Ecuaciones No-Lineales y raices polinomiales · Metodo (abierto) de Newton-Raphson 13 f(x) en serie...
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Fisica Computacional - CC063
Ecuaciones No-LinealesEcuaciones No-Linealesy raices polinomialesy raices polinomiales
Prof: J. Solano2012-I
Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ciencias
Física ComputacionalCC063
Fisica Computacional - CC063
IntroduccionIntroduccion
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En Física a menudo nos encontramos con el problema de determinar la raíz de una función f (x). Sobre todo, es posible que necesitemos resolver ecuaciones no lineales de una variable.
Tales ecuaciones son generalmente divididas en dos clases: ecuaciones algebraicas que involucran raíces de los polinomios y ecuaciones trascendentales.
Cuando sólo hay una variable independiente, el problema es 1D, es decir, encontrar la raíz o raíces de una función.
Salvo en los problemas lineales, la búsqueda de raíces siempre se procede por iteración, y esto es igualmente cierto en una o en muchas dimensiones.
Esto significa que a mano no podemos resolver exactamente las ecuaciones.
Empezamos con alguna solución aproximada de prueba. El algoritmo elegido, a su vez mejorara la solución hasta que cierto determinado criterio de convergencia es satisfecho.
Los algoritmos que comentamos a continuación tratan de implementar esta estrategia. Nos ocuparemos principalmente de problemas 1D.
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Ecuacion de Schrodinger (ES)Ecuacion de Schrodinger (ES)
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Ejemplos de ecuaciones trascendentales al resolver la Ecuacion de Schrodinger (ES) para un particula en una caja de potencial. La ES 1D para una particula de masa m es:
Estados ligados corresponden a energia negativa E y estados de scattering a energias positivas.
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Ecuacion de Schrodinger (ES)Ecuacion de Schrodinger (ES)
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Si vemos los estados límite E < 0 e implementamos las CF en la función de onda se obtiene:
Por continuidad de funcion de onda en r = a se obtiene la ec. trascendental
Este tipo de ecs. puede resolverse por los metodos de Biseccion, de Secante, Falsa posicion y metodos de Brent, metodo de Newton-Raphson.
La estrategia consiste en hallar las raices de f(E)=0
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Probl: Ecuacion de Schrodinger (ES)Probl: Ecuacion de Schrodinger (ES)
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Plot f(E) vs |E| en MeV. f(E) tiene dimension MeV. E es para estados ligados.
V0=20 MeV, a=2 fm, m =938MeV.
Del plot vemos que solucion es cerca de |E|~2.2MeV (energia enlace deuteron)
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Metodos de iteracionMetodos de iteracion
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Resolver f(x)=0 es hallar los numeros s tq f(s)=0. Procuramos un x0 (dentro de
tolerancia ), que es solucion de f(s)=0 si
Podemos usar otro criterio como y |f(x0)|< o combinacion de ellos.
Eso no asegura la convergencia => criterio de Lipschitz: si la funcion f, definida en [a,b] satisface para todo x
1 y x
2, de dicho intervalo, la condicion
f es continuo en [a,b], => la secante da
con x1 , x
2 , dentro de [a,b].
Entonces tenemos:
Condic.convergencia: f definido en [a,b] y satisface condicion de Lipschitz con k<1
Si xn es valor de x despues de n iteraciones:
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Metodos de iteracionMetodos de iteracion
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Numericamente es dificil hallar el punto exacto donde f(s)=0, por lo que en esta solucion numerica se impementan tres tests del tipo:
1. |xn – s| <
2. |f(s)| <
3. un numero maximo de iteraciones Nmax-iter
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Metodo de BiseccionMetodo de Biseccion
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Este método es extremadamente simple de codificar. Puede explicarse mejor mediante la elección de una región (por ej. en fig. anterior) cerca de donde f(E)=0. En nuestro caso |E|~2.2.
Elegir un región [a,b] de modo que a=1.5 y b=3. Esto debe abarcar el punto donde f=0.
Definir entonces el punto c =(a+b)/2 y calcule f(c).
Si f(a)f(c)<0, la solucion cae en la region [a,(a+b)/2]. Cambia b←c y calcula un nuevo valor de c.
Si f(a)f(c)>0, la solucion cae en la region [(a+b)/2,b]. Cambia a←c y calcula un nuevo valor de c.
Se continua dividiendo el intervalo por la mitad en cada iteracion hasta alcanzar un c tal que f(c)~0, dentro de una precision numerica dada.
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Metodo de BiseccionMetodo de Biseccion
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biseccion.ccbiseccion.cc
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Metodo de BiseccionMetodo de Biseccion
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El método de biseccion es una prueba del metodo iteractivo, aunque converge lentamente. Despues de n divisiones por 2 tenemos una posible solucion en el intervalo
y si tenemos que x0=(a+b)/2 y x
n el punto medio en el intervalo despues de n iteraciones
ya que el n-simo intervalo tiene longitud |b-a|/2n. Este criterio de convergencia es independiente de f(x).
Ejemplo: suponga que queremos saber cuantas iteraciones se necesitan para obtener una precision relativa de 10-12 para x
n en el intervalo [50,63].
En nuestro caso es suficiente estudiar s≥50, que resulta en
Con lo que obtenemos dando n≥37
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biseccion3.ccbiseccion3.cc
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Metodo (abierto) de Newton-RaphsonMetodo (abierto) de Newton-Raphson
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f(x) en serie de Taylor
Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en xn+1
:
Si además se acepta que tiende a la raíz, se ha de cumplir que , luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.
Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación f(x)=0, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:
Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:
Entonces:
Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:
Por tanto, imponiendo subíndices:
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new-raphson.ccnew-raphson.cc
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new-raphson.ccnew-raphson.cc
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Osc-amortiguado.ccOsc-amortiguado.cc
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Osc-amortiguado.cc (cont.)Osc-amortiguado.cc (cont.)
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Metodo de la secanteMetodo de la secante
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Cuando la funcion f(x) es “smooth” cerca de la raiz, los metodos de la Secante y de Posicion falsa (regula falsi) en general convergen mas rapido que el metodo de biseccion pero menos rapido que el de Newton-Raphson
De la definicion de derivada
y el metodo de Newton-Raphson
obtenemos
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Metodo de la secanteMetodo de la secante
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Metodo de la secanteMetodo de la secante
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