Ecuaciones ntegro-diferenciales - Universidad Nacional del Sur · 2020-04-05 · Ecuaciones...
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Ecuaciones ıntegro-diferenciales
Luis Silvestre
University of Chicago
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Outline
IntroduccionProcesos estocasticos con saltos
Ejemplos de ecuaciones no linealesAplicacionesLa ecuacion de BoltzmannLa ecuacion de Muskat
Concepto de elipticidad uniformeDefiniciones naturalesUn problema
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = x
Consideremos siguiente paseoaleatorio.El punto inicial esta dado: X0 = x .En cada paso se elige el proximo puntoXi+1 de manera uniforme en la bola deradio uno centrada en Xi .Sea XN el primer punto que se sale deun dominio Ω ⊂ Rn.
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Un proceso con saltos
X0 = xXN
Dada una funcion f : Rn \ Ω→ R, sea
u(x) = E[f (XN)].
La funcion u satisface la ecuacion,
u(x) = f (x) , x ∈ Rn \ Ω,
u(x) =1
|B1|
∫B1(x)
u(y) dy , x ∈ Ω.
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Un proceso con saltos
X0 = xXN
Dada una funcion f : Rn \Ω→ R, sea
u(x) = E[f (XN)].
La funcion u satisface la ecuacion,
u(x) = f (x) , x ∈ Rn \ Ω,∫B1(x)
(u(y)− u(x)) dy = 0 , x ∈ Ω.
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Propiedades basicas de la ecuacion
u(x) = f (x) , x ∈ Rn \ Ω,∫B1(x)
(u(y)− u(x)) dy = 0 , x ∈ Ω.
I Se cumple el principio del maximo,
maxΩ
u ≤ maxRn\Ω
f .
I Para cada f continua existe una unica u que resuelve laecuacion.
I La funcion u se hace mas regular hacia el interior de Ω.
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Caso paraboico
Consideramos un proceso estocastico Xt . Ahora t es una variablecontinua. Xt salta de tanto en tanto siguiendo la mismadistribucion que antes. Los tiempos en que se producen los saltosse determinan por un proceso de Poisson de intensidad 1 .
Sea f : Rn → R dada, definimos
u(t, x) = E[f (Xt)].
Esta funcion satisface la ecuacion,
ut(t, x) =1
|B1|
∫B1(x)
(u(y)− u(x)) dy .
∫Rn
K (y) dy = , K ≥ 0.
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Caso paraboico
Consideramos un proceso estocastico Xt . Ahora t es una variablecontinua. Xt salta de tanto en tanto siguiendo una distribucion K .Los tiempos en que se producen los saltos se determinan por unproceso de Poisson de intensidad 1 .
Sea f : Rn → R dada, definimos
u(t, x) = E[f (Xt)].
Esta funcion satisface la ecuacion,
ut(t, x) =
∫Rn
(u(y)− u(x))K (y − x) dy .
∫Rn
K (y) dy = , K ≥ 0.
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Caso paraboico
Consideramos un proceso estocastico Xt . Ahora t es una variablecontinua. Xt salta de tanto en tanto siguiendo una distribucion K .Los tiempos en que se producen los saltos se determinan por unproceso de Poisson de intensidad 1 .
Sea f : Rn → R dada, definimos
u(t, x) = E[f (Xt)].
Esta funcion satisface la ecuacion,
ut(t, x) =
∫Rn
(u(y)− u(x))K (y − x) dy .
∫Rn
K (y) dy = 1, K ≥ 0.
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Caso paraboico
Consideramos un proceso estocastico Xt . Ahora t es una variablecontinua. Xt salta de tanto en tanto siguiendo una distribucion K .Los tiempos en que se producen los saltos se determinan por unproceso de Poisson de intensidad κ .
Sea f : Rn → R dada, definimos
u(t, x) = E[f (Xt)].
Esta funcion satisface la ecuacion,
ut(t, x) =
∫Rn
(u(y)− u(x))K (y − x) dy .
∫Rn
K (y) dy = κ, K ≥ 0.
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Caso paraboico
Consideramos un proceso estocastico Xt . Ahora t es una variablecontinua. Xt salta de tanto en tanto siguiendo una distribucion K .Los tiempos en que se producen los saltos se determinan por unasuperposicion de procesos de Poisson.
Sea f : Rn → R dada, definimos
u(t, x) = E[f (Xt)].
Esta funcion satisface la ecuacion,
ut(t, x) =
∫Rn
(u(y)− u(x))K (y − x) dy .
∫Rn
K (y) dy = +∞, K ≥ 0.
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Operadores elıpticos clasicos
Las operadores diferenciales elipticos clasicos son casos lımite deoperadores ıntegro-diferenciales.
4u(x) = lımr→0
∫Rn
(u(y)− u(x))Kr (y − x) dy ,
dondeKr (y) =
cnrn+2
1Br (y).
(y de muchas otras maneras mas)
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Operadores que satisfacen el principio del maximo
Theorem (Courrege 1965)
Sea L : C∞(Rn)→ C (Rn) un operador tal que,
u(x0) = maxRn
u −→ Lu(x0) ≤ 0.
Entonces L tiene la siguiente forma
Lu = tr(A(x)D2u) + b(x) · ∇u
+
∫Rn
(u(x + y)− u(x)− y · ∇u(x)1B1(y))K (x , y) dy .
1. Diffusion part: A(x) es una matriz definida positiva
2. Drift part: b(x) es un campo vectorial cualquiera.
3. Jump part: K (x , y) ≥ 0 y∫K (x , y) mın(1, |y |2) dy < +∞.
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Operadores que satisfacen el principio del maximo
Theorem (Courrege 1965)
Sea L : C∞(Rn)→ C (Rn) un operador tal que,
u(x0) = maxRn
u −→ Lu(x0) ≤ 0.
Entonces L tiene la siguiente forma
Lu = tr(A(x)D2u) + b(x) · ∇u
+
∫Rn
(u(x + y)− u(x)− y · ∇u(x)1B1(y))K (x , y) dy .
1. Diffusion part: A(x) es una matriz definida positiva
2. Drift part: b(x) es un campo vectorial cualquiera.
3. Jump part: K (x , y) ≥ 0 y∫K (x , y) mın(1, |y |2) dy < +∞.
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Operadores que satisfacen el principio del maximo
Theorem (Courrege 1965)
Sea L : C∞(Rn)→ C (Rn) un operador tal que,
u(x0) = maxRn
u −→ Lu(x0) ≤ 0.
Entonces L tiene la siguiente forma
Lu = tr(A(x)D2u) + b(x) · ∇u
+
∫Rn
(u(x + y)− u(x)− y · ∇u(x)1B1(y))K (x , y) dy .
1. Diffusion part: A(x) es una matriz definida positiva
2. Drift part: b(x) es un campo vectorial cualquiera.
3. Jump part: K (x , y) ≥ 0 y∫K (x , y) mın(1, |y |2) dy < +∞.
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Operadores que satisfacen el principio del maximo
Theorem (Courrege 1965)
Sea L : C∞(Rn)→ C (Rn) un operador tal que,
u(x0) = maxRn
u −→ Lu(x0) ≤ 0.
Entonces L tiene la siguiente forma
Lu = tr(A(x)D2u) + b(x) · ∇u
+
∫Rn
(u(x + y)− u(x)− y · ∇u(x)1B1(y))K (x , y) dy .
1. Diffusion part: A(x) es una matriz definida positiva
2. Drift part: b(x) es un campo vectorial cualquiera.
3. Jump part: K (x , y) ≥ 0 y∫K (x , y) mın(1, |y |2) dy < +∞.
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Ecuaciones parabolicas no locales
ut(t, x) =
∫Rn
(u(t, y)− u(t, x))K (t, x , y) dy .
I K ≥ 0 =⇒ principio del maximo =⇒ unicidad de soluciones.
I A veces la ecuacion regulariza el dato inicial. Idea: la ecuacionempuja los valores de u(x) para equipararse con el promediode sus vecinos.
I La solucion va a ser mas regular que el dato inicial cuandoeste efecto sea uniforme en todas las escalas.
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Ecuaciones parabolicas no locales
ut(t, x) =
∫Rn
(u(t, y)− u(t, x))K (t, x , y) dy .
I K ≥ 0 =⇒ principio del maximo =⇒ unicidad de soluciones.
I A veces la ecuacion regulariza el dato inicial. Idea: la ecuacionempuja los valores de u(x) para equipararse con el promediode sus vecinos.
I La solucion va a ser mas regular que el dato inicial cuandoeste efecto sea uniforme en todas las escalas.
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La ecuacion del calor fraccionaria
ut(t, x) =
∫Rn
(u(t, y)− u(t, x))|y − x |−n−2s dy .
Notar que
(−4)su(x) = cn,s
∫Rn
(u(x)− u(y))|y − x |−n−2s dy .
(−4)su(ξ) = |ξ|2s u(ξ).
El nucleo K (y) = |y |−n−2s no es integrable. La integral es clasicasi s < 1/2 y se entiende como valor principal si 1/2 ≤ s < 1.
Un operador ıntegro-diferencial es elıptico de order 2s cuandoK (y) ≈ |y |−n−2s .
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La ecuacion del calor fraccionaria
ut(t, x) =
∫Rn
(u(t, y)− u(t, x))|y − x |−n−2s dy .
Notar que
(−4)su(x) = cn,s
∫Rn
(u(x)− u(y))|y − x |−n−2s dy .
(−4)su(ξ) = |ξ|2s u(ξ).
El nucleo K (y) = |y |−n−2s no es integrable. La integral es clasicasi s < 1/2 y se entiende como valor principal si 1/2 ≤ s < 1.
Un operador ıntegro-diferencial es elıptico de order 2s cuandoK (y) ≈ |y |−n−2s .
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Teorıa de ecuaciones no locales
Infinidad de resultados para ecuaciones elıpticas y parabolicas seextienden a ecuaciones ıntegro-diferenciales, lineales y no lineales.
Algunos de los temas comunes son
I Existencia y unicidad de soluciones.
I Regularidad de las soluciones.
I Estimaciones a priori.
I Desigualdad de Harnack.
I Comportamiento cuando t → +∞.
I Lımites asintoticos.
I Muchos etceteras.
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Aplicaciones
I Procesos estocasticos discontinuosI Matematica financiera: libro de R. Cont and P. Tankov.I Fısica: ver artıculos de R. Metzler and J. Klafter.
I Electroestatica no local. Aplicaciones al calculo de atraquesentre proteınas estudiada por un grupo en ZBI incluyendo a A.Hildebrandt, R. Blossey, S. Rjasanow, O. Kohlbacher, H.P.Lenhof.
I Procesamiento de imagenes. Includyendo el trabajo de S.Osher, P. Guidotti, etc...
I Ecuaciones de fluidos. Por ejemplo la ecuacionquasi-geostrofica o el problema de Muskat.
I Problemas de mecanica estadıstica. La ecuacion deBoltzmann.
I Geometrıa conforme. Incluyendo el trabajo de A. Chang, M.Gonzalez
I El operador Dirichlet to Neumann.
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La ecuacion de Boltzmann
La funcion f(x,v,t) representa la densidad de partıculas de un gas
ft + v · ∇x f = Q(f , f ).
El termino Q(f , f ) es no-local y esta dado por la expresion
Q(f , f )(v) =
∫Rn
∫Sd−1
(f (v ′∗)f (v ′)−f (v∗)f (v)
)B(|v−v∗|, θ)dσdv∗.
Es una expresion (algo complicada) que viene de la interaccionentre las particulas del gas. Hay varias posibles funciones Bdependiendo del modelo.
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Interaccion entre partıculas
Q(f , f )(v) =
∫Rn
∫Sd−1
(f (v ′∗)f (v ′)− f (v∗)f (v)
)B(|v − v∗|, θ)dσdv∗.
Kf es un nucleo que depende de f a partir de una formula integral(tambien algo complicada).
b es una funcion fija que se calcula en funcion de B.
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Interaccion entre partıculas
Q(f , f )(v) =
∫Rn
∫Sd−1
(f (v ′∗)f (v ′)−f (v ′∗)f (v)
)B(|v − v∗|, θ)(
f (v ′∗)f (v)− f (v∗)f (v)
)B(|v − v∗|, θ)dσdv∗.
Kf es un nucleo que depende de f a partir de una formula integral(tambien algo complicada).
b es una funcion fija que se calcula en funcion de B.
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Interaccion entre partıculas
Q(f , f )(v) =
∫Rn
∫Sd−1
(f (v ′∗)f (v ′)− f (v ′∗)f (v)
)B(|v − v∗|, θ)(
f (v ′∗)f (v)− f (v∗)f (v)
)B(|v − v∗|, θ)dσdv∗.
Kf es un nucleo que depende de f a partir de una formula integral(tambien algo complicada).
b es una funcion fija que se calcula en funcion de B.
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Interaccion entre partıculas
Q(f , f )(v) =
∫Rn
∫Sd−1
(f (v ′)− f (v)
)f (v ′∗)B(|v − v∗|, θ)
f (v)
(f (v ′∗)− f (v∗)
)B(|v − v∗|, θ)dσdv∗.
Kf es un nucleo que depende de f a partir de una formula integral(tambien algo complicada).
b es una funcion fija que se calcula en funcion de B.
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Interaccion entre partıculas
Q(f , f )(v) =
∫Rn
∫Sd−1
(f (v ′)− f (v)
)f (v ′∗)B(|v − v∗|, θ)dσdv∗
+ f (v)
∫Rn
∫Sd−1
(f (v ′∗)− f (v∗)
)B(|v − v∗|, θ)dσdv∗.
Kf es un nucleo que depende de f a partir de una formula integral(tambien algo complicada).
b es una funcion fija que se calcula en funcion de B.
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Interaccion entre partıculas
Q(f , f )(v) =
∫Rn
(f (v ′)− f (v)
)Kf (v , v ′) dv ′
+ f (v)(b ∗ f ).
Kf es un nucleo que depende de f a partir de una formula integral(tambien algo complicada).
b es una funcion fija que se calcula en funcion de B.
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Los dos terminos
El primer termino∫Rn
(f (v ′)− f (v)
)Kf (v , v ′) dv ′
Es un operador ıntegro-diferencial. Tiene la forma exacta quediscutimos antes. El nucleo Kf depende del valor de la solucion f(la ecuacion es no lineal).
El segundo terminof (v)(b ∗ f )
Es un termino cuadratico de menor orden.
Usando teoremas genericos sobre ecuaciones ıntegro-diferencialesse pueden derivar estimaciones de regularidad sobre la ecuacion deBoltzmann (pero lleva trabajo).
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Los dos terminos
El primer termino∫Rn
(f (v ′)− f (v)
)Kf (v , v ′) dv ′
Es un operador ıntegro-diferencial. Tiene la forma exacta quediscutimos antes. El nucleo Kf depende del valor de la solucion f(la ecuacion es no lineal).
El segundo terminof (v)(b ∗ f )
Es un termino cuadratico de menor orden.
Usando teoremas genericos sobre ecuaciones ıntegro-diferencialesse pueden derivar estimaciones de regularidad sobre la ecuacion deBoltzmann (pero lleva trabajo).
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El problema de Muskat
f (t, x)
fluido mas liviano
fluido mas pesado
La interfaz y = f (t, x) entre dos fluidos de distintas densidadessigue una ecuacion ıntegro-diferencial no lineal de orden uno. Eneste caso, para que sea parabolica el fluido mas pesado tiene queestar del lado de abajo.
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Ecuaciones parabolicas clasicas
Una ecuacion parabolica en formato divergencia tiene la forma
ut = div[A(t, x)∇u].
La condicion de parabolicidad uniforme es que para todo t y x ,
λI ≤ A(t, x) ≤ ΛI.
Este tipo de ecuaciones esta muy estudiado, incluyendo resultadosfamosos de De Giorgi y Nash sobre regularidad de soluciones y ladesigualdad de Harnack.
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Operadores elıpticos de orden 2
El operador Lu = div[A(t, x)∇u] es autoadjunto en el sentido que∫Rn
Lu v dx =
∫Rn
u Lv dx = −∫Rn
∑ij
Aij(x)∂iu(x)∂jv(x) dx .
La condicion λI ≤ A(t, x) ≤ ΛI nos dice que
−∫Rn
Lu u dx ≈ ‖u‖2H1 =
∫|∇u|2 dx .
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Operadores elıpticos de orden 2s (con s ∈ (0, 1))
Consideremos el operador ıntegro-diferencial
Lu(x) =
∫Rn
(u(y)− u(x))K (x , y) dy .
El operador L es autoadjunto cuando K (x , y) = K (y , x).
Si asumimos λ|x − y |−n−2s ≤ K (x , y) ≤ Λ|x − y |−n−2s , tenemos
−∫Rn
Lu u dx =1
2
∫∫|u(x)− u(y)|2K (x , y) dx dy ,
≈ ‖u‖2Hs =
∫∫|u(x)− u(y)|2
|x − y |n+2sdx dy ,
= c
∫|ξ|2s |u(ξ)|2 dξ.
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Desigualdad de Harnack
Teorema
Consideremos un nucleo K tal que K (x , y) = K (y , x) yλ|x − y |−n−2s ≤ K (x , y) ≤ Λ|x − y |−n−2s . Sea u : Rn → R unafuncion tal que
I u ≥ 0 en todo Rn.
I Para todo x ∈ B2,∫(u(y)− u(x))K (x , y) dy = 0.
EntoncesmaxB1
u ≤ C mınB1
u,
para una constante C que depende solamente de n, λ, Λ y s.
I Es una version cuantitativa del principio del maximo fuerte.
I Implica estimaciones de Holder.
I No requiere ninguna hipotesis de regularidad de K con respecto a x o y .
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La condicion λ|x − y |−n−2s ≤ K (x , y) ≤ Λ|x − y |−n−2s esdemasiado restrictiva para algunas aplicaciones (p.ej. Boltzmann).
Pregunta
Podemos encontrar condiciones mas generales que garanticen lasiguiente relacion?∫∫
|u(y)− u(x)|2K (x , y) dy dx ≈∫∫|u(y)− u(x)|2
|x − y |n+2sdy dx .
Nota. a ≈ b quiere decir que existe una constante universal C tal que a ≤ Cb yb ≤ Ca.
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Cota por arriba
La condicion K (x , y) ≤ Λ|x − y |−n−2s se puede reemplazar por
para todo x ∈ Rn, r > 0,
∫Br (x)
|y − x |2K (x , y) dy ≤ Λr2−2s .
Con esta hipotesis,∫∫|u(y)− u(x)|2K (x , y) dy dx ≤ C
∫∫|u(y)− u(x)|2
|x − y |n+2sdy dx ,
para una constante C que depende de n, s y Λ solamente.
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Cota por abajoLa condicion λ|x − y |−n−2s ≤K (x , y)≤ Λ|x − y |−n−2s se puedereemplazar por
I Para todo x ∈ Rn, r > 0,∫Br (x)
|y − x |2K (x , y) dy ≤ Λr2−2s .
I Para todo x ∈ Rn, |e| = 1, r > 0,∫Br (x)
(e · (y − x))2+K (x , y) dy ≥ λr2−2s .
Conjetura
Si K es un nucleo simetrico con las hypotesis de arriba,∫∫|u(y)− u(x)|2K (x , y) dy dx ≈
∫∫|u(y)− u(x)|2
|x − y |n+2sdy dx ,