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“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”

FACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO:

MATEMÁTICA BÁSICA.

TEMAS:

ECUACIONES POLINÓMICAS.

ALUMNOS: CABANILLAS SANTA CRUZ, EYLA CARIVE. CHILÓN VILLANUEVA, MARÍA DELICIA. CULQUI ARMAS, FRANCO. TERÁN POLAR, DAVID. TORRES RODRIGUEZ, JONNEY.

DOCENTE:

CAVERO CHUQUIVIGUEL, JORGE.

CICLO: I

2013

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DEDICATORIA

A nuestros hermanos, padres, familiares y amigos. A los profesores, quienes

implícita o explícitamente nos enseñan a valorar la vida cuando está supeditada a

intereses sociales, como el caso de ser alumnos.

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AGRADECIMIENTO

Agradecemos a nuestros padres por habernos brindado su apoyo para surgir y

hacer que nos mantengamos firmes para empezar y finalizar este trabajo con el

debido empeño y dedicación que se requiere.

También agradecemos en forma especial al profesor Cavero Chuquiviguel, Jorge

quien nos orienta como amigo y maestro a enfrentar y salir triunfadores de esta

incesante lucha por la existencia.

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INTRODUCCION

Las Ecuaciones Polinómicas son conocidas y/o utilizadas desde hace muchos

años atrás. Desde el siglo XVII a.C. los matemáticos de Mesopotamia y de

Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. 

Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y

dos incógnitas; En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy

elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con

el repartico de cosechas y de materiales. Tenían un método para resolver

ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". En el

siglo III, el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la

cual, se tratar de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino

también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al

designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega

arithmos, que significa número.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar todas sus

soluciones. Por ello muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver

simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a

todas ellas.

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de

primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni

multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Como es bien sabido, las ecuaciones

lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal

tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir,

un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son

equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la

misma recta o planos. Mientras que los objetivos para nosotras mismas

(alumnado) y para el resto de compañeros, son los siguientes:

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Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que

hallar el valor de la incógnita que la hace verdadera.

Identificar la transposición de términos en una ecuación como método para

transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla.

Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos

incógnitas relacionadas entre sí.

Conocer los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

lineales.

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones analizando la

validez de las soluciones en el contexto del problema.

El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de

ecuaciones lineales permitirá al alumnado afrontar el planteamiento y

resolución de problemas diversos.

Las ecuaciones tienen un gran sentido de importancia, debido a que nos ayudan

en problemas simples o complejos para su resolución, aparte de que son

grandísimos en cuanto a formas y planteamientos. Son también muy utilizadas en

la vida diaria, nuestro inconsciente utiliza ecuaciones y nosotros prácticamente no

nos damos cuenta, por ejemplo:

Cuando vamos al mercado con s/. 5, y nos damos cuenta de que lo que querías

comprar tiene un valor de s/. 7, rápidamente sabes que te faltan s/. 2, esto lo

sabemos por un sistema de ecuaciones, donde, tienes 5, más lo que te falta (que

no sabes cuánto es) debe dar 7, el sistema queda entonces:

5 + x = 7

x = 2

Con el desarrollo de este tema pretendemos que al resolver ecuaciones de primer

grado, podamos mejorar nuestra comprensión y el significado de las expresiones

algebraicas que realizamos para resolverlas y relacionar los aspectos algebraicos

con los geométricos de forma que nos facilite el aprendizaje de sistemas de dos

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ecuaciones con dos incógnitas. Se persigue de la misma forma familiarizarse con

la terminología utilizada en este campo y emplearla adecuadamente: ecuación,

solución, etc.

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PROYECTO DE MATEMATICA BASICA

ECUACIONES POLINÓMICAS

1. DEFINICION : Las Ecuaciones Polinómicas son aquellas equivalentes a una

ecuación cuyo primer término es un polinomio y el segundo es cero; es de la

forma:

an xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0

Donde an, an-1,... y a0 son los coeficientes de la ecuación y an ≠ 0

Ejemplos:

a) 4x - 5 = 0 es una ecuación polinómica de grado 1

b) 3x2 - 5x + 8 = 0 es una ecuación polinómica de grado 2

c) x6 + 1 = 7 + 2x es una ecuación polinómica de grado 6

2. TIPOS DE ECUACIONES POLINOMICAS:

2.1. Ecuaciones Polinómicas de Primer Grado:

Una ecuación de primero grado o lineal es una ecuación de grado uno

con una o varias incógnita; es de la forma:

ax + b = 0; donde a ≠ 0.

Al operar, transponer términos y simplificar adoptan esa expresión:

Ejemplo:

2x + 3 = 0

Solución: esta ecuación tiene una única solución x = -b a

-c a

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2.2. Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado:

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas

cuadráticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ¹ 0

Solución: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución.

a) POR FORMULA (CASO GENERAL)

A la expresión b2 - 4ac que aparece dentro de la raíz cuadrada de la

fórmula anterior se le llama discriminante de la ecuación.

Teniendo en cuenta que para resolver la ecuación es necesario calcular

la raíz cuadrada del discriminante se tienen los siguientes casos:

Si b2 - 4ac > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones

distintas.

Si b2 - 4ac = 0 entonces la ecuación tiene una única solución.

Si b2 - 4ac < 0 entonces la ecuación no tiene solución.

Si los coeficientes b y c de la ecuación polinómica es cero la resolución

es inmediata teniendo en cuenta que:

- Si b=0, se tiene la ecuación ax2 + c = 0 que se resuelve despejando

x2 y tomando raíces cuadradas si es posible.

ax2 + c = 0 x2 = x = ± √ ; si ≥ 0

- Si c=, se tiene la ecuación ax2 + bx = 0 y que se resuelve sacando

factor común la incógnita x y teniendo en cuenta que para el

producto de dos factores sea 0 basta que lo sea uno de ellos.

ax2 + bx = 0 x(ax+b)=0

-c a

-c a

X = 0

ax + b = 0 x = -c

a

-b a

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Debemos de tener en cuenta que la ecuación ax2 + bx + c = 0; tiene

como soluciones r1 y r2.

b) FACTORIZACION:

Es el proceso de transformación de un polinomio en un producto de

dos o más factores.

b.1. Aspa Simple: se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

ax2 + bx + c o x2 + bx + c; que se empleen por no ser trinomios

cuadrados perfectos.

Ejemplo:

A= 10x2 + 23x + 12

5x +4

2x +3

A= (5x + 4)(2x + 3)

b.2. Completando Cuadrados: se utiliza cuando no podemos

utilizar el método de Aspa Simple.

Ejemplo:

x2 + 6x + 7 = 0

x2 + 6x + 7 + 2 = 0 + 2

x2 + 6x + 9 = 2

(TCP)

(x + 3)2 = 2

x + 3 = √2

x = ±√2 – 3

x1 = +√2 – 3 y x2 = -√2 - 3

2.3. Ecuaciones Polinómicas de n grados:

Una ecuación polinómica de grado n es equivalente a una de la forma:

an xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0; con an ≠ 0

÷

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Solución:

a) Método Horner: este método es un caso particular de los

coeficientes separados y se cumple para cualquier división de

polinomios.

Ejemplo:

8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2 ÷ 4x2 + x + 3

8 14 5 16 3 2

4

-1 -2 -6

-3 -3 -9

1 3

-2 -6

2 3 -1 2 4 -4

Cociente Residuo

Grado del Cociente = 5 - 2 = 3

Grado del Residuo = 2 – 1 = 1

Q(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2

R(x) = 4x - 4

b) Método Ruffini:

Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un

binomio de 1er Grado. Existen tres casos:

Primero Caso: cuando el coeficiente del 1er término del

divisor es igual a 1 es de la forma:

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x ± b

Ejemplo:

3x4 - 20x3 + 32x2 – 44x + 45

x – 5

x – 5 = 0

x = 5

3 -20 32 -44 45

5 15 -25 35 -45

3 -5 7 -9 0

Q(x) = 3x3 - 5x2 + 7x - 9

R(x) = 0

Segundo Caso: cuando el coeficiente del 1er término del

divisor es diferente de 1 es de la forma:

ax ± b

12x4 – 16x3 + 9x2 – 8x - 26

2x – 3

12 -16 9 -8 -26

3/2 18 3 18 15

÷ 2 12 2 12 10 11

6 1 6 5

Q(x) = 12x3 + 2x2 + 12x + 10

R(x) = 11

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CONCLUSIONES

Por medio de la presente investigación hemos comprobado que hacemos uso de

las Ecuaciones Polinómicas en cada momento de nuestras vidas; ya sea de forma

consciente o inconsciente.

Dando como conclusión a este proyecto sobre las Ecuaciones Polinómicas,

percibimos que existe un sinfín de posibles formas para poder efectuar y

solucionar una Ecuación Polinómicas ya sea de primer, segundo o con valor de n

grado.