen2 t }=2s 1s−2

sℒ{sen2 t }

ℒ{sen2 t }= 2s2−

4s2 ℒ{sen2 t}

ℒ {sen2 t }1 4s2 = 2

s2

ℒ{sen2 t } s24s2 = 2

s2

ℒ{sen2 t }= 2s2 s2

s24 ℒ{sen2 t }= 2

s24

e

f t={−1 0≤t11 t≥1

d

f t=−∫0

1e−s tdt∫1

∞e−s tdt

= 1se−s t ∣

0

1

− 1se−s t∣

1

∞

= 1se−s 1 −1

se−s 0 −1

se−s ∞1

se−s 1

= 2se−s−1

s

38

=3 1s2 −5 2

s24= 3s2−

10s24

=3 s24−10 s2

s2 s24

=3 s212−10 s2

s2 s24

=−7 s212s2 s24

ℒ {3 t−5 sen 2 t}=3ℒ{t}−5ℒ{sen 2t }f

Formulas básicas.

39

ℒ{k }= ks

ℒ{t n}= n!sn1

ℒ{ea t }= 1s−a

ℒ{sen k t}= ks2k 2

ℒ{cos k t}= ss2k2

ℒ{senh k t}= ks2−k 2

ℒ{cosh k t }= ss2−k 2

ℒ{sen2t }=ℒ {1−cos 2 t2 }g

= 12ℒ {1−cos 2 t}

=12 1s− ss24

=12[ s24−s2

s s24 ]=1

2[ 4s s24 ]

= 2s s24

Ejercicio 12:

40

1

2

3

4

f t={t 0≤ t11 t≥1

f t={sen t 0≤t0 t≥

f t={0 0≤t1t t≥1

f t={1−t 0≤t10 t≥1

ℒ{e t7}

ℒ {t e4 t}ℒ {2 t 4}ℒ {4 t−10}ℒ {t 26 t−3}ℒ {t13}ℒ {1e2 t2}ℒ {4 t 2−5sen3 t }ℒ {senh3 t}

5 6 7 8

10 11

9

12 13

Transformada inversa de Laplace.

Ejemplos:

41

ℒ{ f t }=F S ℒ−1{F S }= f t

ℒ−1{ks }=kℒ−1{ n!sn1}=t n , n≥1

ℒ−1{ 1s−a }=ea t

ℒ−1{ ks2k 2}=senk t

ℒ−1{ ss2k 2}=cos k t

ℒ−1{ ss2−k 2}=cosh k t

ℒ−1{ ks2−k 2}=senh k t

ℒ−1{ 1s5}= 1

4!ℒ−1{4!

s5}= 124t 4

n1=5n=4

ℒ−1{ 1s264}=1

8ℒ−1{ 8

s264}=18sen8 t

k 2=64k=8

ℒ−1{3 s5s27 }=3ℒ−1{ s

s27 }5ℒ−1{ 1s27}

=3cos7 t 57sen7 t

k 2=7k=7

a

b

c

Ejercicio 13:

42

1

2

3

4

5

6

7

ℒ−1{ s13

s4 }ℒ−1{ 1

s2−1s 1s−2}

ℒ−1{ 14 s1}

ℒ−1{ 5s249}

ℒ−1{ 4 s4 s21}

ℒ−1{ 1s2−16 }

ℒ−1{2 s−6s29 }

Transformada inversa de Laplace por fracciones parciales. Ejemplos:

43

ℒ−1{ s1s2 s23}

s1s2 s23

= As Bs2

Cs2

D s22

E s23

s1=As s23B s23C s2 s22Ds2 s2E s2

s1=As s36 s212 s8B s36 s212 s8C s2 s24 s4D s2 s2E s2

s1=s4 AC s36 AB4CDs2 12 A6 B4C2DE s 8 A12 B8 BAC=0 6 AB4CD=0

8 A12 B=1

12 A6 B4C2DE=0

8 B=1

B=188 A1218=1

C= 116

8 A=1−32

8 A=−12

A=− 116

C=−A6− 1

16184 1

16D=0

−38 1

8 1

4D=0

D=0

12− 1166 1

84 116E=0

−343

4 1

4E=0

E=−14

ℒ−1{ s1s2 s23}=− 1

16ℒ−1{1s }1

8ℒ−1{ 1

s2} 116ℒ−1{ 1

s2 }− 14ℒ−1{ 1

s23}

=− 1161

8t 1

16e−2 t−1

8t 2 e−2 t

=− 116ℒ−1{1s }1

8ℒ−1{ 1

s2} 116ℒ−1{ 1

s2 }− 142

ℒ−1{ 2 s23}

a

s1=As46 As312 A s28 AsB s36 B s212 B s8 BC s44C s34C s2⋯

⋯D s32D s2E s2

44

ℒ−1{ 3 s−2s3 s24}

3 s−2s3 s24

= As Bs2

Cs3

DsE s24

b

3 s−2=As2 s24B s s24C s24DsE s3

3 s−2=s4 AD s3BE s2 4 AC s 4 B4CAD=0 BE=0 4 AC=0 4 B=3 4C=−2

C=−12

B=34

E=−B

E=−34

4 A−12=0

4 A=12

A=18

D=−A

D=−18

ℒ−1{ 3 s−2s3 s24}=1

8ℒ−1{1s }3

4ℒ−1{ 1

s2}−12ℒ−1{ 1

s3}−18ℒ−1{ s

s24}−34ℒ−1{ 1

s24}

=18 3

4t−1

4t 2−1

8cos 2 t−3

8sen2 t

=18ℒ−1{1s } 3

4ℒ−1{ 1

s2}− 12ℒ−1{ 1

s3}−18ℒ−1{ s

s24}− 342

ℒ−1{ 2s24 }

ℒ−1{ 1 s−1 s2 s4}

1 s−1s2s4

= As−1

Bs2

Cs4

c

1=A s2 s4B s−1 s4C s−1 s2

A∣s11=A35 A= 1

15

B∣s−21=B−32

C ∣s−41=C −5−2

B=−16

C= 110

115ℒ−1{ 1

s−1}−16ℒ−1{ 1

s2} 110ℒ−1{ 1

s4}ℒ−1{ 1

s−1 s2 s4}= 115et−1

6e−2 t 1

10e−4 t

3 s−2=As44 As2B s34 B sC s24CD s4E s3

Ejercicio 14:

45

1

2

3

4

5

6

7

ℒ−1{ 1s23 s }

ℒ−1{ ss22 s−3}

ℒ−1{ 0,9 s s−0,1s0,2}

ℒ−1{ s s−2 s−3s−6}

ℒ−1{ 2 s4 s−2 s24 s3}

ℒ−1{ 1s2 s24}

ℒ−1{ s s24s2}

ℒ−1{ 1 s21s24}8

Primer teorema de traslación.

Ejemplos:

Forma inversa del primer teorema de traslación.

Ejemplos:

46

ℒ{ea t f t}=ℒ { f t }ss−a

ℒ{t e−2 t }=ℒ {t}s s2=1s2 ∣

s s2

= 1 s22

ℒ{t 2 e−2t }=ℒ {t 2}ss2=2s3 ∣

s s2

= 2 s23

ℒ{e3 t cos 4 t }=ℒ {cos 4 t}ss−3=s

s216 ∣s s−3

= s−3 s−3216

ℒ−1{F s }=ℒ−1{F s}ss−a=ea t f t

a

b

c

ℒ−1{ 1 s−13}=ℒ−1{ 1

s3}ss−1

=12t 2 e t

n=2

d

ℒ−1{ 1s22 s−8}=ℒ−1{ 1

s22 s1−8−1 }

=ℒ−1{ 1s2−9}ss1

e

ℒ−1{ ss26s11 }=ℒ−1{ s

s26 s911−9 }

=ℒ−1{ s3 s322 }−ℒ−1{ 3

s322 }=ℒ−1{ s

s22}s s3

−3ℒ−1{ 1s22}ss3

=e−3 t cos 2 t− 3 2e−3 t sen2 t

=ℒ−1{ s s322 }

=ℒ−1{ s3−3 s322 }

= 13e−t senh3 t

=ℒ−1{ 1 s12−9}

f

Segundo teorema de traslación.

Ejemplo:

Función escalón Unitario.

Ejemplo:

Derivadas de transformadas.

Ejemplos:

47

ℒ{ f t−a ∪t−a}=e−a s f s =e−asℒ{ f t }

ℒ {t−23∪t−2}=e−2 sℒ {t 3}

=e−2 s 3!s4

=6e−2 s

s4

a

ℒ{∪t−a}= e−as

s

f t=2−3∪t−2∪t−3ℒ { f t }=ℒ {2}−3ℒ{∪t−2}ℒ {∪t−3}

=2s−

3e−2 s

se−3 s

s

b

ℒ{t n f t }=−1n dn

dsnF s=−1n d

n

dsnℒ{ f t }

ℒ{t e−2 t }=−1 ddsℒ{e−2 t}

=− dds 1

s2=−[− 1

s22 ]

c

= 1 s22

48

ℒ{t 2 senh t}=−12 d2

ds2 ℒ{senh t}

=d 2

ds2 1s2−1

=[ s2−12−22 s 2 s2−12 s s2−14 ]

d

=6s4−4 s2−2s2−14

= dds [− 2 s

s2−12 ]

=[−2 s44 s2−28 s4−8 s2

s2−14 ]

Ejercicio 15: Resolver mediante el primer teorema de traslación.

Resolver utilizando el segundo teorema de traslación.

Resolver utilizando derivadas de transformadas.

49

1 2 3 4

ℒ{t e10 t}

ℒ {t e te2 t2}

ℒ {e−t sen2t }

ℒ−1{ 1 s23}

ℒ−1{ 1s2−6s10 }

ℒ−1{ ss24 s5}

ℒ−1{ s s12}

ℒ−1{ 2 s−1s2 s13}

ℒ{t−1∪t−1}ℒ {t∪t−2}

5 6

7

8

10

11

9

12 13

ℒ{t 3e−2 t}

ℒ {e t sen3 t}ℒ {e5 t senh3 t}

ℒ {cos 2 t ∪t−}

ℒ−1{e−2 s

s3 }ℒ−1{ e− ss21}

ℒ{t cos2 t }ℒ {t 2 cosht }

15

16

17

14

18

Aplicaciones de las transformadas.

Ejemplos:

50

ℒ{y }=Y S ℒ {y ' }=sY S − y 0ℒ {y ' ' }=s2Y S −s y 0− y ' 0ℒ {y ' ' '}=s3Y S −s2 y 0−s y ' 0− y ' ' 0

dydt−3 y=e2 ta

ℒ {dydt }−3ℒ{y}=ℒ {e2 t }

sY S − y 0−3Y S = 1s−2

sY S −1−3Y S = 1s−2

sY S −3Y S = 1s−2

1

Y S s−3=1s−2s−2

y t=ℒ−1{ s−1s−2s−3}

s−1 s−2 s−3

= As−2

Bs−3

s−1=As−3B s−2

A∣s=2

1=A−1 A=−1

B∣s=3

2=B1 B=2

y t=−ℒ−1{ 1s−2}2ℒ−1{ 1

s−3}

y 0=1

y t=−e2 t2e3 t

y t= ℒ−1 {Y s}

51

y ' '−6 y '9 y=t 2 e3 tb ℒ{y ' ' }−6ℒ{y ' }9ℒ{y }=ℒ {t 2 e3 t}

y 0=2 y ' 0=6

s2Y S −s y 0− y ' 0−6 [sY S − y 0]9Y S = 2 s−33

s2Y S −2 s−6−6 sY S 129Y S = 2 s−33

Y S s2−6 s9−2 s6= 2 s−33

Y S s−32= 2 s−33

2 s−6

Y S s−32= 2 s−33

2 s−3

Y S = 2s−35

2 s−3s−32

Y S = 2s−35

2s−3

y t=2ℒ−1{ 1 s−35}2ℒ−1{ 1

s−3}y t = 2

4!t 4 e3 t2e3 t

y t = 112t4 e3 t2e3 t

Ejercicio 16:

52

1 2 3

y ' '−4 y '4 y=t 3

y ' '−4 y '4 y=t 3 e2 t

y ' '−2 y '5 y=1t

y 0=1 y ' 0=0y 0=0 y ' 0=0y 0=0 y ' 0=4

Respuestas: Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Ejercicio 5:

53

Todas las funciones son solución a su respectiva ecuación diferencial.

y=15sen5 xc

y= 13e3xc

y= xln x15cy=c x4

y−2=2 x−1c

−33 x ln∣x∣=x y3c x−3e−2 y=2e3xc2 y2=c4 x2y2= x−ln∣x1∣c1cos x 1e y=4

y21=2 x22

1

2

3 4 5

6 7 8 9 10 11

x ln∣x∣ y=c xx− y ln∣x− y∣= yc x− yx y ln∣x∣=c y4 x= y ln∣y∣c 2

x3 y32=c y9

y2=2 x2 ln∣x∣c x2

e2 xy =8 ln∣y∣cy33 x3 ln∣x∣=8 x3

y2=4 x x y2

1 2 3 4 5

6

7 8 9

x2 y2−3 x4 y=c

No es exacta

x y3 y2 cos x−12x2=c

No es exacta

x y−2 x e x2e x−2 x3=c1 2 3 4

5

y=14e3xce−x

y= xe xc ex

y=13c e−x

3

y= x−1 ln xc x−1

x= 45y2c y

−12

y=−cos xx−1 sen xc x−1

y=4−2e−5 x

i t = ERi0−ER e−

RL t

1

2

3

4

5

6 7

8

x2x y y2=cxsen x y=c

y=− sen−1c−x x

6

7 8

9

10

11

12

x y exy=c

xy− yx2=c

13x3 x2 y x y2− y=4

34 x y x2−5 x3 y2− y=8

Ejercicio 6:

Ejercicio 7:

Ejercicio 8:

54

y=c1 e2xc2 xe

2 x

y=c1 cos 4 xc2 sen 4 x

y=c1 cosh xc2 senh x

y=c1 e2x3 c2 xe

2 x3

y=c1 x4c2 x

4ln xy=c1 ln xc2

1 2 3

4

5 6

y=c1c2e− x4

y=c1 e6xc2e

−6 x

y=c1 e3xc2e

−2 x

y=c1 e−4 xc2 xe

−4 x

y=c1 e−329

2 xc2 e

−3−292 x

y=c1 e− x4c2e

2 x3

y=e2 x c1 cos xc2 sen x

y=e− x3c1 cos

23xc2 sen

23x

y=c1c2e5 xc3e

−x

y=c1 exe

− x2 c2 cos32xc3 sen

32x

1

2 3

4 5

6

7 8

9

10

11

12 13 14

15

16

y=c1 e3xc2 x e

3xc3e− x

y=c1 exe−x c2 cos xc3 sen x

y=c1 e−xc2 x e

− xc3 x2e−x

y=2cos 4 x−12sen 4 x

y=− 34e−5 x3

4e−x

y=c1 cos3 xc2 sen3 x

3D23D−2D5 D−5

2D1D−2D D52

D D24D−1D−2D5D D3D1D D2D 2−2D4D2−42

D 41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −14 , El operador si anula la función.

15 16 17 18 19

D5

D D−2D2D−62

D24D D21

D−6D2

D3D216D2D21D225D1D−13

D D−1D−2D D22D5D22D2D2−4D5

20 21 22 23 24 25 26

Ejercicio 9:

Ejercicio 10:

Ejercicio 11:

Ejercicio 12:

55

y=c1c2e− x3 x

y=c1 e−2xc2 xe

−2 x12x1

y=c1 cos 8 xc2 sen8 x58x 2

9e− x

y=c1c2 xc3e− x8 x2−8

3x3 2

3x4

y=c1 e3xc2e

− x−e x3

y=c1 e−3xc2 e

4 x17xe4 x

y=c1 cos5 xc2 sen5 x14sen x

y=c1 e−3xc2 x e

−3 x− 149x e4 x 2

343e4 x

y=c1 exc2e

−x16x3 e x−1

4x2 ex1

4x ex−5

y=e x c1 cos2 xc2 sen 2 x 13ex sen x

y=58e−8 x5

8e8 x−1

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y=c1 e−2xc2 xe

−2 x12x1

y=c1 e−3xc2 e

4 x17xe4 x

y=c1 e−xc2e

3 x−e x31

2

3

4

1 s22

2 s23

1 2

1s21−e−s

1e−s

s21

1s2 se−s−1

1s−1

e7

1 s−42

48s5

4s2−10s

2s3 6s2−

3s

6s4 6s3

3s2

1s

1s 2s−2

1s−4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

8s3− 15s29

3s2−9

1s2 se−se−s

y=c1 exc2e

−x 16x3 e x− 1

4x2 ex 1

4x ex−5

Ejercicio 13:

Ejercicio 14:

Ejercicio 15:

56

t−1e2 t

14e− 1

4 t

57sen7 t

cos 12t

14senh 4 t

1

2

3

4

5

6

7 2 cos3 t−2 sen3 t

13−1

3e−3t

34e−3t1

4e t

310e

110 t 6

10e− 2

10 t

12e2 t−e3 t1

2e6 t

815e2 t−1

5e−3 t−1

3e−t

14t−1

8sen 2 t

14cos 2 t1

4sen 2 t−1

4e−2 t

1

2

3

4

5

6

7

8 13sen t−1

6sen 2 t

1 s−102

6 s24

1 s−22

2 s−32

1 s−42

12 [ 1 s1

− s1 s124]

12t 2 e−2 t

e3 t sen te−2 t cos t−2e−2 t sen te−t−t e−t

e−s

s21

2

3

4

5

6

7

8 9 10

11

12

13

14

15

e−2 s

s2

e−s ss2412t 2∪t2

sen t−∪t−s2−4 s242

3 s−129

2 s54 s3−6 s s2−14

16

17

18

3 s−52−9

5−t−5e−t−4 t e−t−32t 2e−t

13 t32t21

6t 3

Ejercicio 16:

57

349

8t 3

4t 2 1

4t 31

4e2 t−13

8t e2 t

120t5 e2 t

1

2

3 7251

5t− 7

25e t cos2 t51

25e t sen 2 t