Ecuaciones Exactas y Factor Integrante
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Ecuaciones exactas La ecuación M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si existe una función u de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal que: ( ) y ( ) Supongamos que M y N están definidas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región del plano xy. Y por la suposición de continuidad las segundas derivadas parciales son iguales por lo tanto se cumple: Que es condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, sea exacta. Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta, entonces se tiene una función u(x,y) que se encuentra de siguiente forma: ∫ ( ) () O ∫ ( ) () Ejemplo Resolver (1+x 2 ) dy +2xy dx=0 Solución: Vemos que M=2xy, N= 1+x 2 . Se cumple que: Ahora hallamos u(x, y). Por tanto, ∫ () de modo que u(x, y)=x 2 y +k( y ). Para determinar k (y) se deriva u con respecto a la variable y, de aquí se tiene: Igualamos du/dy = N, entonces dk/dy + x 2 = 1+ x 2 , De modo que dk/dy=1, entonces integrando con respecto a la variable y se tiene que: k (y)= y + c Ahora se sustituye K en u(x, y)=x 2 y + k (y), entonces tenemos ecuación:
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Ecuaciones exactas
La ecuación M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si existe una función u de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas,
tal que:
( ) y
( )
Supongamos que M y N están definidas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región del plano xy. Y por la suposición de continuidad las segundas derivadas parciales son iguales por lo tanto se cumple:
Que es condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, sea exacta. Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta, entonces se tiene una función u(x,y) que se encuentra de siguiente forma:
∫ ( ) ( )
O
∫ ( ) ( )
Ejemplo
Resolver (1+x2) dy +2xy dx=0
Solución:
Vemos que M=2xy, N= 1+x2. Se cumple que:
Ahora hallamos u(x, y).
Por tanto, ∫ ( )
de modo que u(x, y)=x2y +k( y ).
Para determinar k (y) se deriva u con respecto a la variable y, de aquí se tiene:
Igualamos du/dy = N, entonces
dk/dy + x2 = 1+ x2,
De modo que dk/dy=1, entonces integrando con respecto a la variable y se tiene que:
k (y)= y + c Ahora se sustituye K en u(x, y)=x2y + k (y), entonces tenemos ecuación:
u(x, y)= x2y + y + c = 0. (Donde c es una constante y puede ser positiva o negativa), Despejamos la variable y en x2y + y + c = 0se tiene como solución general a:
El factor integrante
Algunas ecuaciones de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy =0 no son exactas, pero pueden serlo si se multiplica por una función adecuada u(x, y). Esta función recibe el nombre de factor integrante.
La forma de encontrar un factor integrante es de la siguiente manera: A. Si el factor integrante esta en función de la variable x, se usa:
( )
, entonces ( ) ∫ ( ) donde u(x) es el factor
integrante. B. Si el factor integrante esta en función de la variable y, se usa:
( )
, entonces ( ) ∫ ( ) donde u(x) es el factor
integrante. C. Si el factor integrante esta en función del producto de x*y se usa: D.
Si ( )
, con Z = x*y entonces ( ) ∫ ( ) donde
u(xy) es el factor integrante.
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial: (1 – x2y) dx + x2(y – x) dy = 0
Solución
Tenemos:
{
( )
Como
entonces la ecuación diferencial no es exacta.
Ahora sea ( )
( )
Luego ( ) ∫
, por tanto u(x) = 1/x2
Ahora multiplicamos la ED. por el factor integrante que hallamos y tenemos:
(
) ( ) que es una ED exacta, porque se cumple que:
{
( )
Entonces existe una función f(x,y) talque: ( )
.
Por lo tanto
, entonces integrando respecto a la variable x:
( ) ∫ (
) ( )
( ) (1). Ahora se deriva con
respecto a la variable y:
( ), como
, entonces N = – x + k’(y) luego tenemos:
y – x = – x + k’(y), por lo tanto y = k’(y), de aquí que ( )
.
Que se remplaza en (1) y tenemos:
( )
Y por ultimo la solución es:
. Hacemos k= –2c y se tiene:
