Ecuaciones Lineales

Definiciones y Ejemplos• Una ecuación es una declaración de que dos

cantidades o expresiones son equivalentes. • Ejemplo: La ecuación d = rt enuncia que

distancia = (razón)(tiempo) (para un objeto en moviemiento).– Si la razón, r, es 45 mi/hr, entonces la

ecuación se convierte en d = 45t ;– Para hallar el tiempo que toma viajar 75

millas, reemplazas d con 75 y resuelves la ecuación para d .

– 75 = 45t ; dividiendo entre 45 en ambos lados de la ecuación da

hours145

7532t

Terminología de ecuacionesTerminología Definición Ejemplo

Una ecuación en x

Un enunciado de igualdad que envuelve una sola variable, x

Solución o raiz de una ecuación en x

Un número, b , que al sustituirse por x produce un enunciado cierto

5 es solución de x2 – 5 = 4x por que52 – 5 = 4(5) simplifica a 20 = 20 que es un enunciado cierto

Un número b satisface la ecuación

b es una solución de la ecuación

5 satisface x2 – 5 = 4x

resolver una ecuación en x

Encontrar todas las soluciones de la ecuación

Para resolver la ecuación x2 – 5 = 4x, recogemos todos los términos a un lado, factorizamos e igualamos cada factor a cero.

xx 452

Ecuaciones lineales• La ecuación algebraica más básica

es la ecuación lineal, una ecuación de la forma

ax + b = 0 , donde a ≠ 0 .• Por ejemplo, para resolver la

ecuación lineal

4x + 5 = 0 ,

primero restamos 5 de ambos lados 4x = -5 , y luego se divide entre 4 en ambos lados y se obtiene x = -5/4 .

Pasos comunes para resolver ecuaciones

• Algunas técnicas que se usan para resolver ecuaciones son…– Sumar la misma expresión a ambos

lados de la ecuación; – Restar la misma expresión a ambos

lados de la ecuación;– Multiplicar o dividir en ambos lados

de la ecuación por una expresión cuya valor sea diferente a cero.

Resolviendo ecuaciones lineales

• Resolver: 3(x – 1) + 5 = 14(Buscamos el valor de la variable x que hace que la expresión del lado izquierdo tenga un valor de 14)3x – 3 + 5 = 143x + 2 = 143x = 12x = 4

Resolviendo ecuaciones lineales

• Resolver: 3(5x – 2) = 2(x – 16 )Nota: Nos interesa saber el valor de x

que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.

15x – 6 = 2x – 32 15x – 2x = 6 – 32 13x = -26x = -2

Resolviendo ecuaciones lineales

Resolver: 5x – 4 = 2(x – 2 )Nota: Nos interesa saber el valor de x

que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.

5x – 4 = 2x – 4 (Aplicar la distributiva.)

5x – 2x = 4 – 4 (Recoger términos semejantes.)

3x = 0 (Simplificar)

x = 0 (El único valor de x que hace que ambas expresiones tengan el mismo valor es cero. No es lo mismo que decir que la ecuación no tiene solución.)

Resolviendo ecuaciones lineales

Resolver:Nota: Nos interesa saber el valor de x

que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.

4x – 2 = 4x (Multiplicar ambos lados por 2.)

4x – 4x = 2 (Recoger términos semejantes.)

0 = 2 (Enunciado FALSO.)

¡No existe solución! (No existe un valor de x que haga que ambas expresiones tengan el mismo valor.)

xx

22

24

Resolviendo ecuaciones lineales

Resolver:6x – 9 = 3(2x – 3) (Multiplicar ambos lados por 3.)

6x – 9 = 6x – 9 (Aplicar la distributiva.)Nota: Cualquier valor de x hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.

6x – 6x = 9 – 9 (Recoger términos semejantes.)

0 = 0 (Enunciado CIERTO para SIEMPRE.)

¡Existen una cantidad infinita de soluciones!

323

96

x

x

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales• Resolver: 2

6

2

3

xx

x

2

62

2

32

xx

x

xx

2

62

2

32

xx

x

xx

63 x

2x

Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador para eliminarlo

• Resolver:

– Notar que 8x – 4 = 4(2x – 1)12

2

48

15

x

x

x

x

13 x

3

1x

12

2

)12(4

15

x

x

x

x

12

2)12(4

)12(4

15)12(4

x

xx

x

xx

xx 815 Como x = 1/3 NO hace que NINGUNO de los denominadores de la ecuación original sea 0, podemos aceptar x= 1/3 como una solución.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales

Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador mas complejo para eliminarlo.

• Resolver: 4

65

2

1

2

42

x

x

xx

4

654

2

1

2

44

2

22

x

xx

xxx

4

654

2

14

2

44 2

222

x

xx

xx

xx

651242 xxx

65284 xxx

6565 xx00

Un enunciado que siempre es cierto implica que cualquier número real satisface la ecuación.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador más complejo para eliminarlo

• Resolver: 5

151

5

3

xx

x

1553 xx

5

1515

5

35

xx

x

xx

5

1555

5

35

xxx

x

xx

103 xx103 xx

102 x5x

¡ No se puede reemplazar el valor de 5 en las ecuaciones originales por que hacen el denominador igual a cero! Entonces, NO hay solución.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales¡ No olvide aplicar correctamente la propiedad distributiva en el lado derecho!

• Resolver: 32

4

2

3

32

5

xxx

8496105 xxx

5

11x

23232

4

2

3

32

5

xx

xxx

2432325 xxx

1098465 xxx

115 x

Como x = -11/5 NO hace que NINGUNO de los denominadores de la ecuación original sea 0, podemos aceptar x= -11/5 como una solución.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

linealesLos denominadores NO tienen factores en común, se multiplica por ambos denominadores.

23232

4232

2

3232

32

5

xx

xxx

xxx

x

• Resolver: 49513 2 xxx

20419169 22 xxxx

201416 xx

2135 x

35

21x

5

3x

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales

(3 𝑥−1 ) (3 𝑥−1 )=( 𝑥−5 ) (9𝑥−4 )

• Determinar si b= - ½ satisface la ecuación:

• Reemplaza x= - ½ y simplificar.

22

1

22

3

bb

22

1

22

3

21

21

21

2

3

23

23

23

2

3

3

3

41

ecuación. la satisface NO -b

falso. es enunciado Este

21

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales

Dos soluciones

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales

La igualdad de dos valores absolutos ocurre cuando:• Las expresiones producen el mismo

valor.• Las expresiones producen valores

iguales pero con signos opuestos.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran

lineales𝟑 𝒙−𝟏=𝒙−𝟐 (𝟑 𝒙−𝟏 )=− ( 𝒙−𝟐 )

• 4

x 18

5

Resolver.5x 6 8 32

5x 6 24 5x 6 24

5x 30 5x 18

8 85x 6 24

x 6 Dos soluciones

{− 185,6 }

Resolver.4 x 5 20

x 5 5 x 5 5

x 0 x 10

4 4

x 5 5

Dos soluciones

{−10 ,0 }