Laboratorio de Física IPractica Nº 2; Grupo Nº 2,

ECUACIONES EMPIRICASIng. Francisco Benedeti ¹ Sergio Girado ², Hector Triana ², Eugenio ², Johan Habid Orozco²

1. Profesor de Física I Teoría y Práctica2. Estudiantes de Ingeniería de sistemas II Semestre

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RESUMEN

Este artículo tiene como objetivo principal encontrar la relación funcional entre la longitud de un péndulo simple y su periodo, mediante el método empírico, ya que la mayoría de las veces en el desarrollo del trabajo experimental, se encuentra que las cantidades físicas involucradas en el estudio no son independientes sino que están relacionadas entre sí. Esto significa que al variar una de las cantidades, la otra también cambia.

PALABRAS CLAVES: Longitud, periodo, método empírico, relación funcional, péndulo simple

ABSTRACT

To find the functional relation between the length of a simple pendulum and its period, by means of the empirical method, since most of the times in the development of the experimental work, one is that the involved physical amounts in the study are not independent but that are related to each other. This means that when varying one of the amounts, the other also changes.

KEYWORDS: Length, period, empirical method, functional relation, simple pendulum.

1. INTRODUCCIÓN

Establecer ecuaciones para describir el movimiento o cualquier otro fenómeno físico es de mucha importancia en el campo de desempeño del ingeniero ya que en muchas ocasiones o situaciones a nivel laboral exigirán el conocimiento para determinar ecuaciones y poder Saber interpretar y dar una solución rápida a dicha situación.Un ejemplo practico para alcanzar dicha practica de establecer y plantear ecuaciones es con el manejo del péndulo, a nivel de laboratorio, es posible determinar la relación entre la longitud del péndulo y su periodo, ya sea empleando diferentes métodos tales como el método libre o como el de los mínimos cuadrados, podemos determinar las funciones que representan de mejor manera el movimiento de un péndulo de diferentes longitudes a través del tiempo.

2. OBJETIVOS

Encontrar una relación funcional entre la longitud de un péndulo simple y su periodo, mediante el método empírico.

3. MARCO TEÓRICO

METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS, RECTA DE REGRESION Y AJUSTE DE CURVAS.

Supongamos que un diagrama de dispersión de los datos de los puntos (X, Y) indica una relación lineal entre las variable X e Y o alternativamente que el coeficiente de correlación r de X e Y esta cerca de 1 o de -1. Entonces el siguiente paso es hallar la recta L que en algún sentido ajuste los datos. La recta que elegimos se llama la recta de mínimos cuadrados.

MINIMOS CUADRADOS

Con el fin de establecer la nomenclatura general se considera que se tiene un conjunto de n-pares de observaciones(X, Y). En un plano xy se puede visualizar la distribución de observaciones usando un diagrama de dispersión.

X X X

Grafica 1

En el cual podemos identificar que para cada observación se tiene un valor teórico expresado por la ecuación de la función. Así, se puede hablar de un error o desajuste a la diferencia entre el valor observado y el valor teórico. En el caso particular cuando los datos pueden ser descritos por una recta, Y=ax+b, se requiere los coeficientes a y b. Los mejores coeficientes serán aquellos que minimizan el cuadrado de los errores, dando lugar al método de mínimos cuadrados.

AJUSTE DE CURVAS

Algunas veces el diagrama de puntos no indica una relación lineal entre las variables X e Y pero se podrá observar que alguna otra curva típica y bien conocida Y=f (Y) que puede aproximar los datos se le llama curva de aproximación.

Algunas de esas curvas son:

1. Parábola:

y=a0+a1 x+a2 x2

2. Curva polinómica

y=a0+a1 x+a2 x2+…an x

n

3. Hipérbola:

y= 1a+bx

ó1y=a+bx

4. Curva exponencial:

y=abxó log y=a0+a1 x

5. Curva geométrica: y=a xbó log y=loga+b log x

Generalmente no es fácil decidir que curva usar para un conjunto dados de puntos. Por otra parte es normalmente más fácil determinar una relación lineal mirando el diagrama de dispersión o usando el coeficiente de correlación.

PENDULO

Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple.

Algunas definiciones de magnitudes físicas relacionadas con el movimiento de un péndulo son:

PERÍODO: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa.

FRECUENCIA: Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo.

AMPLITUD: Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura.

CICLO: Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto.

OSCILACIÓN: Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo (ida y vuelta).

LEYES DEL PENDULO

El período de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 péndulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo. El período de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

Esto significa que el período de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.

4. MATERIALES UTILIZADOS 1Regla graduada

1 Péndulo

1 Varilla de 100 cm.

1 Varilla de 20 cm.

1 Pie triangular

1 Pieza de sujeción de varillas

1 Cronometro

1 Trasportador

5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

a. Se tomo 5 veces el tiempo que demoraba el péndulo en hacer 25 oscilaciones, pendiendo de un hilo con una longitud de 120 cm. que formaba una amplitud de 15º.

b. Se tomo 5 veces el tiempo que demoraba el péndulo en hacer 25 oscilaciones, pendiendo de un hilo con una longitud de 100 cm. que formaba una amplitud de 15º.

c. Se tomo 5 veces el tiempo que demoraba el péndulo en hacer 25 oscilaciones, pendiendo de un hilo con una longitud de 80 cm. que formaba una amplitud de 15º.

d. Se tomo 5 veces el tiempo que demoraba el péndulo en hacer 25 oscilaciones, pendiendo de un hilo con una longitud de 60 cm. que formaba una amplitud de 15º.

e. Se tomo 5 veces el tiempo que demoraba el péndulo en hacer 25 oscilaciones, pendiendo de un hilo con una longitud de 40 cm. que formaba una amplitud de 15º.

f. Se tomo 5 veces el tiempo que demoraba el péndulo en hacer 25 oscilaciones, pendiendo de un hilo con una longitud de 20 cm. que formaba una amplitud de 15º.

6. DATOS OBTENIDOS

Las siguientes tablas nos muestran los diferentes Tiempos (t.) que demoraban las 25 oscilaciones cada longitud con ángulos menores o iguales a 15º.

1 2 3 4 5

T55.53

S56.47

S56.67

S56.63

S56.75

S

Ang. 15º 12º 10º 8º 5º

Tabla 1. L=120 cm

1 2 3 4 5

T51.87

S52.22

S52.37

S52.03

S51.85

S

Ang. 15º 12º 10º 8º 5º

Tabla 2. L=100 cm

1 2 3 4 5

T46.06

S44.87

S45.37

S45.32

S43.03

S

Ang. 15º 12º 10º 8º 5º

Tabla 3. L=80 cm

1 2 3 4 5

T40.25

S39.78

S41.03

S40.75

S39.85

S

Ang. 15º 12º 10º 8º 5º

Tabla 4. L=60 cm

1 2 3 4 5

T32.35

S31.18

S32.75

S31.25

S31.20

S

Ang. 15º 12º 10º 8º 5º

Tabla 5. L=40 cm

1 2 3 4 5

T24.50

S25.03

S24.35

S24.06

S24.15

S

Ang.

Tabla 6. L=20 cm

7. ANÁLISIS E INTERPTRETACION DE RESULTADOS

En base a los datos obtenidos en nuestro experimento en el cual tomamos diferentes tiempos a una misma longitud, ahora debemos calcular un tiempo promedio, el cual nos servirá para hallar el periodo de oscilación:

Longitud =120 cm.

Tprom. = (T1+T2+T3+T4+T5)/5(55.53+56.47+56.67+56.63+56.75)/5=56.41s

Longitud =100 cm.

Tprom. = (T1+T2+T3+T4+T5)/5(51.87+52.22+52.37+52.03+51.85)/5=52.07s

Longitud =80 cm.

Tprom. = (T1+T2+T3+T4+T5)/5(46.06+44.87+45.37+45.32+43.03)/5=44.93s

Longitud =60 cm.Tprom. = (T1+T2+T3+T4+T5)/5(40.25+39.78+41.03+40.75+39.85)/5=40.33s

Longitud =40 cm.

Tprom. = (T1+T2+T3+T4+T5)/5(32.35+31.18+32.75+31.25+31.20)/5=31.74s

Longitud =20 cm.

Tprom. = (T1+T2+T3+T4+T5)/5(24.50+25.03+24.35+24.06+24.15)/5=24.42sAhora que hemos hallados el tiempo promedio de 25 oscilaciones para cada una de las diferentes longitudes procedemos a encontrar el valor de una oscilación a través de la formula experimental.

T= tiempo promedio de las oscilaciones Numero de oscilaciones

Teniendo en cuenta nuestros datos el periodo (T) de oscilación de cada una de las longitudes es igual a:

Long. oscilaciones Tprom. T120 cm 25 56.41 s 2.256100 cm 25 52.07 s 2.08280 cm 25 44.93 s 1.79760 cm 25 40.33 s 1.61340 cm 25 31.74 s 1.26920 cm 25 24.42 s 0.976

Tabla 7. Periodo por formula experimental

Se tomo una amplitud de 15º, por que si el

péndulo oscila con amplitudes grandes el

movimiento del péndulo no seria armónico

simple.

8. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

A, Determine la forma de la función entre la longitud (L) y el periodo (T) con base en las graficas de T en función de L y Log(T) en función de Log(L) y teniendo en cuenta que la formula obtenida mediante el método teórico es:

De donde

T=2π√gL

12

Ecuación 1.Tomando esta formula nos damos cuenta que T es la variable dependiente ya que esta en función de L, por lo tanto esto podría ser expresado de la siguiente forma:

T (L )=2 π√gL

12

Siendo T (L) una variable dependiente, 2π

√g

una constante y L una variable independiente, podríamos expresarlo como:

T (L )=k L12

Donde k representa una constante.

Escribiéndolo de una manera más general tenemos:

y=a x12

Nos damos cuenta hemos obtenido la forma de una función polinómica, Que se escribe:

y=a xnEcuación 2.

Por otro lado si a y=a x12 le aplicamos

cuadrados a ambos lados obtenemos:

y2=(a x12)2

Luego:

y2=a2(x¿¿12)

2

¿

Entonces:

y2=a2 x❑❑

Pero a sigue siendo una constante así que finalmente:

y2=ax

Que remplazando en nuestra ecuación respecto al periodo tenemos:

T 2=aLEcuación 3.

A la cual le podríamos hallar la pendiente que como sabemos esta dada por:

y=mx+bSi a la Ecuación 2. Le aplicamos logaritmo a ambos lados sabiendo por las propiedades del logaritmo que:

1. log(x∗ y¿)=log x+ log y¿

2. log xn=n log x Entonces para deshacernos del exponente de:

y=a xnHacemos:

log y=log a+n log x

Que reescrito en términos de las variables utilizadas en la Ecuación 1, tendríamos:

log T= log2π

√ g+1

2log L

Aquí ya hemos encontrado las dos ecuaciones Periodo (T) en función de longitud (L) y log (T) en función de log (L).

La siguiente es una tabla que cuenta con todas las longitudes y sus respectivos periodos de oscilación hallados mediante la formula teórica.

Long.(m) πg (m

sg2 )T (s)

1.2 3.1416 9.8 2.1981 3.1416 9.8 2.010

0.8 3.1416 9.8 1.7950.6 3.1416 9.8 1.5540.4 3.1416 9.8 1.2700.2 3.1416 9.8 0.898

Tabla 8. Periodo mediante formula teórica.

Graficando T en función de L obtenemos:

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1

1.5

2

2.5

2.1982.007

1.7951.554

1.2700.989

Longitud (cm)

Perio

do (s

)

Grafica 1. T en función de LLa siguiente es una tabla que cuenta con log (L) y sus respectivos log (T), en el cual trabajamos la longitud en cm, por tal motivo

convertimos la gravedad que estaba en m

sg2

a cm

sg2 ; posteriormente utilizamos la formula:

logT=log2π

√ g+1

2log L

Log(L) Log(T)2.079 0.3421

2 0.3026

1.903 0.254

1.778 0.192

1.602 0.104

1.301 -0.05

Tabla 9. Log (T) en función de log (L).

Graficando log (T) en función de log (L)

1 2 3 4 5 6

-0.1-0.05

00.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

-0.05

0.104

0.1920.254

0.3030.342

Log(T) en funcion de Log(L)

Log(L)Lo

g(T)

Grafica 2. Log (T) en función de log (L).

De las graficas anteriores podemos decir que la forma de la función entre la longitud (L) y el periodo (T) cuando esta T en función de L es una grafica de tipo logarítmica y cuando esta Log(T) en función de Log(L) es una grafica de tipo exponencial, de lo que podemos decir que la grafica esta determinada por (T) en función de (L) ya que es la grafica correspondiente a esta función la que mejor se ajusta a los datos hallados según la formula teórica.

B. Mediante el cálculo libre de ajuste de curvas, determine las constantes de la ecuación propuesta para la función. Repita el proceso utilizando, para el ajuste de la curva, el método de los mínimos cuadrados. Compare los valores de las constantes halladas por cada método y determine porcentualmente la diferencia entre ellas.

Siendo (80,1.795) y (60, 1.554) puntos presentes en la recta, podemos hallar su pendiente mediante la ecuación:

m=y2− y1

x2−x1

1.795−1.55480−60

=0.24120

m=0.01205

Luego utilizando el punto (80,1.795) como el punto P(x0 , y0) entonces utilizamos la ecuación punto-pendiente:

y= y0+m(x−x0)

y=1.795+0.01205 ( x−80 )y=1.795+0.01205 x−0.964y=0.01205x+0.831

Ahora tenemos la ecuación de la recta para T en función de L, donde m=0.01205 y una constante de 0.832.

Hallaremos las constantes empleando el método de los mínimos cuadrados explicado anteriormente, cuya formula esta dada por:

a=∑ yx−

∑ y∑ x

n

∑ x2−¿¿¿¿

Siendo X la variable independiente, en nuestro caso L (Longitud del péndulo) e Y la variable dependiente T (L). Tenemos que:

X=L Y=T(L)120 2.198100 2.01080 1.79560 1.55440 1.27020 0.898

Tabla 10. Datos para emplear mínimos cuadrados (I)

∑ x ∑ y ∑ yx ∑ x2 ¿(∑ x)2

n

420 9.725

770.56 36400 176400 6

Tabla 11. Datos para emplear mínimos cuadrados (II)

Reemplazando los valores:

a=770.56−9.725∗420

6

36400−176400

6

a=0.01283

Ahora tenemos el valor de la constante a, pero aun falta el de b, para lo cual tenemos la siguiente formula:

b=∑ y

n−a∑ x

n

Reemplazando los valores:

b=9.7256

−0.01283∗4206

b=0.723

Entonces

y=0.028x+0.723

Diferencia porcentual de las constantes obtenidas por ambos métodos:

Cte. a Cte. b

Ajuste de curvas

0.01205 0.831

Mínimos cuadrados

0 .01283 0 .723

Diferenciaporcentual

-0.00078 0.108

Tabla 12. Diferencia porcentual de las constantes C. Calcule, utilizando las formulas empíricas obtenidas, los valores del periodo para cada una de las longitudes utilizadas en la experiencia. Compare los valores obtenidos mediante las formulas con los valores óptimos resultantes de las mediciones del experimento y determine en cada caso la diferencia porcentual entre ellos. Compare

estas diferencias con los márgenes de incertidumbre de las medidas experimentales.

Diferencia porcentual entre el periodo hallado por formula teórica y por formula experimental

formulateórica

Formulaexperimental

Diferenciaporcentual

2.198 2.219 -0.0212.010 2.022 -0.0121.795 1.813 -0.0181.554 1.580 -0.0261.270 1.296 -0.0260.898 0.964 -0.066

Tabla 13. Diferencia porcentual entre los periodos hallados por ambas formulas

Márgenes de Incertidumbre respecto al tiempo.

a. Longitud= 120cm.

Márgenes de Incertidumbre: (55.37-54.40)/2 =0.458s

Tiempo= 55.47±0.485

b. Longitud = 100cm.

Márgenes de Incertidumbre:

(50.87-50.28)/2=0.295s

Tiempo= 50.56±0.295

c.Longitud =80 cm.

Margen de incertidumbre: (45.41-45.25)/2 = 0.08 s

Tiempo: 45.32 ±0.08d. Longitud =60 cm.

Margen de incertidumbre:(39.97-39.26)/2 = 0.355 s

Tiempo: 39.45±0.355

e. Longitud =40 cm.

Márgenes de incertidumbre:(32.56-32.25)/2= 0.155 s

Tiempo: 32.39±0.155

f. Longitud =20 cm.

Margen de incertidumbre:(24.15-24.03)/2=0.06

Tiempo: 24.09±0.06

D. Calcule el valor de la aceleración de la gravedad utilizando las formulas obtenidas y determine porcentualmente las diferencias con el valor esperado (9,80 m/s)

De la ecuación

Despejamos g y nos queda

g= 4π 2

T 2 L

Long. (m) T(s) πg (m

s2 )

1.2 2.198 3.1416 9.81 2.010 3.1416 9.770.8 1.795 3.1416 9.80.6 1.554 3.1416 9.810.4 1.270 3.1416 9.790.2 0.898 3.1416 9.79

Tabla 14. Valores de la gravedad.

Promedio de la gravedad(9.8 m/seg² + 9.77 m/seg² + 9.8 m/seg² + 9.81 m/seg² + 9.79 m/seg² + 9.79 m/seg²)/6 = 9.79 m/seg²

Porcentaje de error (% error)

% error=(g teórica – g experimental/ g teórica)*100

Gravedad Gravedad

teórica experimental

% error

9.8 m/seg² 9.79 m/seg² 0.10 %

Tabla 15. Porcentaje de error de la gravedad obtenida experimentalmente

6. CONCLUSIONES

El periodo de un péndulo simple, para pequeñas oscilaciones (15º o 25º de máxima separación), depende exclusivamente de la longitud del péndulo, siendo independiente de la masa y la amplitud.

La ecuación que relaciona el periodo (T) y la longitud del péndulo es:

Si el péndulo oscila con amplitudes grandes

esta ecuación deja de tener validez porque a

un ángulo mayor el movimiento del péndulo

no seria armónico simple.

7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Sears, Zemansky, young, Freedman, Física Universitaria Tomo I, Décimo primera edición.

Douglas Giancoli, Física principio con Aplicaciones. Capítulo 1 y capítulo 11-5

Física re-Creativa- S. Gil y E. Rodríguez - Teoría de errores. Publicado en: http://www.fisicarecreativa.com/guias/capitulo1.pdf