República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad “Fermín Toro”

Cabudare – Lara

Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Integrante:

Christopher Adan C.I 24400311

Sección. SAIA B

Cabudare, Estado Lara 2015

Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal

de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones

lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de

primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo

de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las

variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más

antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como

en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación,

predicción y más generalmente en programación lineal así como en

la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.

Método de eliminación gaussiana: este método propone la

eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones,

hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta

esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores

de todas las variables.

Ejemplo:

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe

que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble

de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se

duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de

ecuaciones.

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20

el doble de los niños:

También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al

número de niños:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado

resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos

siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que

no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos

que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

Método de Gauss Jordan: Una variante de este método,

denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable

únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en

triangular la matriz aumentada del sistema mediante

transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una

sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la

misma fila de la matriz.

Ejemplo

Supóngase que es necesario encontrar los números x, y, z, que

satisfacen simultáneamente al siguiente sistema de ecuaciones

lineales:

Inicialmente, se escriben los coeficientes del sistema como

una matriz aumentada. Lo que en notación matricial se denota por:

Posteriormente, se reduce la incógnita , sumando a la segunda fila,

la primera multiplicada por  , y a la tercera, la primera fila. La matriz

queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita   en la primera y

tercera fila, para lo cual se suma la segunda multiplicada por   y

por , respectivamente.

Por último, se elimina  , tanto de la primera como de la segunda

fila, sumándoles la tercera multiplicada por   y por  ,

respectivamente:

Llegados a este punto se puede resolver directamente las

ecuaciones que se nos plantean:

O, si se prefiere, se puede multiplicar las tres filas de la matriz

por:  ,   y   respectivamente, y obtener así automáticamente los

valores de las incógnitas en la última columna.

Descomposición LU: es una forma de factorización de

una matriz como el producto de una matriz triangular

inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este

método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales,

por ejemplo, si uno o varios elementos de la diagonal

principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario pre

multiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de

permutación. Método llamado factorización   

o   con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis

numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más

eficientemente) o encontrar las matrices inversas.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la

matriz en LU:

= 

Las matrices de factores L y U de A son:

L =   U = 

El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución

progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y:

=

Donde 

 

 

 

El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los

elementos de X, por sustitución regresiva:

=

De donde se obtiene:

 

 

 

Factorizacion de Cholesky: El método de Factorización de Cholesky

se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida

positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada

como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de

la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulares

resultantes son la traspuesta de cada uno. A = L . LT

Metodo de Gauss Seidel: En análisis numérico el método de

Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para

resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en

honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp

Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de

ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada,

naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe

tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los

elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método

solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es

simétrica y, a la vez, definida positiva.

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una

aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una

solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en

notación matricial:

Donde:

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración

:

Donde

Definimos

Y

,

Donde los coeficientes de la matriz N se definen como   si

,   si .

Considerando el sistema   con la condición de que

. Entonces podemos escribir la fórmula de

iteración del método

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este

último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta

completar las iteraciones.

Metodo de Jacobi: En análisis numérico el método de Jacobi es

un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones

lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del

matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi

consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema   

en la forma siguiente:

Donde

, es una matriz diagonal.

, es una matriz triangular inferior.

, es una matriz triangular superior.

Partiendo de  , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método

de Jacobi puede ser expresado de la forma:

Donde   es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los

elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al

contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede

sobrescribir xi(k) con xi

(k+1), ya que su valor será necesario para el

resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre

los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de

almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será

necesario realizar un copiado explícito.