Ecuaciones e Inecuaciones Lineales
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Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoDecanato de Administración y ContaduríaDepartamento de Técnicas Cuantitativas.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 1
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Contenido de la presentación:
1. Ecuaciones2. Inecuaciones3. Problemas Propuestos4. Fin de la Presentación
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 2
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Una ecuación es una relaciónde igualdad entre dosexpresiones algebraicas. Loselementos presentes son detipo numérico, de tipo literal yde tipo operacional, es decir,contienen números, letras ysignos que identificanoperaciones entre ellos.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 3
Ecuación
Expresión alg 1 = Expresión alg 2
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Tipos de ecuaciones:
1. Ecuaciones Lineales2. Ecuaciones Cuadráticas3. Ecuaciones Polinómicas4. Ecuaciones Racionales5. Ecuaciones con radicales6. Ecuaciones Trascendentes7. Ecuaciones Trigonométricas
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 4
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Ecuaciones Lineales
Forma general:Las ecuacioneslineales son aquellasen las cuales todas lasvariables presentestienen potencia 1, ylas variables noforman parte deldenominador dealguna fracción.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 5
Con una variable
Con dos variables
0=+ bax
0=++ cbyax
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Ecuaciones Lineales
Ejemplos:A continuación presentamos algunos
ejemplos de ecuaciones lineales
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 6
0452254137
082053
=−++=−
=−=+−
=+
yxxx
xx
x
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Ecuaciones Lineales
Ejemplo:Resolver una ecuación lineal con
una variable significa encontrar el valor
único de la variable que satisface la
ecuación.
El método para resolverla,
generalmente es despejar la variable.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 7
3553
053
−=
−==+
x
xx
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Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas tienen todas al menos una de las variables con potencia 2, y no forman parte del denominador de alguna fracción.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 8
Forma general de una ecuación cuadrática
02 =++ cbxax
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Ecuaciones Cuadráticas
Resolver una ecuación cuadrática con una
variable es encontrar el o los valores (que
cuando más son dos) que satisfacen la
ecuación.
Generalmente se usa la resolvente cuadrática
para conseguirlos.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 9
Resolvente cuadrática
aacbbx
242
2,1−±−
=
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Ecuaciones Cuadráticas
Existe además otra forma de ecuación
cuadrática denominada “expresión
factorizada” de la cuadrática.
Generalmente son dos factores lineales que se
multiplican.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 10
Expresión factorizada de una cuadrática
02 =++ cbxax
0))(( 21 =−− xxxxa
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Ecuaciones Cuadráticas
Hay forma de saber cuantas soluciones tiene una ecuación
cuadrática, reconociendo el signo
de la cantidad subradical,
denominada discriminante
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 11
Discriminante acb 42 −
042 >− acb Dos soluci0nes
042 <− acb Sin solución
042 =− acb Una solución
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Ecuaciones Cuadráticas
A las soluciones de una ecuación igualada
a cero se les llama raíces de la ecuación.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 12
Encuentre las raíces o soluciones de la ecuaciónsiguiente
0652 =−− xx
Solución: Como a = 1, b =-5 y c = -6, entonces,
275
2495
224255
242
2,1
±=
±=
+±=
−±−=
aacbbx 1 ,6 21 −== xx
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Ecuaciones Polinómicas
Las ecuaciones polinómicas son sumas de potencias enteras de
una variable.
Las soluciones se encuentran, cuando
existen por medio del método de Ruffini.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 13
Forma general
0.... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
nn
n
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Ecuaciones Polinómicas
Con las soluciones del polinomio podemos escribirlo en forma
factorizada.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 14
Factorización de unaecuación polinomial
0.... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
nn
n
0))()....()(( 121 =−−−− − xxxxxxxxa nnn
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Ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales contienen expresiones fraccionarias donde el
denominador de alguna de las fracciones contiene
la variable.
Generalmente tienen polinomios en el numerador y el denominador.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 15
Forma general
0....
....
012
21
1
012
21
1 =++++++++++
−−
−−
bxbxbxbxbaxaxaxaxa
mm
mm
nn
nn
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Ecuaciones racionales
Las soluciones de este tipo de ecuaciones son
las soluciones del polinomio del numerador..
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 16
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación racional.
0124
632 =
+−+
xxx
La solución a este problema es encontrarsimplemente la solución al polinomio delnumerador.
23/663
063
−=−=−==+
xxx
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Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales son
precisamente aquellas que contienen radicales.
Los elementos radicales aparecen en sumas,
productos o cocientes.
La solución generalmente implica la eliminación del símbolo
radical usando potenciación.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 17
Formas diversas de estas ecuaciones:
0=+ bax
0=+++ dcxbax
0=−n n bax
0=+++
m
n
fexdcxa
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Ecuaciones Trascendentes
Las ecuaciones trascendentes son aquellas donde
aparecen expresiones
exponenciales y/o logarítmica, en
forma de sumas, multiplicaciones y
divisiones.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 18
Formas diversas de estas ecuaciones:
0)()(0)(
0)(0
=+++=−
=+=+
qpxmLncbxaLncebaebxaLn
bae
xx
x
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Ecuaciones Trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas son
aquellas donde aparecen
expresiones del tipo seno, coseno,
tangente, cotangente, secantes y
cosecante, o con sus inversas.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 19
Formas diversas de estas ecuaciones:
0)csc()(0)tan(
0)cos(0)(
=+++=−
=+=+
qpxmcbxasencebabxabxasen
x
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Las inecuaciones o desigualdades son expresionesalgebraicas por medio de símbolos de relaciones de orden.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 20
Expresión algebraica 1 Expresión algebraica 2
≥≤><
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Tipos de inecuaciones:
1. Inecuaciones lineales2. Inecuaciones cuadráticas3. Inecuaciones polinómicas4. Inecuaciones racionales5. Inecuaciones con radicales6. Inecuaciones trascendentes7. Inecuaciones trigonométricas
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 21
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Inecuaciones Lineales
Forma general:Las inecuacioneslineales son aquellasen las cuales todas lasvariables presentestienen potencia 1, ylas variables noforman parte deldenominador dealguna fracción.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 22
Con una variable
Con dos variables
0≤+ bax
0≤++ cbyax
Nota: Puede aparecer cualquier otro símbolo de desigualdad
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Inecuaciones Lineales
Ejemplo:Resolver una inecuación lineal con una variable significa encontrar el conjunto solución de valores para la variable que
satisface la desigualdad.
El método para resolverla,
generalmente es despejar la variable.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 23
3553
053
−>
−>>+
x
xx
Lo que significa que el conjunto solución es:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞− ,
35
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Inecuaciones Cuadráticas
Las inecuaciones cuadráticas tienen
todas o al menos una de las variables con
potencia 2, y no forman parte del denominador de alguna fracción.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 24
Forma general de una inecuación cuadrática
02 ≤++ cbxaxNota: Puede aparecer cualquier símbolo
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Inecuaciones Cuadráticas
Resolver una ecuación cuadrática con una
variable es encontrar el conjunto solución de
valores para la variable que satisfacen la
desigualdad.
Usamos un método que se denomina: Método de Sturm,
para conseguir dicho conjunto solución.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 25
Método de Sturm
1. Factorizamos la cuadrática
2. Sobre una recta marcamos las raíces
3. Escogemos un valor de prueba a la izquierda del menor de ellos
4. Estudiamos los signos de la expresión factorizada
5. Escogemos el signo determinado por la desigualdad
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Inecuaciones Cuadráticas
Ejemplo de aplicación del método de Sturm.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 26
Resolver la siguiente desigualdad cuadrática.
0652 >−− xx
Solución: Aplicamos los pasos del método
1. Factorización:
0652 >−− xx
0)1)(6( >+− xx
2. Representar gráficamente
-1 6
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Inecuaciones Cuadráticas
Ejemplo de aplicación del método de Sturm.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 27
Resolver la siguiente desigualdad cuadrática.
0652 >−− xx
Solución: Aplicamos los pasos del método
3. Valor de prueba
2−=x
11218626
−=+−=+−=−−=−
xx
4. Estudio del signo en la factorización
-1 6
++++++----------------------------------+++
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Inecuaciones Cuadráticas
Ejemplo de aplicación del método de Sturm.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 28
Resolver la siguiente desigualdad cuadrática.
0652 >−− xx
Solución: Aplicamos los pasos del método
5. Escogencia del signo: La desigualdad establece la escogencia del signo positivo
Solución:
-1 6
++++++----------------------------------+++
( ) ( )∞∪−∞− ,61,
![Page 29: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012315/5571f1f349795947648bd9c8/html5/thumbnails/29.jpg)
Inecuaciones Polinómicas
Las inecuaciones polinómicas son sumas de potencias enteras de
una variable.
El conjunto solución lo encontramos factorizando por
medio del método de Ruffini y aplicando el
método de Sturm.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 29
Forma general
0.... 012
21
1 ≤+++++ −− axaxaxaxa n
nn
n
![Page 30: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012315/5571f1f349795947648bd9c8/html5/thumbnails/30.jpg)
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales contienen
expresiones fraccionarias donde el denominador de alguna de las fracciones
contiene la variable.
Generalmente tienen polinomios en el numerador y el denominador.
Se resuelven usando el método de Sturm.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 30
Forma general
0....
....
012
21
1
012
21
1 ≤++++++++++
−−
−−
bxbxbxbxbaxaxaxaxa
mm
mm
nn
nn
Nota: Usaremos una sesión de ejercicios para tratar este caso.
![Page 31: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012315/5571f1f349795947648bd9c8/html5/thumbnails/31.jpg)
Otros tipos.
Otros tipos de inecuaciones son las que
contienen elementos exponenciales, logarítmicos y
trigonométricos.
No son objeto de estudio en el contenido de esta
asignatura.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 31
0)()( ≤+++ qpxmLncbxaLn
0)csc()( ≤+++ qpxmcbxasen
![Page 32: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012315/5571f1f349795947648bd9c8/html5/thumbnails/32.jpg)
Gracias por la atención prestada.
M.Sc. Jorge Eliecer Hernández Hernández.
16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 32