exactas

16.ex cosy dx−ex seny dy

M (x , y )=e xcosy

N ( x , y )=ex seny

∂M∂ y

( x , y )=(excosy )=−ex seny

∂N∂ x

( x , y )=(−ex seny )=−ex seny

suponiendouna funcion

∂M∂ X

( x , y )=excosy−−−−−−− (1 )

∂N∂ y

( x , y )=−ex seny−−−−−−−(2)

integrandoconrespecto a x

∫(e¿¿ x¿cosy)dx=cosy∫ ex dx¿¿

cosy e x+g ( x )−−−−−−(3 )

derivando parcialmente

∂∂ y

(cosy ex+g ( x ) )=−seny ex+g'(x)

igualandocon la segundaecuacion

−seny ex+g ' ( x )=−ex seny

g' (x )=0

∫ g' ( x )=∫0

g=c

sustituyendoen latercera ecuacion

cosy e x+c=0

cosy e x=c

evaluando y (o )=π

cos (π ) ex=c

cosy e x=−1

noexacta

5. (xy+ y+ y2 )dx+ ( x+2 y )dy=0

M (x , y )=(xy+ y+ y2 )

N ( x , y )= (x+2 y )

∂M∂ y

( x , y )= ∂∂ y

(xy+ y+ y2 )=x+1+2 y

∂N∂ x

( x , y )= ∂∂ x

( x+2 y )=1

∂M∂ y

−∂M∂ x

∂ N=x+1+2 y−(1 )

x+2 y=x+2 yx+2 y

=1

M=e∫1dx=e x

ex (xy+ y+ y2 )dx+( x+2 y )dy=0

(e x xy+ex y+ex y2 )dx+(x ex+ex 2 y )dy=0

∂M∂ y

( x , y )=(ex xy+e x y+ex y2 )=ex x+ex+2ex y

∂N∂ x

(x ex+ex2 y )=x ex+ex+2ex y

suponiendounaecuacion

∂M∂ x

( x , y )=(ex xy+e x y+ex y2 )−−−−−−−(1 )

∂N∂ y

( x , y )=xex+ex 2 y¿−−−−−−−−−−−(2)

integrando la segundaecuacion

∫(x ex¿+ex2 y)dy=xex∫ dy+ex∫ 2 y dy ¿

¿ex xy+ex y2+g ( x )−−−−−−−−−−−−(3 )

derivar laecuacion3 parcialmente

∂∂ x

(ex xy+ex y2 )= xex y+ex y+ex y2+g' ( y )

igualando laecuacion(1)

x ex+ex y+ex y2+g' ( y )=ex xy+ex y+e x y2

g' ( y )=0

integrando

∫ g' ( y )=∫0=g ( y )=c

sustituyendoen latercera ecuacion

ex xy+ex y2+c=ex xy+ex y2=c