ECUACIONES . SOLUCIONES - MATESVALDEMORA | … · IES Juan García Valdemora Departamento de...
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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
ECUACIONES
1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 2
54
96
316
26 xxxx −−−=+−−
9(12
48
)3(8)26(3 −⋅=−+⋅−−⋅ xxx
)9(12)3(8)26(3 xxx −−⋅=+⋅−−⋅
⇒−=−⇒ 12123010 xx −1210 xx
Solución: 9−=x
b) 6
1235
342
1832 −−=−−− xxx
18
3)5(6
18
)42(6)32(1 −⋅=−−⋅−−⋅ xx
3)5(6)42(6)32(1 ⋅−⋅=−⋅−−⋅ xx
⇒+=+⇒ 1533626 xx ⇒= 4832x
Solución: 2
3=x
c) 320
3115
2310
3534 ++−−=−−− xxxx
3)23(460
)3(6)34(12 −−=−−− xxx
−−=−−− 3)23(4)3(6)34(12 xxx
⇒+−=+−⇒ 269136642 xx − 42x
Solución: 7−=x
d)
−−+=
−+−−3
5
10
534
5
3
3
4 xx
xx
60)4(6060)3(12)4(20 =⋅+−−− xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
ECUACIONES. SOLUCIONES
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
48)2,4,6,16.(.. 48
)5(24) =−⋅−mcm
x
)5(24 x−⋅− −−=−−−⇒ xxx 12108248618
⇒+−= 3012x ⇒=− 182x 92
18 −=⇒−
= xx
18)6,3,18.(.. 18
)12(3 =−⋅mcm
x
)12( −⋅ x ⇒+−=+−−⇒ 3630241232 xxx
⇒2
3
32
48 =⇒= xx
60)20,15,10,5.(.. 60
(60)3)31(3 =⋅++mcm
x
⇒⋅++ )60(3)31(3 x −=+−− 921863648 xx
⇒−=+ 6626913xx ⇒=− 20329x29
203−
=x
−4
x
435
1053
453
34 xx
xxx +−+=+−−−
⇒
)4,10,5,3.(.. 60
15)5(20)53(6 +⋅−+= mcmxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
1
⇒+− x24120
9
⇒+−=− 3361526 xx
⇒+−−− 180934 xx
729
203 −=⇒ x
60=
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
=⋅+−−− xxx )4(6060)3(12)4(20
=+−−−⇒ xxx 1824060368020
⇒−−=−−⇒ 160824576 xx −121
Solución: 2=x
e) ( ) (
25
4355
3225
47 −++=−+−
xxxx
)355(3
12
)5025(4)7(3 ++=−+− xxx
)355(3)5025(4)7(3 ++=−+− xxx
⇒−=−⇒ 10545221103 xx −103x
Solución: 2=x
f) )2()1(32)2)(4( −−+−=−+ xxxx
(332842 22 −−−−=−+− xxxxx
⇒−+−=−+⇒ 582 22 xxxx 2 2x
Soluciones: 2
3 1 −== xyx
g) 2)1(9
11 −−= xx
⇒+−−= )12(911 2 xxx −=
911 2xx
927911 2 −+−=⇒ xx −⇒ 279 2 xx
Soluciones: 3
4
3
5 == xyx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇒+⋅−+= xx 15)5(20)53(6
⇒+−+ xx 1510030 ⇒−=+− 824516076 xx
⇒−= 242121x 2121
242 =⇒−−= xx
)7235
25
4355
35025
47 −++=−+−
⇒xxxx
12)2,3,4.(.. 12
)35(6)5(6 =⋅−+mcm
x
)35(6)5(6 ⋅−+ x =−+−⇒ 15200100213 xx
⇒+−=− 22110545x ⇒=11658x58
116⇒=x
2)
)44 +− x −+−−−=−+⇒ 433282 22 xxxxx
=±−=+±−=⇒=−+
451
42411
03x
xxx
⇒−+−=⇒−+ 13911
12 22 xxx+−=9
9911 2x
⇒=+ 020x
=±=−±=18
327
18
72072927x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
2
⇒
⇒−++ 2103010515 xx
2=⇒ x
⇒− 4
−=
=
23
1
x
x
⇒−+
9
927x
=
=
3
43
5
x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
h) 2)1(102 −−= xx
⇒+−−= )12(102 2 xxx −=102x3±=⇒ x
Soluciones: 3 3 =−= xyx
i) 083)2(2 2 =++−− xx
⇒=+++−− 083)44(2 2 xxx − 2x
=⇒=+−
=⇒
211
0112
0
xx
x
Soluciones: 2
11 0 == xyx
j) ( )
5
1
525
82
5
1 22
+=−−+ xxx
521+
⇒x
2555
25)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx
55)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx
8
8881358
−=⇒−=⇒−=⇒ xxx
Solución: 1−=x
k) ( )( ) ( )
xxxx
⇒−+=+− 4
12
143
4
1212 2
. 12
12)312(1
12
)14(3 22 −+=−cm
xxx
1212)312(1)14(3 22 ⇒−+=− xxxx
Solución: 2
1=x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇒++−=⇒−+ 92212 22 xxxxx =− 092x
⇒=++−+ 083882 xxx ⇒=+− (0112 2 xxx
51
52582 22
+=−−+ xxx
25)25,5.(.. )1( =⋅
mcm
)1( ⇒+=+−++⇒ 55825105 22 xxxx 5 2x
1−=⇒ x
xxx −+=−12
312
4
14 22
12)12,4.(.. =mc
123312123123 22 =⇒+=⇒−+=− xxxxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
3
⇒=⇒=⇒ 990 2 xx
⇒=+− 0)112( x
⇒+=++ 55138 2xx
21
126
6 =⇒=⇒= xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
l) ( )( ) ( ) −⇒+−=+− 92
1333 22 xx
xxx
53
15153 −=⇒
−=⇒=− xxx
Solución: 5−=x
m) ( ) ( )
8
1
4
13
8
12
2
1 2
⇒−+=−−+ xxxxx
8
13(2
8
)144(1)(4 22 +=+−−+ xxxxx
+=+−−+ 13(2)144(1)(4 22 xxxxx
2
2221168 ⇒=⇒=⇒+=− xxxx
Solución: 1=x
n) 5
)6(
3
)2(
15
)43)(23( 2 xxxx −=+−−−
3
44
15
86129 22 xxxxxx =++−+−−
15
)44(5)8189(1 22
=++⋅−+−⋅ xxxx
)44(5)8189(1 22 xxxx =++⋅−+−⋅222 3202058189 xxxxx =−−−+−
10837412384 22 ⇒+−=−− xxxx
Solución: 120−=x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
−=−⇒−=−⇒+−= 33182
339
2
339 2 x
xx
x
8
1
4
13
8
144
2
22
−+=+−−+ xxxxx
8)8,4,2.(.. 1)1 =−
mcm
⇒−+=−+−+⇒− 126144441)1 22 xxxxx
1=⇒ x
15
)1()2 xx −−
155
3612 22 xxxx −−+−
,15.(.. 15
)(1)3612(3 22 −⋅−+−⋅= mcmxxxx
)(1)3612(3 22 xxxx −⋅−+−⋅=
22 10836 xxx +−+−
1200120 −=⇒=−− xx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
4
⇒+−=−⇒ 1833x
⇒+=−⇒ 1618 xx
15)5,3, =
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
Para resolver este ejercicio aplicamos que “
es decir,
A continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones
a)
⇔=+⋅+⋅−
5
20)75()32()4(
x
xxx
Soluciones: 5
7
2
3 ;4 −=−== xyxx
b) ⇔=+−⋅−⋅− 0)714()34()54( xxx
Soluciones: 2
1
4
3 ;
5
4 === xyxx
c) =−⋅+⋅−⋅− 0)88()33()46(4 xxxx
Soluciones: 1 ;2
3 ; 0 −=== xyxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
Para resolver este ejercicio aplicamos que “un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo
=
==
⇔=⋅⋅⋅⋅
0
0
0
0... 2
1
321
n
n
A
A
A
AAAAM
continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones niAi ,...,2,1con 0 == de forma independiente.
−=⇔−=⇔=+
−=⇔−=⇔=+
=⇔=−
5
775075
2
332032
404
xxx
xxx
xx
⇔−−=⇔−=−⇔=+−
=⇔=⇔=−
=⇔−−=⇔−=−⇔=−
⇔
147
7140714
4
334034
54
45054
xxx
xxx
xxxx
⇔−−=⇔−=−⇔=−
=⇔−=⇔−=⇔=+
⇔−−=⇔−=−⇔=−
=⇔−
=⇔=−
⇔
88
88088
33
33033
46
64046
04
004
0
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
1=
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
5
un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo”,
de forma independiente.
=⇔21
54
x
=
−=
=
1
1
23
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
d) ⋅−−⋅−⋅− ()12()36()43( 222 xxxxx
Soluciones: 6 ;6 ;3
4 ; 0 =−=== xxxx
e) =−⋅+⋅−⋅− )31()3()3(7 223 xxxx
Soluciones: ;3 ; (triple) 0 =−== xxx
f) ⋅−+−⋅−⋅ 8()45()44(3 223 xxxxx
=⇔−=−⇔=−
−±−=⇔=−+−
⇔=−⇔=−
=⇔=⇔=
⇔
98
89098
2255
045
0)1(4044
(triple) 0003
222
2
2
33
xxx
xxx
xxxxx
xxx
Soluciones: (doble) 1 ;)(cuádruple 0 == xx
g) =+⋅+⋅− 0)32()4()54( 222 xxxxx
Soluciones: y 4
5 ; (doble) 0 == xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
−⇔=+−
⇔=−⇔=−−
⇔=⇔=−
−⋅⇔=−
⇔=+−
)3(096
12012
36036
)43(043
0)96
22
22
2
2
xxx
xx
xx
xxxx
x
(doble) 3 2
1 ;6 =−= xyx
=⇔−=−⇔=−
∃/⇒−=⇔−=⇔=+
±=⇔=⇔=−
=⇔=⇔=−
⇔
31
13031
3303
3303
(triple) 0007
0 22
22
33
xxx
xxx
xxx
xxx
3
1 3 == xy
⇔=− 0)9 2x
±=⇔
==
=−
±−=−±−=−
==
38
98
4
1
235
29516
1 0
x
x
x
xò
38
4 ;(doble) ±== xyx
⇔−=⇔−=⇔=+
=⇔=+⇔=+
=⇔=−⇔=−
⇔
32
23032
00)4(04
00)54(054
0
222
2
2
xxxx
òxxxxx
xxxxx
4−=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
6
=⇔=
−=
±=
==⇔=
(doble) 3021
6
34
ò 00)
x
x
x
xx
realsolución
∃/⇒−=
−=
=
realsolución 32
4 45
x
x
xò
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
h) −⋅+−⋅+−⋅ 8()162()65(3 322 xxxx
⇔−=−⇔=−−=−⇔=+−
±=⇔=+−
=⇔=⇔=
⇔
82028
20162
5065
0003
22
33
2
22
xx
xx
xxx
xxx
Soluciones: (triple) 2 ;3 ; (doble) 0 === xxx
i) +⋅+−⋅− 81()16124()74( 22 xxxx
=⇔=⇔=−
−=⇔−=⇔=+
=+−⇔=+−
=⇔−=−⇔=−
⇔
75
57057
81081
43016124
74
47074
22
2
)4(:
2
xxx
xxx
xxxx
xxx
Soluciones: 7
5
7
4 == xyx
j) −⋅+⋅++⋅ 9()37()1(3
2 2223 xxxxx
=⇔=−⇔=−
⇔=⇔=⇔=−
−=⇔−=⇔=+
⇒−±−=⇔=++
=⇔=⇔=
⇔
0)35(035
9909
7
3
7
3037
2
41101
(triple) 0003
2
2
22
22
2
33
xxxxx
xxxx
xxx
xxx
xxx
Soluciones: ;3 ;)(cuádruple 0 −== xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇔=− 0)2 2x
±=⇔=⇔=⇔=⇔=⇔−
==
=±=−
24
28816
2
3
215
22425
(doble) 0
2
33
xx
xxx
x
x
2 (triple) −=xy
⇔=−⋅ 0)57()81 x
∃/⇒
∃/⇒−±=⇔
realsolución 81
realsolución 2
16930 x
⇔=−⋅ 0)35()9 2 xx
==
±=
∃/⇒
∃/⇒
5
3 0
3
realsolución 7
3
realsolución
xò
x
5
3 3 == xyx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
7
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
k) +⋅+⋅+⋅+− ()1()1()44( 322 xxxxx
=⇔=⇔=−
±=⇔=⇔=−
−=⇔=+⇔−=⇔−=⇔=+
⇒−=⇔−=⇔=+
⇔=−⇔=+−
⇔
9
252590259
5505
101
1101
1101
0)2(044
222
22
333
22
22
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
Soluciones: (doble) 1 ;(doble) 2 −== xx
l) ⋅++⋅−⋅ ()9124()54(5 24 xxxxx
=⇔−=⇔=+
−=⇔−=⇔=+
±−=⇔=++
=⇔−=−⇔=−
=⇔=⇔=
⇔
6420642
7707
814412
09124
54
45054
(cuádruple 0005
555
22
2
44
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Soluciones: ;5
4 ;)(cuádruple 0 == xxx
m) )94()253(2 222 ++⋅+−⋅− xxxxx
−=⇔−=⇔=+
−±−=⇔=++
−±=⇔=+−
=⇔=⇔=−
⇔
333
2
2
22
7707
2164
094
624255
0253
(doble) 0002
xxx
xxx
xxx
xxx
Soluciones: 3
2 ;1 ;(doble) 0 === yxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇔=−⋅−⋅+ 0)259()5()1 22 xx
±=⇔
−=⇔
∃/⇒
=
35
925
1
realsolución
(doble) 2
x
x
x
3
5 5 ;(doble) ±=±= xyx
⇔=+⋅+ 0)642()7 52 x
−=⇔−=⇔−=
∃/⇒
−=−−=
−=+−==±−=−
23232
realsolución
23
;8
01223
;8
012
8012
8144144
)(cuádruple
5 xx
xx
xx
2 (doble) 2
3 −=−= xyx
0)7() 3 =+⋅ x
∃/=⇒
=−=
=+==±=
realsolución 36
32
;6
15
1;6
15
61524
(doble)
xx
xx
7 3 −=xy
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
8
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 0365 24 =++− xx
1) Hacemos el cambio de variable x =2
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
3) Deshacemos el cambio de variable
444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
999 2 =⇒=⇒=⇒=• xxxt
Soluciones: 3y 3 =−= xx
b) 04950 24 =+− xx
1) Hacemos el cambio de variable x =2
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
3) Deshacemos el cambio de variable
7499449 2 ±==⇒=⇒=• xxt
1111 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
Soluciones: y 1 ;7 ;7 −==−= xxxx
c) 086 24 =++ xx
1) Hacemos el cambio de variable x =2
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
3) Deshacemos el cambio de variable
222 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
La ecuación no tiene solución
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
03652 =++− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: −
+±−=⇔=++−2
14425503652 ttt
realsolución existe no⇒
3±
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
049502 =+− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: −±=⇔=+−
2250050
049502 ttt
7
1 1=x
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
0862 =++ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: −±−=⇔=++
232366
0862 ttt
realsolución existe no⇒
realsolución existe no⇒
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
9
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
=−=
=−±−=
9
4
2
315144
t
t
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
==
=±=−1
49
24850196
t
t
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
−=−=
=±−=4
2
226
t
t
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
d) 0274 24 =−+ xx
1) Hacemos el cambio de variable x =2
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
3) Deshacemos el cambio de variable
222 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
21
41
41
41 2 ±==⇒=⇒=• xxt
Soluciones: 21
y 21 =−= xx
e) 04359 24 =−+ xx
1) Hacemos el cambio de variable x =2
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
⇔=−+ 04359 2 tt
3) Deshacemos el cambio de variable
444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
9
1
9
1
9
1 2 =⇒=⇒=⇒=• xxxt
Soluciones: 3
1y
3
1 =−= xx
f) 1690196 2442 =+−⇒=++− xxxx
1) Hacemos el cambio de variable x =2
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
0274 2 =−+ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: +±−=⇔=−+
8
324970274 2 ttt
realsolución existe no⇒
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
04359 2 =−+ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−=
==±−=+±−=⇔
18
182
18
373518
144122535
t
tt
realsolución existe no⇒
3
1±=
0=
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
0169 2 =+− tt
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
10
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
−=
==±−=
24
1
8
9732
t
t
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
−=
=
41872
91
182
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
+− 169 2 tt
3) Deshacemos el cambio de variable
31
31
31 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
Soluciones: 3
3y
3
3 =−= xx
g) 021619 36 =−− xx
1) Hacemos el cambio de variable x =3
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
3) Deshacemos el cambio de variable
272727 33 ⇒=⇒=⇒=• xxt
888 33 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
Soluciones: 2y 3 −== xx
h) 3232)32( 510555 +⇒−−=+ xxxxx
1) Hacemos el cambio de variable x =5
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
=++ 032332 tt
3) Deshacemos el cambio de variable
111 55 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxxt
323232 55 −=⇒−=⇒−=• xxt
Soluciones: 2y 1 −=−= xx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
==
===±=−±=⇔=
31
186
31
186
18
0618
363660
t
tt
33
3
1 ±= →± xandoracionaliz
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado
0216192 =−− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: +±=⇔=−−
236119
0216192 ttt
3=x 2−=x
03233032 51055 =++⇒=++ xxx
t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado
032332 =++ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
==
=+−=−±−=⇔ 2
3133
2
1281089330
t
tt
1−=x
232 −=⇒ x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
11
3131
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
−==
=±=+8
27
23519864
t
t
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
−=−=32
1
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2
1−
i) 201623 −=+ xxx 1623 −+⇒ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 2
20 16 1 1 +−+ 20 6 2 −++
0 10 3 1 −+
Luego ⇔=+−+ (0201623 xxx
±−=⇒=−+∗293
0103 )( 2 xxx
Soluciones:
5y (doble) 2 −== xx
j) 523)1(52 233 −⇒−−=+− xxxxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 3
3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−
0 3 7 2 +−
Luego ⇔=+−− (03452 23 xxx
±=⇒=+−∗4497
0372 )( 2 xxx
Soluciones:
21
y 3 , 1 ==−= xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
020=+
{divisores de 20} = }20,10,5,4,2 ,1{ ±±±±±±
103)(2(2016 223 −+−=+−+⇒ xxxxxx
=−+
=⇒=−⇔=−+−
0103
02
0)103)(2(2
2
xx
xx
xxx
−==
=±−=+5
2
27340
x
x
5
03452035 232 =+−−⇒=++− xxxxx
{divisores de 3} = }3 ,1{ ±±
372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx
=+−
−=⇒=+⇔=+−+
0372
01
0)372)(1(2
2
xx
xx
xxx
=
==±=−
21
3
45724
x
x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
12
)10
∗)(
2
)3
∗
−
)(
1
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5−
1−
k) 0524256 23 =+−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 5
5 24 25 6 +−+ 5 25 30 −+−
0 1 5 6 +−
Luego ⇔=+−+ 0524256 23 xxx
−±=⇒=+−∗12
2550156 )( 2 xxx
Soluciones:
31
y 21
, 5 ==−= xxx
l) 02773 2345 =+++−− xxxxx
1) Extraemos “x” factor común y tenemos:
−⋅⇔=+++−− (02773 2345 xxxxxx
2) Resolvemos la ecuación 73 34 −− xx
Posibles raíces enteras = {divisores de 2
2 7 1 7 3 +++−−
2 5 4 3 −−++ 0 2 5 4 3 ++−− 2 7 3 −−−
0 2 7 3 −−−
+⇔=+++−− )(1(02773 234 xxxxx
1+
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
{divisores de 5} = }5 ,1{ ±±
56)(5(524256 223 −+=+−+⇒ xxxxxx
=+−
⇒=+⇔=+−+⇔
156
05
0)156)(5(2
2
xx
xx
xxx
=
=
=±=−
31
21
12
1524
x
x
factor común y tenemos:
−−
=⇔=+++−−
73
0
0)277334
234
xx
x
xxxx
)( 0272 ∗=+++ xx
{divisores de 2} = }2 ,1{ ±±
)2543)(1( 23 ++−−+⇒ xxxx
)273)(1)(1( 2 −−−−+⇒ xxxx
=−−−=⇒=−=⇒=+
⇔=−−−−273
101
01
0)273)(1)(2
2
xx
xx
xx
xxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
13
)1+x
∗=
−=
)( 0
5
∗=+++ )( 0272 xx
∗∗
−
)( 0
1
1
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
1−
Finalmente resolvemos la ecuación (**)
−−±=⇒=−−−
624497
0273 2 xxx
Soluciones: 1 1 0 =−== xxxx
m) 233)1(2 3222 ⇒+−−=−− xxxxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 3
3 1 5 1 2 +−−+
3 4 1 2 −++− 0 3 4 1 2 +−− 3 1 2 −++
0 3 1 2 −+
−+⇔=+−−+ )(1(0352 234 xxxxxx
Finalmente resolvemos la ecuación (*)
−=+±−=⇒=−+4
2411032 2 xxx
Soluciones: y 1 )doble(1 −== xx
n) 025159 2345 =++− xxxx
1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:
=++− 025159 2345 xxxx
2) Resolvemos la ecuación 159 23 +− xx
Posibles raíces enteras = {divisores de
1+
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Finalmente resolvemos la ecuación (**)
−=
−==
−±=
31
2
657
x
x
3
1y 2 −=−= xx
520332 343224 −+⇒=−++−− xxxxxxxx
{divisores de 3} = }3 ,1{ ±±
)342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx
)32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx
∗=−+=⇒=−
−=⇒=+⇔=−+−
)( 032
101
101
0)32)(12
2
xx
xx
xx
xx
)
−=⇒−=
=⇒==±−
23
46
144
451
xx
xx
2
3y −=x
factor común y tenemos:
−
⇒=⇔=++−⋅⇔
9
0
0)25159(023
2
232
xx
x
xxxx
)( 02515 ∗=+x
{divisores de 25} = }25,5 ,1{ ±±±
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
14
032 =+− xx
∗=++
=⇒
)( 02515
(doble) 0
2 x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5
1− 3+
25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+
0 5 4 1 −−
Luego ⇔=++− 025159 23 xxx
±=⇒=−−∗∗2164
054 )( 2 xxx
Soluciones:
(doble) 5 (doble) 0 == xx
o) 0152142 234 =−+−+ xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
15 2 14 2 1 −+−+
15 3 15 3 ++++ 0 5 1 5 1 +++ 5 0 5 −−
0 1 0 1 +
−⇔=−+−+ )(3(0152142 234 xxxxx
Soluciones: 5y 3 −== xx
p) 0593 2345 =+++− xxxx
1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:
=+++− 0593 2345 xxxx
2) Resolvemos la ecuación 3 23 ++− xx
Posibles raíces enteras = {divisores de 5
5−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
)54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx
=−−
=⇒=−⇔=−−−⇔
( 054
505
0)54)(5(2
2
xx
xx
xxx
−==
=±=+1
5
26420
x
x
1y (doble) −=x
{divisores de 15− } = }15,5,3 ,1{ ±±±±
)55)(3( 23 +++−⇒ xxxx
)1)(5)(3( 2 ++−⇒ xxx
⇒−=⇒=+
−=⇒=+
=⇒=−
⇔=++
101
505
303
0)1)(5)(
22
2
xx
xx
xx
xx
factor común y tenemos:
+−
⇒=⇔=+++−⋅⇔
3
0
0)593(03
2
232
xx
x
xxxx
)( 059 ∗=++ x
{divisores de 5} = }5 ,1{ ±±
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
15
)
∗∗)(
5
⇒ realsolución tieneno
∗=++
=⇒
)( 059
(doble) 0
2 xx
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5
5 9 3 1 +++−
5 10 5 −−− 0 1 2 1 −−−
Luego ⇔=+++− 0593 23 xxx
−±=⇔=−−−∗∗
242
012 )( 2 xxx
Soluciones:
(doble) 1 (doble) 0 −== xx
4. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales
a) 246
10
42
1
63
12
2
−−=
++−
−+
x
x
x
x
x
x
• Factorizamos los denominadores: (sacando factor común y utilizando identidades notables)
)2(363 −=− xx
)2(242 +=+ xx
2)(2(6)4(6246 22 +−=−=− xxxx
La ecuación queda:
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
(2 +x
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
(2 x
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22 (3)22(2 xxxx +−+++
3
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
2)(5()593( 223 −−−−=+++−⇒ xxxxxx
=−−−
=⇒=−⇔=−−−−
012
05
0)12)(5(2
2
xx
xx
xxx
−=
−==
−±=−
1
1
202
244
x
x
5y (doble) =x
iguientes ecuaciones racionales:
(sacando factor común y utilizando identidades notables)
)2
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)2)(2(610
)2)(2(6)1)(2(3)1)(2 2
+−−=
+−+−−++
xx
x
xx
xxx
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
210)1)(2(3)1)(2 xxxxx −=+−−++
Operamos y reducimos términos semejantes:
210)22 xxx −=−− 22 (3)23(2 xxx −−++⇒
)2)(2(6
10
)2(2
1
)2(3
1 2
−−−=
++−
−+
xx
x
x
x
x
x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
16
)1−
∗)( 0
5
(sacando factor común y utilizando identidades notables)
210)2 xx −=−−
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
22 33462 xxxx +−++⇒
• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:
En las ecuaciones racionales no es necesario
comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso 0=x no anulan los denominadores por eso es solución
Por tanto,
La solución de la ecuación es 0=x
b) 99
12
5
815 +
−=
−−
xx
• Reducimos las fracciones a mínimo
5(5(15 x−
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
)(5(15 x−
• Operamos y reducimos términos semejantes:
=+−+−− 60872)9545(15 2 xxxx
=+−+−⇒
−=+−+−⇒
6087267521015
60872)4514(152
2
xxx
xxx
126128210915 22 +++−−⇒ xxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:
±=⋅
⋅⋅−±= 102432
32
6934)32(32 2
x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
2106 xx −=+ −++−++⇒ 633462 22 xxxx
09 =⇒ x
grado obtenida: 009 =⇒= xx ”Posible solución”
n las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
enominadores por eso es solución de la ecuación.
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)9)(5()9)(5(9)5(12
)9)(5)9(8)9)(
xx
xxx
xx
xxx
−−−−+−=
−−−−−
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
)9)(5(9)5(12)9(8)9)( xxxxx −−+−=−−−
Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒+−−+− )9545(912 2xxxx
⇒+−+−⇒+−+−
40512691260
)4514(9122
2
xxx
xxx
13864604056072675126 2 +−⇒=−−−+ xxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 3069323 2 ==⇒=+− baxx
=
==±=±=−
36
18323
646
61432
619632
68281024
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
17
⇒=+ 010 2x
”Posible solución”
(salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
de la ecuación.
)
0693230138 22: =+−→= xx
69 32 =−= c
323
”Posibles soluciones”
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso 3
23y 3 == xx no anulan los denominadores
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son x
c) 22
1416
2 −+
++=
−+
x
x
x
x
x
x
• Factorizamos los denominadores:
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
(
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
xxxxx )22(16 2 +−−+=+
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:
⋅−⋅⋅−−±
=22
)3(24)5(5 2
x
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
oluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
3= y 323=x
221
)2)(2(16
−+
++=
+−+
x
x
x
x
xx
x
mínimo común denominador:
)2)(2()2()1)(2(
)2)(2(16
+−+++−=
+−+
xx
xxxx
xx
x
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
)2()1)(2(16 +++−=+ xxxxx
Operamos y reducimos términos semejantes:
xx 22 + 22216 22 ⇒++−−+=+⇒ xxxxxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 20352 2 −==⇒=−− baxx
−=−
==±=+±=
21
42
34
12
475
424255)
”Posibles soluciones”
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
18
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
por eso los dos son soluciones de la ecuación.
0352 2 =−−⇒ xx
3 5 −=− c
”Posibles soluciones”
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso 2
1y 3 −== xx no anulan los denominadores
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son x
d) 12
1
13
23 2
−=++−
xxx
xx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
x2
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
3(2x
• Operamos y reducimos términos semejantes:
6(1346 223 =++− xxxx
−⇒ 46 23 xx
• Resolvemos la ecuación de primer grado
5
1−=x no anula los denominadores por eso es solución
Por tanto,
La solución de la ecuación es 51−=x
e) 9
1
3
1
3
12 −
=−
++ xxx
• Factorizamos los denominadores:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
3−= y 21−=x
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
xx
xxx
xx
xxxx
2)13()1(2)13(
2)13()13(1)23( 2
+−+=
+++−
los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
)1(2)13()13(1)23 2 −+=++− xxxxxx
Operamos y reducimos términos semejantes:
)1)(2 −+ xx −=++−⇒ xxxxx 661346 2323
⇒=+−+−++ 0226613 223 xxxxx 15 =+x
Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 15015 −=⇒−=⇒=+ xxx
enominadores por eso es solución de la ecuación.
51
)3)(3(1
)3(1
)3(1
+−=
−+
+ xxxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
19
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
por eso los dos son soluciones de la ecuación.
⇒−+ xx 22 2
0
5
1−
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:
2
1 =x no anula los denominadores por eso es solución
Por tanto,
La solución de la ecuación es 21=x
f) 1
17
1
2
1
332
2
−+=
+++
−−
x
x
x
x
x
x
• Factorizamos los denominadores:
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
3( x
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
3(
• Operamos y reducimos términos semejantes:
23333 232 −+−+−−+⇒ xxxxxx
• Resolvemos la ecuación obtenida: x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)3)(3(1
)3)(3()3(1)3(1
+−=
+−++−
xxxx
xx
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
1)3(1)3(1 =++− xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
133 =++− xx 012 =−⇒ x
grado obtenida: 2
112012 =⇒=⇒=− xxx
no anula los denominadores por eso es solución de la ecuación.
)1)(1(17
)1(2
)1(33 2
+−+=
+++
−−
xx
x
x
x
x
x
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)1)(1(17
)1)(1()1)(2()1)(3 2
+−+=
+−−+++−
xx
x
xx
xxxx
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
17)1)(2()1)(33 2 +=−+++− xxxxx
Operamos y reducimos términos semejantes:
17522172 323 +⇒+=−++⇒+=− xxxxxx
0652 23 =−−+ xxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
20
0652 2 =−−+ xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
6 5 2 1 −−+
6 1 1 +−−
0 6 1 1 −+ ⇒
++⇒=−−+ )(1(0652 223 xxxxx
3−=x y 2=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son x
g) xxxxxx
x
+=
++−
+++
322 2
1
12
1
23
2
• Factorizamos los denominadores:
� )2)(1(232 ++=++ xxxx
3 10232 ==⇒=++ baxx
293
12
214)3(3 2 −±−=⋅
⋅⋅−±−=x
� notable) (identidad )1(12 22 +=++ xxx
� ()12(2 223 +=++=++ xxxxxxxx
Luego la ecuación queda:
• Simplificamos la primera fracción:
1−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
)6)(1(652 223 −++=−−+⇒ xxxxxx
+±−=⇒=−+
−=⇒=+
⇒=−+
2
1106
solución es (no 101
0)62 xxx
xx
x
anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
3−= y 2=x
xx +2
1
2 =c
23 2
24
122
2138 2 =++⇒
−=−
−=−
=±−=−xx
notable)
notable) identidad ecomún factor (sacar )1 2+
22 )1(1
)1(1
)2)(1(2
+=
+−
+++
xxxxx
x
22 )1(1
)1(1
)1(1
+=
+−
+ xxxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
21
−=
==±−=+
3
2
2
5124
r)denominado al anula puessolución
x
x
anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
)2)(1( ++ xx
notable)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales)
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Resolvemos la ecuación obtenida:
⇒=⇒=⇒=− 1101 22
x
xxxx
1=x no anula los denominadores por es
Por tanto,
La solución de la ecuación es 1=x
h) 1264
22 −=−
xx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Resolvemos la ecuación obtenida: x
1) Hacemos el cambio de variable x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
22 )1(1
)1()1(
+=
+−+
xxxx
xxx
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
1)1( =−+ xxx
Operamos y reducimos términos semejantes: 0101 22 =−⇒=−−+⇒ xxxx
=−=1
denominado al anula porquesolución es (no 1
enominadores por eso sí es solución de la ecuación.
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
2
2
2
4 1264x
x
x
x −=−
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
24 1264 xx −=−
Operamos y reducimos términos semejantes: 06412 24 =−+⇒ xx
a)(bicuadrad 06412 24 =−+ xx
tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado
064122 =−+ tt
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
22
r)denominado
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
=−+ 64122 tt
3) Deshacemos el cambio de variable
444 2 ⇒=⇒=⇒=• xxxt
1616 2 −=⇒−=⇒−=• xxt
2−=x y 2=x no anulan los denominadores
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son =x
i) 24223
1
1
1
2
1
xxxxxx
x
−=
−+
+−−
• Factorizamos los denominadores:
� 223 )12(2 +−=+− xxxxxx
� )1)(1(12 +−=− xxx
� ()1( 22224 −=−=− xxxxxx
La ecuación queda:
(xx
x
• Simplificamos la primera fracción:
x
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
=±−=+±−=⇔= 2
20122
256144120
t
t
t
3) Deshacemos el cambio de variable
2±=x
realsolución tieneno16⇒−
no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
2−= y 2=x
2)1() −= xx
)1)(1 +− x
)1)(1(1
)1)(1(1
)11
22 +−=
+−+
−−
xxxxxx
x
)1)(1(1
)1)(1(1
)1(1
2 +−=
+−+
− xxxxxxx
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)1)(1(1
)1)(1()1(
22
2
+−=
+−++
xxxxxx
xxx
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
1)1( 2 =++ xxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
23
−=
=
16
4
por eso los dos son soluciones de la ecuación.
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Resolvemos la ecuación obtenida: 2
=+±−=⇒=−+4
811012 2 xxx
21=x no anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.
Por tanto,
La solución de la ecuación es 21=x
j) xxxxx
x
51
231
10173)1(7
22 +=
+−
+++
• Factorizamos los denominadores:
� )5)(23(10173 2 ++=++ xxxx
3010173 2 =⇒=++ baxx
(32
310173
32
1034)17(17
2
2
+
+=++⇒
−=⋅
⋅⋅−±−=
xxxx
x
� común factor (sacar )5(52 xxxx +=+
Luego la ecuación queda:
(
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Operamos y reducimos términos semejantes: 01201 222 =−+⇒=−++ xxxxx
012 2 =−+ xx
−=
=
=±−
anula porquesolución es (no 1
2
1
4
31
x
x
anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.
10 17 == cb
)5)(23)(5
5
630
32
64
61317
612028917
+++
−=−
−=−
=±−=−±−
xx
)""común x
)5(1
)23(1
)5)(23(77
+=
+−
+++
xxxxx
x
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)5)(23(23
)5)(23()5()77(
+++=
+++−+
xxx
x
xxx
xxxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
24
0
res)denominado los anula
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:
⋅−⋅⋅−−±
=62
2(64)1(1 2
x
32=x
y
21−=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son x
5. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales
a) xx 2323 =++
• Aislamos el radical en un miembro
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒+−=+ 912432 2 xxx 4 2 −x
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida
−±=
(7x
COMPROBACIÓN
• 3=x
23632
6333323 +⇒
=⋅=+=+⋅+
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
23)5()77( +=+−+ xxxxx
Operamos y reducimos términos semejantes: 623577 22 ⇒+=−−+⇒ xxxxxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 1 6026 2 −==⇒=−− baxx
−=−
==±=+±=
21
126
32
128
1271
124811)2
”Posibles soluciones”
anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
32=x y
21−=x
iguientes ecuaciones radicales:
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
3232 −=+ xx
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )32()32( −=+ xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
06144032912 2(:2 =+−⇒=−−+− xxxx
la ecuación de 2º grado obtenida: 20372 2 −==⇒=+− baxx
=
==±=−±=
⋅⋅⋅−−
21
42
34
12
457
424497
22
324)7 2
solución es sí 33233 =⇒⋅=+⋅ x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
25
022 =−− xx
2 1 −=c
”Posibles soluciones”
anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
términos:
0372 2)2 =+−→ xx
3 7 =− c
21
3
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• 21=x
23
121
2
523321
23+⇒
=⋅
=+=+⋅+
Por tanto,
La solución de la ecuación es 3=x
b) 66 =++ xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a) y, por tanto,
• Aislamos el radical en un miembro
12
• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 6:
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Finalmente:425=x
COMPROBACIÓN
• 425=x
425
3
27
25
6425
6
27
449
6425
++⇒
=−=−
==+
Por tanto,
La solución de la ecuación es 425=x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
solución es no 2
1
2
123
2
12 =⇒⋅≠+⋅ x
Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los
xx −=+ 66
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )6()6( xx −=+
Operamos y reducimos términos semejantes: ⇒+⋅⋅−=+ 22 )(6266 xxx x
como la del apartado a) y, por tanto, repetimos los pasos
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
⇒++−−= xxx 36612 3012 =x
Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 6: 52 ⇒=x
Elevamos al cuadrado los dos miembros:2
2
2
5)(
=x
solución es sí 425
425
66 =⇒−= x
25
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
26
s demás términos:
xx +−=+ 12366
repetimos los pasos.
términos:
2
5=⇒ x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
c) 3123 =−+− xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
−=− 2 2323x
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
• Aislamos el radical en un miembro
−16 x
• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 2:
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
1025)1(9 xx −=−
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida
⋅−±
=12
)19(19 2
x
COMPROBACIÓN
• 17=x
311471172173 ≠=+=−+−⋅
• 2=x
311212223 ⇒==+=−+−⋅
Por tanto,
La solución de la ecuación es 2=x
d) 3 2 11 −=+ xx
• Elevamos los dos miembros de la ecuación a
• Operamos y reducimos términos semejantes:
223 )1()1( −=+ xx ⇒
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los
1323 −−=− xx
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )13()23( −−=− xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒−+−⋅⋅ 2)1(132 xx 16923 −−=− xx
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
⇒−+++−= 19231 xx xx 21016 −=−
Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 2: x =− 513
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )5()13( xx −=−
Operamos y reducimos términos semejantes:
2xx+ 3419102599 22 +−⇒+−=−⇒ xxxxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida 1034192 −==⇒=+− baxx
=±=−±=⋅⋅−
24234
21519
213636119
1
34142
solución es no 173 =⇒ x
solución es sí 2=x
de la ecuación a 6)3,2.(.. =mcm : 3 26 ()1( −=+ xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
512133 342423 −−⇒+−=+++ xxxxxxxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
27
s demás términinos:
11 −+ x
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
términos:
x−5
034 =
34 19 =− c
=
=
2
17234
6)1−
032 =− xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Resolvemos la ecuación obtenida: x
−−⇒=−−− (035 23234 xxxxxxx
)( 03523 ∗=−−− xxx
3 5 1 1 −−−
3 2 1 ++−
0 3 2 1 −− 1−⇒
−+⇒=−−− 2)(1(035 223 xxxxx
COMPROBACIÓN
• 0=x
1010110
1103 2
3 2⇒−≠+⇒
−=−
=+
• 1−=x
)1(1101)1(
0113
3 2−=+−⇒
=−−
=+−
• 3=x
1)3(1321)3(
2133 2
3 2−=+⇒
=−
=+
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son x
e) 2
11
1 xx
x=−+
−
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
1−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
035 234 =−−− xxxx
∗=−−−
==−−
)( 035
0
0)3523 xxx
x
x
35factor es )1( raíz es 1 23 =−−−⇒+⇒ xxxx
+±=⇒=−−
−=⇒=+⇒=−
242
032
101
0)32 2 xxx
xx
x
solución es no 0=⇒ x
solución es sí 11)2 −=⇒− x
solución es sí 31 =⇒ x
1−= y 3=x
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador: 212
)1(22 2
=−−+
x
xx
x
x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
28
)32)(1( 2 −−+= xxx
−==
=±=+1
3
24212
x
x
1
1
−−
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Resolvemos la ecuación obtenida: x
− 5 23 xx
COMPROBACIÓN
• 0=x
020
existe no1010
1
=⇒
=
=−+− x
• 5=x
5
1
25
25
221
1515
1
⇒
=+=−+−
Por tanto,
La solución de la ecuación es 5=x
f) x
xx6
2 =++
• Reducimos las fracciones a mínimo
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Aislamos el radical en un miembro
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación: (22+
semejantes: 2221)1(22 −+⇒−=−+ xxxx
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )1()2( −= xxx
Operamos y reducimos términos semejantes: )1(4 22 −= xxx 4 232 ⇒−=⇒ xxx
05 23 =− xx
=⇒=−=
⇒=−⇒=505
00)5(0 2
xx
xxx
solución es no 0
solución es sí 525
1515
1 =⇒=−+−
x
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador: x
xxx 2)( 2
=+⋅+
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación: )( 2 +x
Operamos y reducimos términos semejantes: 622 =++ xxx
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 222 )6()2( xxx −=+
Operamos y reducimos términos semejantes: 22 12362 xxxx +−=+ 3614 −⇒ x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
29
1)1 2 −=− xxx
121 −=⇒−= xxxxx
05 23 =−⇒ xx
x
6=
62 =+⋅+ xx
términos: xxx −=+ 622
0=
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Resolvemos la ecuación obtenida: 14
COMPROBACIÓNx
xx6
2 =++
• 718=x
====
=+=++
272
23
76
18
76
7
18
6
718
6
18732
7
182
718
718
solución es sí 718=⇒ x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 718=x
g) )3(4740 2 +=+− xxx
• Aislamos el radical en un miembro
−40
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
2 7214440 xx +−=−
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida
⋅−−±
=52
)36(36 2
x
COMPROBACIÓN
• 2=x
20)32(4
2014627240 2
⇒
=+=+=⋅+−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
7
18
14
36361403614 =⇒=⇒=⇒=− xxxx
=
+=+⋅=+
142
7143
772
7732
7
327
718 52
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
⇒−+=− xxx 71242 xx 31240 2 −=−
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 222 )312()40( xx −=−
Operamos y reducimos términos semejantes:
29x+ 36501047210 2)2(:2 −→=+−⇒ xxxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 5052365 2 ==⇒=+− baxx
=±=−±=⋅⋅−
10
2010
52
10
1636
10
10401296365254
solución es sí 2)32(427240 2 =⇒+=⋅+− x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
30
⇒
= 14
144
términos:
052=+x
52 36 =−= c
=
=
210
205
26
10
52
solución
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• 526=x
5
164
5
414
5
152643
5
264
25676
40526
7526
402
==
+=
+
−=⋅+
−
Por tanto,
La solución de la ecuación es 2=x
h) xxx −+=+ 1223
• Aislamos el radical en un miembro
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
(49189 2 =++ xx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida
⋅−±−=
92
)14(14 2
x
COMPROBACIÓN
• 1−=x
)1(231)1(112
1)1(23=−⋅+⇒
=−−+−
=−⋅+
• 95−=x
⋅=+=
−−+−
=−=
−⋅+
32
295
94
295
195
2
917
910
395
23
solución es sí 95−=⇒ x
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
5
164
405
2005
1825
185
18225
3245
182
==+=+=+
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )12()33( +=+ xx
semejantes:
)1( +x 149449189 22 ++⇒+=++⇒ xxxxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 14 905149 2 ==⇒=++ baxx
−
−
=±−=−±−=⋅⋅−
1818
1810
18414
1818019614594
solución es sí 1)1(112 −=⇒−−+−= x
−=
−⋅+⇒
=+=+95
295
23
917
95
34
95
32
1−= y 95−=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
31
solución es no 5
26=⇒
x
términos: 1233 +=+ xx
05 =+
5 14 =c
−=
−=
11818
95
1810
⇒
−−+95
1
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
i) 523 =−++ xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
⋅⋅−=+ 2 5253x
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
• Aislamos el radical en un miembro
−10 x
• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación entre 10
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
COMPROBACIÓN
• 6=x
175232636 =⇒=+=−++ x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 6=x
j) 47354 −=+−− xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
+=− )7(9)5(16 xx
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
• Aislamos el radical en un miembro
−=+ 724 x
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás
253 −−=+ xx
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )25()3( −−=+ xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒−+−⋅ 2)2(2 xx 210253 +−−=+ xx
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
⇒−+++−=− 22532 xx 20210 =−x
os miembros de la ecuación entre 10: 2 =−x
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )2()2( =−x
Operamos y reducimos términos semejantes: 42 =−x 6=⇒ x
solución es sí 17
de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás
47354 −+=− xx
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )473()54( −+=− xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒++− 16724 x 246398016 −+=− xxx
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
de la ecuación, pasando al otro los demás términos
⇒++++− 166398016 xx x 7159724 −=+
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )7159()724( xx −=+
Operamos y reducimos términos semejantes:
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
32
, pasando al otro lo demás términos:
2−+ x
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
términos:
2=
, pasando al otro lo demás términos:
167 ++x
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
términos:
x7
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
249222625281)7(576 xxx +−=+ ⇒
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida
49021249280249 2 =⇒=+− axx
⋅⋅−−±=
492
494)2802(2802 2
x
COMPROBACIÓN 7354 =+−− xx
• 49
2361=x
solución es no 49
2361
4749
236135
492361
4
=⇒
⋅=+⋅−−⋅
x
• 9=x
16344793594 ⋅−⋅=+⋅−−⋅
Por tanto,
La solución de la ecuación es 9=x
k) 20
4020
−=+−
xxx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
• Resolvemos la ecuación obtenida: 10
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
49492226252814032576 2 ⇒+−=+⇒ xxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:
21249 2802 49 =−= cb
±=±=⋅98
1920280298368640028022124949
4−=
7156
7184
752
3746
449
27043
492116 −=⋅−⋅=⋅−
solución es sí 94128432416 =⇒−=−=⋅−⋅= x
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador: 20
)20( 2
−−⋅+−
x
xxx
denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación: 20( −x
Operamos y reducimos términos semejantes: ⇒=−+− 40)20(20 xxx 20−x
en un miembro, pasando al otro lo demás: xx −=− 60202
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 222 )60()20( xxx −=−
Operamos y reducimos términos semejantes: 22 120360020 xxxx +−=− 100⇒
100
360036001000360010 ⇒=⇒=⇒=− xxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
33
021249280249 2 =+− xx
=
==
998882
492361
984722
1920
44728156
⇒−≠==
solución
20
4020
−=−
x
4020)20 2 =−⋅+ xx
402020 2 =−+ xx
x−
03600100 =−x
36=⇒ x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
COMPROBACIÓN 20 =+−x
xx
• 36=x
⇒
==−
=+=+−
10440
2036
40
106436203636=x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 36=x
l) 3
1
2
2
−+=
+−
x
x
x
x
• Multiplicamos en cruz y nos queda la ecuación:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
623 +=+−− xxxxx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
COMPROBACIÓN
• 41=x
+
−⇒
−=−
=−
+=
−
+
−=−
=+
−=
+
−
241
241
5
3
25
23
321
121
341
141
5
3
2523
221
221
241
241
Por tanto,
La solución de la ecuación es 41=x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
20
40
−x
solución es sí 36
y nos queda la ecuación: ()2()3()2( ⋅+=−⋅− xxx
términos semejantes:
22 ++ xx ⇒++=+−⇒ 2365 xxxx 4
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22
)(2
1x=
Operamos y reducimos términos semejantes: x=4
1
4
1=⇒ x
⇒
−
+−=
341
141
2523
2
2solución es sí
41=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
34
)1+x
x84 = x=⇒21
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
6. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
a) 10244 =x
102222)2( 102102 ⇒=⇒=⇒= xxx
b) 50054 =⋅ x
5512554
5005 3 ⇒=⇒=⇒= xxx
c) 250055 2 =⋅ x
25log500log
5log500log
5log50055
25005
2
222
=⇒=
⇒=⇒=
xx
xxx
d) 56737 1 =⋅ +x
338137
5673 4111 =⇒=⇒= +++ xxx
e) 81
221 =−x
43122 2231 2
=⇒−=−⇒= −− xxx
f) 12
1
3
13
−−−
=x
x
12133 121 −⇒+=−⇒= +− xxxxx
g) 17 652
=+− xx
06577 20652
=+−⇒=+− xxxx
==
=±=−±= 2
3
2
15
2
24255x
xx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
iguientes ecuaciones exponenciales:
5=⇒ x
3=⇒ x
log2500log
500log5log2500log =⇒=⋅⇒= xxx
3414 =⇒=+⇒ xx
24 ±=⇒ x
22112 −=⇒=−⇒+=− xxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
35
5500
⇒
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
h) 22 442
=+− xx
14422 21442
⇒=+−⇒=+− xxxxx
==
=±=−±= 1
3
2
24
2
12164x
xx
i) 1213 8127 ++ = xx
33)3()3( 4839124133 ⇒=⇒= ++++ xxxx
j) 7222 11 =++ +− xxx
� 722222 =⋅++ xx
x
� Hacemos el cambio de variable
142
4272
2=++
⇒=++ ttttt
t
� Deshacemos el cambio de variable
1222 =⇒=⇒= xt x
k) 9602222 4321 =+++ −−−− xxxx
� 96022
22
22
22
432=+++
xxxx
� Hacemos el cambio de variable
48960
16842+
⇒=+++ ttttt
� Deshacemos el cambio de variable
22102422 10=⇒=⇒=t xx
l) 117333 11 =++ +− xxx
� 11733333 =⋅++ xx
x
� Hacemos el cambio de variable
393
11733
=++⇒=++ ttt
ttt
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
0342 =+− xx
14839 =⇒+=+⇒ xxx
Hacemos el cambio de variable tx =2
21472
14 =⇒=⇒ tt
Deshacemos el cambio de variable
Hacemos el cambio de variable tx =2
1024153601516
1536016
24 =⇒=⇒=++tt
ttt
Deshacemos el cambio de variable
1010 =⇒ x
Hacemos el cambio de variable tx =3
27351133
351 =⇒=⇒= tt
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
36
1024
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� Deshacemos el cambio de variable
327327 =⇒=⇒= xt x
m) 198422222 423222122 =++++ −−−− xxxxx
� 198422
22
22
22
24
2
3
2
2
222 =++++
xxxxx
� Hacemos el cambio de variable
⇒=++++ 161984
16842tttt
t
� Deshacemos el cambio de variable
2102421024 22 ⇒=⇒=t xx
n) 775555 21 =++ ++ xxx
� 77555555 2 =⋅+⋅+ xxx
� Hacemos el cambio de variable
77531775255 =⇒=++ tttt
� Deshacemos el cambio de variable
5525525 2 ⇒=⇒=⇒=t xx
o) 081329 2 =+⋅− +xx
� 081332)3( 22 =+⋅⋅− xx
081318)3( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable
081182 =+− tt
=⋅
⋅⋅−−±= 18
12
8114)18(18 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
2939 =⇒=⇒= xt x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Deshacemos el cambio de variable
1984
1984
Hacemos el cambio de variable tx =22
⇒=++++16
3174416
24816 ttttt 3174431 ⇒=t
Deshacemos el cambio de variable
5102210 =⇒=⇒= xx
Hacemos el cambio de variable tx =5
2531775
775 =⇒=⇒ tt
Deshacemos el cambio de variable
2=⇒ x
Hacemos el cambio de variable tx =3
=±=−±9
9
2018
232432418
Deshacemos el cambio de variable
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
37
1024=⇒ t
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
p) 04254 =+⋅− xx
� 0425)2( 2 =+⋅− xx
0425)2( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable
0452 =+− tt
±=⋅
⋅⋅−±= 5
12
414)5(5 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
2424 =⇒=⇒= xt x
0121 =⇒=⇒= xt x
q) 065975 42 =+⋅− xx
� 01296597)5( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable
01296972 =+− tt
⋅⋅⋅−−±
=12
129614)97(97 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
log5log81581 =⇒=⇒=t xx
log5log16516 =⇒=⇒=t xx
r) 0101616 1 =−+ −xx
� 0101616
16 =−+x
x
� Hacemos el cambio de variable
010161016 2 =−+⇒−+ ttt
t
=⋅
⋅⋅−−±= 10
12
1614)10(10 2
t
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Hacemos el cambio de variable tx =2
=±=−1
4
235
21625
Deshacemos el cambio de variable
Hacemos el cambio de variable tx =5
=±=±=16
81
26597
2422597
Deshacemos el cambio de variable
5log
81log81log5log81log =⇒=⋅⇒ xx
5log
16log16log5log16log =⇒=⋅⇒ xx
Hacemos el cambio de variable tx =16
016100 2 =+−⇒ tt
=±=±=−±2
8
2610
23610
26410010
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
38
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� Deshacemos el cambio de variable
2)2(8168 34 =⇒=⇒=t xx
2)2(2162 14 =⇒=⇒=t xx
s) 012553052 =+⋅− xx
� 0125530)5( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable
0125302 =+− tt
=⋅
⋅⋅−−±=
12
12514)30(30 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
5552525 2 ⇒=⇒=⇒=t xx
55555 1 ⇒=⇒=⇒= xt xx
t) 05136132 =+⋅− xx
� 05136)13( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable
0562 =+− tt
±=⋅
⋅⋅−−±= 6
12
514)6(6 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
log13log5135 =⇒=⇒=t xx
13131131 0 ⇒=⇒=⇒=t xx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Deshacemos el cambio de variable
43
3422 34 =⇒=⇒=⇒ xxx
41
1422 14 =⇒=⇒=⇒ xxx
Hacemos el cambio de variable tx =5
=±=±=5
25
22030
240030
variable
2=⇒ x
1=x
Hacemos el cambio de variable tx =13
=±=1
5
246
216
Deshacemos el cambio de variable
13log
5log5log13log5log =⇒=⋅⇒ xx
0=⇒ x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
39
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
u) 9502510 21 =⋅− −− xxx
� 95022
55
102
=⋅−xx
x
9502010
10 =−x
x
� Hacemos el cambio de variable
2019000
2020
95020
=−⇒=− ttt
t
� Deshacemos el cambio de variable
101000101000 ⇒=⇒=t xx
v) 223324 +⋅=+ xx
� 22 22332)2( ⋅⋅=+ xx
xx 21232)2( 2 ⋅=+
032212)2( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable
032122 =+− tt
=⋅
⋅⋅−−±= 12
12
3214)12(12 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
22828 3 ⇒=⇒=⇒= xt xx
22424 2 ⇒=⇒=⇒=t xx
w) 6551 =+− xx
� 6555 =+ xx
� Hacemos el cambio de variable
6565 22 −⇒=+⇒=+ ttttt
±=⋅
⋅⋅−−±=
26
12
514)6(6 2
t
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Hacemos el cambio de variable tx =10
1000190001920
19000 =⇒=⇒ tt
Deshacemos el cambio de variable
3103 =⇒= xx
Hacemos el cambio de variable tx =2
=±=±4
8
2412
21612
Deshacemos el cambio de variable
3=x
2=x
Hacemos el cambio de variable tx =5
056 =+− t
=±=1
5
246
216
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
40
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� Deshacemos el cambio de variable
55555 1 ⇒=⇒=⇒= xt xx
55151 0 ⇒=⇒=⇒= xt xx
x) 22282 22 −=+ +− xx
� 2222822 2
2−⋅=+ x
x
� Hacemos el cambio de variable
164112
24284
=+⇒−=+ t
tt
� Deshacemos el cambio de variable
22828 3 ⇒=⇒=⇒= xt xx
y) 431
3 1 =+ −xx
� ⇒=+ − 433 1 xx 43
33 =+
xx
� Hacemos el cambio de variable
4343 22 −⇒=+⇒=+ tttt
t
±=⋅
⋅⋅−−±=
24
12
314)4(4 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
33333 1 ⇒=⇒=⇒= xt xx
33131 0 ⇒=⇒=⇒= xt xx
z) 2651
5 12 =+ −x
x
� ⇒=+ − 2655 12 xx
55
)5( 2 =+ xx
� Hacemos el cambio de variable
265265 32 ⇒=+⇒=+ ttt
t
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Deshacemos el cambio de variable
1=x
0=x
Hacemos el cambio de variable tx =2
1128168161124
816 −−=−⇒−=+⇒−
ttttt
Deshacemos el cambio de variable
3=x
Hacemos el cambio de variable tx =3
034 =+− t
=±=1
3
224
24
Deshacemos el cambio de variable
1=x
0=x
26=
Hacemos el cambio de variable tx =5
05263 =+− tt
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
41
812015112 =⇒−=−⇒ tt
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5
5 26 0 1 +− 5 25 5 −++ 0 1 5 1 −+ ⇒
Luego −⇔=+− )(5(05263 tttt
+±−=⇒=−+∗2255
015 )( 2 ttt
� Deshacemos el cambio de variable
55555 1 ⇒=⇒=⇒=• t xx
t x
2
55
2
295 −−=⇒−−=•
5log2log)529log(
25
52
295
−−=⇒
+−=⇒+−=•
x
t x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
)15)(5()526( 23 −+−=+−⇒ ttttt
∗=−+
=⇒=−⇔=−+
)( 015
505
0)152
2
tt
tt
tt
+−=
−−=
=±−=+
2295
2295
22954
t
t
Deshacemos el cambio de variable
1=x
xax 0 que yasolución tieneno 2
29 ∀>⇒
5log2
295log5log
229 =⋅⇒
+−=⇒ xx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
42
2log)529log( ⇒−−
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
1
7. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) 450loglog =+x
50
100001000050 ⇒=⇒=⋅⇒ xxx
b) 0100loglog =+x
1log)100log( =⋅x 1100 ⇒=⋅⇒ x
c) 10log2 2 =x
log2
10log10log2 22 ⇒=⇒= xx
d) 10loglog2log 3 =− xx
10logloglog 23 =− xx log 2
3
⇒
x
x
e) 0)12(loglog 52
5 =−+ xx
1log)]12([log 52
5 =−xx 2(2 −⇒ xx
1 0 1 2 −− 1 1 2 +++ 0 1 1 2 ++ ⇒
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
200=x
100
1=⇒ x
3225log 52 =⇒=⇒= xxx
1010loglog10log =⇒=⇒=
xx
0121)1 23 =−−⇒=− xx
)12)(1()12( 223 ++−=−−⇒ xxxxx
200=
1001=
32=
10=
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
43
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Luego −⇔=−− 1(012 23 xxx
211
012 )( 2 ±−=⇒=++∗ txx
f) log(2log3)1log()1log( +=++− xx
log(2log)]1()1log[( 3 +=+⋅− xxx
1581681 22 =+−⇒−=−⇒ xxxx
±=⋅
⋅⋅−−±=
2648
12
1514)8(8 2
x
g) 2log)63log(21
)2log( =−−− xx
2log)63log()2log( 2
1
=−−− xx ⇒
6322263
2 −=−⇒=−
−⇒ xx
x
x
� Tenemos que resolver la ecuación radical:
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
=+− 3(4442 xxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:
⋅⋅−−±
=12
14)16(16 2
x
La solución de la ecuación es =x
Las soluciones de la ecuación son
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
∗=++=⇒=−
⇔=++)( 012
1010)12)(1
2
2
xx
xxxx
realsolución tieneno 81⇒
−
)2log( −x
)2−x −⇒−⋅=−⇒ 1()]2(8log[)1log( 22 xxx
0=
==
=±=−3
5
228
26064
x
x
−−
⇒=−−−3
2log2log63log)2log(
x
xxx
6
Tenemos que resolver la ecuación radical: 632)2( −=− xx
Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )32()32( −=+ xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒− )6x 16241244 22 +−⇒−=+− xxxxx
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 1028162 =⇒=+− baxx
±=±=−±=⋅
2
1216
2
14416
2
1122561628
1=
es de la ecuación son 5=x y 3=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
44
⇒−⋅= )2(8)1 x
⇒=
2log
6
2
028 =+
28 16 =−= cb
=
==
22
4
142
2812
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
COMPROBACIÓN
14=x
21412626143 2
12214=−⇒
=⋅=−⋅
=−
2=x
222002623 2
022=−⇒
=⋅=−⋅
=−
� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:
2=x no es solución, porque al sustituir en la ecuación inicial aparece
0 existe log >⇔ xxa )
14=x
sí es solución (al sustituir no hay problemas)
h) 1227log 59 −= x
Aplicamos la definición de logaritmo:
=⇒−= −91227log 512
)(
59 x x
Definición
2013
1320 =⇒=⇒ xx
i) 4,028
log5
−=x
Aplicamos la definición de logaritmo:
28
4,028
log5
4,0
)(
5
=⇒−= −xDefinición
x
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
ecuación la desolución es sí 1461432 =⇒−⋅= x
ecuación la desolución es sí 2623 =⇒−⋅ x
Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:
2log63log)2log( =−−− xx
no es solución, porque al sustituir en la ecuación inicial aparece 0log que no existe. (Recuerda que
sí es solución (al sustituir no hay problemas)
Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=
=−⇒=⇒=⇒ −− 24333)3(27 5
3245 3122 xxx
Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=
222
22 1
5
3
5
2
1
5
3
5
25 310
4
⇒=⇒=⇒=⇒−−−−
xxxx
14=
2013=
2=
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
45
radicalecuación
radicalecuación
que no existe. (Recuerda que
⇒=−⇒= 3102053
x
22 5
2
5
2
=⇒=−−
xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
j) 73128log 32 +−= x
Aplicamos la definición de logaritmo:
⇒+−= +−273128log 73
)(
32 x x
Definición
914
149 =⇒−=−⇒ xx
k) log1)2(log)2(log 777 −=+−− xx
)72(log7log2
2log 777 −−=
+−
xx
x
⇒+=−−⇒ 2)2(7)72)(2( xxxx
⇒=−⋅⇒=− 0)9(092
x
xxxxx
l) )13log(1)403log( 2 −+=++ xxx
+=++ 3log(10log)403log( 2 xxx
⇒−⋅=++⇒ )]13(10[)403( 2 xxx
=⋅
⋅⋅−−±=⇒
2712
5014)27(27 2
x
m) 5loglog3loglog 2 +=− xx
)5log(3
log2
⋅=
x
x⇒=⇒ 5
3
2
xx
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
Las soluciones de la ecuación son
La solución de la ecuación es =x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=
−⇒=⇒=⇒= +−+− 32222128 3
7733 7733 xxx
)72( −x
) =
+−
⇒
−=
+−
⇒2
2
72
7log
2
2log 77 x
x
xx
x
=−⇒+=+−− (:22 01821471447 xxxxxx
==
9
comprueba seecuación laen sustituir (al 0
⇒− )1x ⇒−=++ )]13(10log[)403log( 2 xxx
⇒=+−⇒−=++⇒ 050271030403 22 xxxxx
==
=±=−±2
25
22327
220072927
x
x
⇒=−⇒=−⇒=⇒ 0)15(01515 22 xxxxxx
914=
9=
es de la ecuación son 25=x y 2=x
15=
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
46
⇒=+−⇒=+ 721937
7 xx
⇒
−=
72
7
x
→ )2(:
solución) es no que
⇒
=⇒=−
=
15015
vale)(no 0
xx
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
n) 2)53log(log =++ xx
100log)]53(log[ =+⋅ xx +⇒ 3( xx
=⋅
−⋅⋅−±−=⇒32
)100(34)5(5 2
x
o) 3ln)2ln(ln2 2 =++ xx
3ln)2ln(ln 22 =++ xx (ln[ 22⇒ xx
1) Hacemos el cambio de variable
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
3) Deshacemos el cambio de variable
333 2 −=⇒−=⇒−=• xxt
⇒=⇒=⇒=• 111 2
x
xxxt
p) 6loglog2 4 =+ xx
642 10logloglog =+ xx ⋅⇒ 2log(x
q) 2ln5lnln2 =− xx
2ln5lnln 2 =− xx =
⇒ 2ln
5ln
2
x
x
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇒=−+⇒=+ 010053100)5 2 xx
−=−
==±−=+±−=
320
640
5630
6355
61200255
323)2(3ln)]2 24222 =−+⇒=+⇒=+ xxxx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
0322 =−+ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: +±−=⇔=−+
21242
0322 ttt
3) Deshacemos el cambio de variable
realsolución existe no⇒
−==
vale)(no 1
1
x
x
⇒=⋅ 64 10log)x 101066 =⇒= xx
⇒2 1025
=⇒= xx
5=
1=
10=
10=
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
47
solución) es (no 20
)bicuadrada (ecuación 0=
y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
−=
==±−=
3
1
2
4212
t
t
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
r)
+=10
log4log2x
x
+=10
log10000loglog 2 xx ⇒ log
⇒=−⇒=⇒ 010001000 22 xxxx
s) xx
log22
3log3 =
+
2log2
3log1000log x
x =
+ ⇒ log
⇒=−⇒=⇒ 015001500 22 xxxx
t) )3log(2log1)2log( −−+=− xx
log(2log10log)2log( −−+=− xx
⇒−
=−⇒)3(
20)2(
xx −− 3)(2( xx
==
=±=+±=⇒2
95
2
56255
x
xx
La solución de la ecuación es =x
u) )7log(1log xx −−=
)7log(10loglog xx −−= =⇒ logx
⇒=+−⇒=−⇒ 0107107 22 xxxx
La solución de la ecuación es =x
La solución de la ecuación es =x
Las soluciones de la ecuación son
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇒
⋅=10
10000loglog 2 xx
=⇒=−=
⇒=−⇒100001000
vale)(no 00)1000(
xx
xxx
⇒=
⋅ 2log2
31000log x
x⇒= 2log1500log xx
=⇒=−=
⇒=−⇒150001500
00)1500(
xx
xxx
)3− ⇒
−⋅=−⇒
)3(
210log)2log(
xx
−−⇒=+−−⇒= 1452062320)3 22 xxxxx
−−==
existe) no )2log( porque vale(no 2
7
7=
=−⇒−
=⇒
−= 10)7(
)7(
10
)7(
10log xx
xx
x
⇒
==
=±=−±= 2
5
2
37
2
40497
x
xx
1000=
1500=
ecuación son 5=x y 2=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
48
1000
1500
⇒= 014
⇒10
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
v) 32log15log13log −+=++ xx
2log10log)513log( −+=⋅+ xx
3210)135 )5(:→−=+⇒ xx
� Tenemos que resolver la ecuación radical:
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
• Operamos y reducimos términos semejantes:
2(413 =+ xx
COMPROBACIÓN
513=x
5
1123
5
2623
5
1322
5
441
5
391
5
133
==−=−⋅
=+=+⋅
� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:
513=x
sí es solución (al sustituir no hay problemas)
w) 4log20log5log)55( 2 =++− xx
20log4log5log )55( 2
−=+− xx ⇒ log
1)55( 5log5log2 −+− =⇒ xx 52 −⇒ xx
La solución de la ecuación es =x
Las soluciones de la ecuación son
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
3
3− ⇒−=+⇒ )3210log()135log( xx
32213 −=+ xx
Tenemos que resolver la ecuación radical: 32213 −=+ xx
miembros: 22 )322()13( −=+ xx
Operamos y reducimos términos semejantes:
1313512813)3 =⇒−=−⇒−=+⇒− xxxxx
ecuación la desolución es sí
5
44
5
1122
⇒
=⋅
Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:
32log15log13log −+=++ xx
sí es solución (al sustituir no hay problemas)
⇒
=+−
204
log5log )55( 2 xx
=+−
51
log5log )55( 2 xx
06515 2 =+−⇒−=+ xxx−±=⇒
224255
x
513=
es de la ecuación son 3=x y 2=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
49
513
radicalecuación
⇒
==
=±= 2
3
21524
x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
x) 3125log2log)95( 2 =++− xx
1000log125log2log )95( 2
=++− xx ⇒
⇒=⇒ +− 8log2log )95( 2 xx −(2log2x
y) 2)43log()16log( 2
=−
−x
x
)43log(2)16log( 2 −=− xx ⇒ log(
=−⇒−=−⇒ 16)43()16( 222 xxx
=−⋅⇒=−⇒ )125(0125 2 xxxx
La solución de la ecuación es =x
z) 3)4log()43log( 3
=−−
x
x
)4log(3)43log( 3 xx −=− ⇒ 43log(
43)4()43( 333 =−⇒−=−⇒ xxx
±=⋅
⋅⋅−−±= 1642
744)16(16 2
x
Las soluciones de la ecuación son
Las soluciones de la ecuación son
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇒−=⇒ +− 125log1000log2log )95( 2 xx 2log ( 2x
⇒=+− 3)95 2logx 65395 22 +−⇒=+− xxxx
==
=±=−±= 2
3
215
224255
x
xx
⇒−=− 22 )43log()16log( xx
→=−⇒+−= 50241016249 2)2(:22 xxxxx
=⇒=−
=⇒
512
0125
vale)(no 00
xx
x
5
12=
⇒−=− 33 )4log()43 xx
0214812124864 232 =+−⇒−+−= xxxxx
==
===±=−
21
84
27
828
81216
8112256
x
x
es de la ecuación son 3=x y 2=x
ecuación son 21=x y
27=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
50
⇒
=+−
1251000
log)95x
0=
⇒=− 0122 x
07164 2)3(: =+−→ xx