18/9/2015 Ecuaciones en el espacio

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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETAITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS

ECUACIONES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS(en el espacio R3)

* Plano:

Ecuación del plano (con puntos de corte a, b, c):

(siendo a, b, c números reales que expresan los puntosde corte con los respectivos ejes x, y, z) .

En el caso de que alguna de las variables x, y, z noapareciera en la ecuación significaría que el plano no corta a dicho eje (en otraspalabras, lo corta en el infinito).

Por ejemplo, en la figura 1 de abajo tenemos un plano que no corta al eje z (esparalelo al eje z), en la figura 2 tenemos un plano que no corta a los ejes x,y portanto es paralelo al plano OXY:

(figura 1)

(figura 2)

* Esfera:

Ecuación de la esfera (centrada en el origen O):

x2 + y2 + z2 = R2

siendo R el radio de la esfera centrada en el origen.

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Ecuación de la esfera centrada en un punto P(a,b,c):

(x­a)2 + (y­b)2 + (z­c)2 = R2

* Elipsoide:

Ecuación del elipsoide (centrada en el origen O):

(a, b, c son los semi­ejes de las seccioneselípticas)

* Paraboloide:

Ecuación del paraboloide:

z = x2 + y2 (paraboloide de revolución)­lassecciones transversales al eje OZ son circulares.

* * *

z = m x2 + n y2 (paraboloide general) lassecciones transversales al eje OZ son elípticas.

* Superficie cónica:

Ecuación de la superficie cónica:

z2 = x2 + y2 (superficie cónica de revolución; las secciones transversales al ejez son circulares)

* * *

z2 = m x2 + n y2 (superficie cónica general; las secciones transversales al eje zson elípticas)

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* Superficie cilíndrica:

Ecuación de lasuperficie cónica:

x2 + y2 =R2 (superficie

cilíndrica de revolución;las secciones

transversales al eje zson circulares)

* * *

(superficie cilindroide; las secciones transversales al eje z son

elipses ­de semiejes a, b­)

* Hiperboloide (una hoja)

Si b = c se trata de un hiperboloidede revolución.

* Hiperboloide (dos hojas)

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