1) Resolver la ecuación diferencial :y' = p(x).y = 0con la condición y(0) = 1 siendo :

Respuesta 1Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.

y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 ; dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln CSi tomamos antilogaritmos tenemos :

La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma :y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2 Tenemos según eso :

y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x

y considerando el valor y(1) = e-2

2) Resolver la ecuación diferencial :

RespuestaLa ecuación es homogénea ya que se puede poner en la forma :

Por lo tanto, podemos hacer el cambio v = y/x para poner :

y separando variables:

o deshaciendo el cambio de variables :arc tg(y/x) – Ln x = C

3) Resolver la ecuación diferencial :

RespuestaEsta ecuación es homogénea por ser el numerador y denominador funciones del mismo grado. Haciendo el cambio v = y/x , obtenemos :

y separando variables:

Aplicando el método de los coeficientes indeterminados para separar en fracciones simples el primer miembro, tenemos :

o lo que es igual :

Finalmente, deshaciendo el cambio y simplificando :

4) Resolver la ecuación diferencial :

RespuestaTenemos una ecuación homogénea en la que el cambio v = y/x nos permite escribir :

y separando variables:

O lo que es igual :

5) Resolver la siguiente ecuación :y' = (x + y)con la condición y(0) = 1.RespuestaLa ecuación la podemos transformar haciendo el cambio de variable v = x + y , para obtener :v' = 1 + y' ; y' = v' – 1 = x + y = v ; v' = v + 1y separando variables para integrar :

pero teniendo en cuenta que y(0) = 1 :

y tomando antilogaritmos:

6) Resolver la ecuación diferencial :

Respuesta 6 En primer lugar vamos a comprobar si la ecuación es diferencial exacta :

Puesto que se cumple la condición requerida integramos como sigue :

Para conocer el valor de la función derivamos la anterior expresión

respecto de y e igualamos a Q:

Así pues, la solución general de la ecuación estudiada será :

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto a x, quedando:

por tanto

y así:

ó

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo:

Resolver:

Hacemos

por tanto

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es

de la cual podemos obtener y integrando dos veces, así

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.

Solución: