Ecuaciones_Diferenciales_-_UTP-2015-I_-1-16199

Facultad de Ciencias

PERIODO 2015-I

ECUACIONES DIFERENCIALES

JOSE EDUARDO TORRES VEGA

Coronel EP ( R )

Diplomado en Ciencia y Tecnologa

Ingeniero Electrnico CIP

Maestro en Administracin

Experto en Logstica

Diplomado en Seguridad y Salud Ocupacional

Docente Universitario a nivel pre grado y post grado

Consultora y Asesora en el Diseo, Implantacin y

Control de la prestacin de Servicios de

Telecomunicaciones y Telemtica

Estudios Tericos de Radiaciones No Ionizantes

PRESENTADO POR:

FACULTAD DE CIENCIAS

Semana Contenidos o temas Sesin

Semana 1

Ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden y grado. Ecuaciones diferenciales de variable separable.

1

Ecuaciones diferenciales homogneas y exactas. 2

Semana 2

Ecuaciones diferenciales Lineales y de Bernoulli. 3

Ecuacin de Riccati y de Clairaut.

4

Semana 3

Aplicaciones geomtricas. Trayectorias ortogonales. 5

Decaimiento radiactivo, temperaturas y circuitos RL y LC 6

Semana 4

Primera Prctica Calificada.

7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior: homogneas y no homogneas con coeficientes Constantes. Naturaleza de las races del polinomio auxiliar.

8

Semana 5

Mtodo de los coeficientes indeterminados. 9

Mtodo de los operadores diferenciales. Propiedades abreviadas y Aplicaciones.

10

Semana 6

Ecuacin de Euler. Aplicaciones.

11

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales: Vibraciones mecnicas.

12


Semana 7

Vibraciones libres no amortiguadas y amortiguadas.

Aplicaciones.

13

Segunda Prctica Calificada.

14

Semana 8

Solucin de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias de orden 1 y 2.

15 Ecuacin de Legendre y su solucin.

16

Semana 9

Polinomio de Legendre y aplicaciones.

17

Mtodo de Frobenius. Teoremas y aplicaciones.

18

Semana 10

Ecuacin de Bessel. Solucin de la ecuacin de Bessel.

19

Tercera Prctica Calificada.

20 Semana 11

Transformada de Laplace. Funciones

continuas por tramos y de orden exponencial.

21 Propiedades de la transformada de Laplace y Aplicaciones.

22 Semana 12

Transformada de Laplace de funciones

elementales: Transformada de Escaln unitario, delta de Dirac,

Transformada de la derivada de una funcin.

23

Transformada de las integrales. Teorema de la divisin.

24 Semana 13

Transformada de la inversa de Laplace: Propiedades. Mtodos de clculo.

25

Cuarta prctica calificada

26

Semana 14

Aplicaciones de la transformada de

Laplace a las Ecuaciones Diferenciales homogneas

27 Aplicaciones de la transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales no homogneas

28

Semana 15

EXAMEN FINAL

15


SUMARIO

BIBLIOGRAFA

1. Edwin Kreyszing. Matemticas Avanzadas para Ingeniera Vol. I. Editorial Limusa 1982. 2. Murray Speegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Edic. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1984. 3. Edwards/Penny. Ecuaciones Diferenciales Elementales Editorial Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1986. 4. Makarenko. Problemas y ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Editorial Mir. 1988. 5. S.L. Ross. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales Tercera Edicin 1993 Editorial Mc Graw Hill. 6. George F. Simons. Ecuaciones Diferenciales Segunda Edicin 1993 Editorial Mc. Graw Hill.

1. DEFINICIN. ORDEN. GRADO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL. 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES. 3. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES:

a. SOLUCIN GENERAL. b. SOLUCIN PARTICULAR. c. SOLUCIN SINGULAR. d. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA.

4. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 5. DESARROLLO DE PROBLEMAS.

ECUACIONES DIFERENCIALES


ECUACION DIFERENCIAL


1. UNA ECUACION DIFERENCIAL (DE ORDEN n) ESTA EXPRESADA EN FORMA IMPLICITA

CUANDO TIENE LA FORMA F(x, y, y, . . . , y(n)) = 0, SIENDO F UNA FUNCION F:

Rn+2 R CON UN SUBCONJUNTO (GENERALMENTE ABIERTO) DE Rn+2.

2. UNA ECUACION DIFERENCIAL (DE ORDEN n) ESTA EXPRESADA EN FORMA EXPLICITA

CUANDO TENEMOS y(n) = f(x, y, y, . . . , y(n1)), CON F: D Rn+1 R UNA

FUNCION DEFINIDA EN UN SUBCONJUNTO D (GENERALMENTE ABIERTO) DE Rn+1

3. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SE CLASIFICAN SEGN SU TIPO, ORDEN Y

LINEALIDAD

ASI TAMBIN, SE PUEDE AFIRMAR:


3. SE DICE QUE UNA ECUACION DIFERENCIAL ES LINEAL SI TIENE LA FORMA an(x)

dny/dxn+ an1(x) dn1y/dxn1+ + a1(x) dy/dx + a0(x)y = g(x). SE LLAMA LINEAL

HOMOGENEA SI, ADEMAS, g(x) = 0. DADA UNA ECUACION LINEAL, SU

CORRESPONDIENTE ECUACION LINEAL HOMOGENEA EN LA QUE SE HA HECHO

g(x) = 0 SE DENOMINA LINEAL HOMOGENEA ASOCIADA. UNA ECUACION QUE

NO ES LINEAL SE DICE NO LINEAL.

4. DECIMOS QUE UNA FUNCION y = (x) DEFINIDA EN UN INTERVALO I (ES DECIR,

: I R R) ES SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL EN EL INTERVALO

SI, SUSTITUIDA EN DICHA ECUACION, LA REDUCE A UNA IDENTIDAD. (EN OTRAS

PALABRAS, SI SATISFACE LA E. D.) UNA E. D. SE DICE RESOLUBLE (O INTEGRABLE)

POR CUADRATURAS SI SU SOLUCION ES EXPRESABLE MEDIANTE INTEGRALES.


SOLUCIN DE UNA EDO CUALQUIER FUNCIN , DEFINIDA EN UN INTERVALO I Y QUE TIENE AL MENOS n DERIVADAS CONTNUAS EN I, LAS CUALES CUANDO SE SUSTITUYEN EN UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA DE n-simo ORDEN REDUCEN LA ECUACIN A UNA IDENTIDAD. DECIMOS QUE ES UNA FUNCIN CON VALORES REALES, QUE SATISFACE LA ECUACIN DIFERENCIAL EN I. RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL CONSISTE EN ENCONTRAR UNA FUNCIN CUYA DERIVADA SEA f(x), ES DECIR ENCONTRAR LAS PRIMITIVAS (INTEGRALES INDEFINIDAS) DE f(x)

INTERVALO DE DEFINICIN TAMBIN ES CONOCIDO COMO INTERVALO DE DEFINICIN, INTERVALO DE EXISTENCIA, INTERVALO DE VALIDEZ O DOMINIO DE LA SOLUCIN Y PUEDE SER DEFINIDO COMO UN INTERVALO ABIERTO (a,b), UN INTERVALO CERRADO [a,b], UN INTERVALO INFINITO (a,) , ETC.


Son problemas de valor

inicial de primero y segundo

orden


EXISTENCIA Y UNICIDAD

PARA UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL, SE TIENE


SOLUCIN DE ECUACIONES EXPLICITAS DE PRIMER ORDEN

y = f(x, y)

Si se tiene la E. D. g(x) = h(y)y, se puede escribir g(x) dx = h(y) dy; si se establece que G es una primitiva de g y H una de h, tendremos G(x) dx = H(y) dy e, integrando, G(x) = H(y) + C, que es la solucin general de la ecuacin. Ejemplo Resolver: dy/dx + (sen x)y = 0


Solucin:

Despejando, dy/y = (sen x) dx e, integrando, log y = cos x + c, es decir, y=

ecos x+c. Sin mas que tomar K = ec encontramos las soluciones y = Kecos

x. Fijarse que, en principio, parece que K tiene que ser positiva; pero en

realidad la integral de dy/y es log |y|, lo que nos llevara a soluciones con

valores negativos de K. Por ultimo, notar y = 0 (es decir, tomar K = 0)

tambin es claramente una solucin de la E. D., aunque no se obtiene con

el metodo seguido. As pues, la solucin general de la E. D. es de la forma

y = Kecos x con K R.


RECAPITULANDO:

EN MATEMTICAS, UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA (COMNMENTE ABREVIADA "EDO") ES LA QUE CONTIENE UNA FUNCIN DESCONOCIDA DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Y QUE ESTA RELACIONADA CON SUS DERIVADAS: o UNA SOLA VARIABLE INDEPENDIENTE (A DIFERENCIA DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES PARCIALES QUE INVOLUCRAN DERIVADAS PARCIALES DE VARIAS VARIABLES), Y

o UNA O MS DE SUS DERIVADAS RESPECTO DE TAL VARIABLE.

La trayectoria de un proyectil lanzado desde

un can sigue una curva definida por una ecuacin

diferencial ordinaria que se deriva de la segunda ley de

Newton.

En ingeniera, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de inters que, cuando se plantean, exigen la determinacin de una funcin la cual debe verificar una ecuacin que involucra derivadas de la funcin desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales


UNA SOLUCIN GENERAL DE UNA ECUACIN DE ORDEN N ES UNA SOLUCIN QUE CONTIENE N VARIABLES ARBITRARIAS, CORRESPONDIENTES A N CONSTANTES DE INTEGRACIN.

UNA SOLUCIN PARTICULAR ES DERIVADA DE LA SOLUCIN GENERAL MEDIANTE LA FIJACIN DE VALORES PARTICULARES PARA LAS CONSTANTES, A MENUDO ELEGIDAS PARA CUMPLIR CONDICIONES INICIALES.

UNA SOLUCIN SINGULAR ES LA QUE NO PUEDE DERIVARSE DE LA GENERAL.

SI y' = f(x,y), ENTONCES SU SOLUCIN GENERAL SER LA FUNCIN y = (x, C) QUE DEPENDE DE UNA CONSTANTE ARBITRARIA C . SATISFACE LA EDO PARA CUALQUIER VALOR DE LA CONSTANTE C.

ADEMS CUALQUIERA QUE SEA LA CONDICIN INICIAL (y(x0) = y0),SIEMPRE SE PUEDE ASIGNAR UN VALOR C0 A LA CONSTANTE C, TAL QUE LA FUNCIN y = (x, C0) SATISFAGA LA CONDICIN INICIAL DADA.

SE PRESUME QUE EL PUNTO (x0, y0) ESTA EN LA REGIN DONDE SE CUMPLEN LAS CONDICIONES DE EXISTENCIA Y DE UNICIDAD DE LA SOLUCIN

SOLUCION ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN:


UNA ECUACIN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN CON LA CONDICIN INICIAL SE EXPRESA DE LA SIGUIENTE FORMA:

DONDE y 0 = 0 ES LA CONDICION INICIAL

ECUACIN DE VARIABLES SEPARABLES

En donde es posible "despejar" todos los trminos con la variable dependiente en funcin de la variable independiente

SOLUCION


Solucin General: Y: f(x)

Expresada en forma explcita o implcita


Una EDO de primer orden: dy/dx = f(x,y) = g(x)h(y), es separable o de variables

separables. En este caso, puede resolverse mediante integracin directa,

integrando a ambos lados, para lo cual las dos constantes de integracin se

engloban en una:

Cdxxgdyyh)(

)(

1

Por ejemplo :

c e x dx e y , e dy/dx

xx

x

22

2

1

1


La idea ms simple de los procedimientos de solucin es reescribir la

ecuacin como una ecuacin de variables separadas:

Donde f(y) es una funcin exclusivamente de y y g(x) es una funcin

exclusivamente de x. Esta ecuacin se resuelve integrando a ambos

lados:

La ED de la forma

Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su

reescritura como una ED con variables separadas:

dxxgdyyf )()(

x

x

y

ydxxgdyyf

00

)()(

dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211

dxxg

xgdy

yf

yf

)(

)(

)(

)(

2

1

1

2


Algunos tipos de ED se convierten fcilmente a variables separables, por

ejemplo cuyo campo vectorial es funcin de una combinacin lineal de x e y:

Haciendo el cambio z=ax+by, se obtiene:

Ejemplo: La ecuacin

Se puede reescribir como

Donde z=x+y.

Integrando se obtiene

Regresando a las variables originales:

testanconssonb,adonde),byax(fdx

dy

)z(bfadx

dz

1dx

dy)yx( 2

2z

11

dx

dz

cx)z(tanz 1

)cyta n (yx


(1+x)dy - ydx=0

Y=(1+x)c

RESOLVER:


3)4( , yy

x

dx

dy

2

11

22

1

22

25

2

25,

2

4

2

)3(

22 ,

xy

cc

cxy

xdxydy

Resolver

Tambin se puede dejar la solucin en forma implcita como: x2 + y2 = c2, donde c2 = 2c1

Aplicando la condicin inicial, 16 + 9 = 25 = c2; x2 + y2 = 25.

Una solucin en forma explcita con dominio de definicin I : -5 < x < 5.

225 xy

Solucin por separacin de variables:


)1(

1

1lnln

1

1

111 1ln1ln

1

xe

exeeey

cxy

x

dx

y

dy

c

ccxcx

1ce

Resolver

x

yy

1'

1),1(|1|

1,1|1|

xxx

xxx

Solucin: como dy/y= dx/(1+x), tenemos:

Sustituyendo por c, obtenemos y=c (1+x)

Que pasara si no se toma el valor absoluto?


POSIBLE PRDIDA DE UNA SOLUCIN

Cuando r es un cero de h(y), si sustituimos y(x)= r en dy/dx = g(x)h(y), tenemos 0 = 0. Es decir, y(x) = r tambin es solucin de dy/dx = g(x)h(y).

Sin embargo, esta solucin no se revelar tras la integracin, puesto que:

dy/h(y) = g(x) dx queda indefinido en el cociente (h(y = r) = 0). Entonces y(x) = r es una solucin singular.

Resolver: dy/dx = y2 4 Separando variables, escribimos esta ED como:

dxdyyy

dxy

dy

22 ;

44

1

4

1

2


2

2

,42

2ln ,2

4

12ln

4

1

24

21

cxe

y

y

cxy

ycxyy

Sustituyendo exp(c2) por c y resolviendo para y:

x

xxxccx

ce

ceyceeee

y

y4

4444

1

12;

2

222

Si se factoriza la EDO: dy/dx = (y + 2)(y 2), y se iguala a 0, se obtiene y = 2 como soluciones de equilibrio. y = 2 corresponde a c = 0 en la solucin. Pero y = -2 es una solucin singular que no se puede obtener de la solucin anterior (observa las fracciones parciales al comienzo para entender por qu).


Solucionar: dy/dx = xy con y(0) = 0

Separando variables tenemos:

dy/y = x dx

2 y = (x2/2 + c)

y = (x2/2 + c)2. Como y(0) = 0, c = 0 , la solucin que se obtendr ser: y = x4/16

Se ha perdido la solucin trivial y(x) = 0 en el trmino dy/y y que tambin cumple la condicin inicial. Entonces, as se encuentre una solucin particular para una ED de primer orden al conseguir determinar c mediante una condicin inicial, es posible que la solucin no sea nica.

En este caso el Problema de Valor Inicial(PVI) posee una infinidad de soluciones que podemos escribir con a 0 como:

axax

ax

xy,

16

1

,0

)( 222


22

2

3 2

3 2

sin 2 0

sin 2

1cos

3

1arcc

2

o3

sin

s

y dy x x dx

y dy x x dx c

y x x c

y x x x c

dy x x

dx y

y

xx

dx

dy

sin

22

Resolver:

Solucin:


2

2

2

2

2 2

01

1

sin cos1

cos cosarcsin

cos1 1 sin

arcsin ln arcsin ln

s l

1

in n

dy dx

xy

dy dxc

xy

dyy dy d

y

dy d

ydy

d

dd y

y

y x c y c x

y x x

x

c

x

x

y

dx

dy21

Resolver:

Solucin:


Solucin: Separando variables:

Aplicamos la identidad sen (2x) = 2 sen x cos x:

(ey ye-y) dy = 2 sin x dx

Integrando por partes: ey + ye-y + e-y = -2 cos x + c

Puesto que y(0) = 0, c = 4; la solucin implcita es:

ey + ye-y + e-y = 4 2 cos x.

0)0( ,2sin)(cos 2 yxedx

dyyex yy

dxx

xdy

e

yey

y

cos

2sin2

Resolver


Resolver:


Resolver:

Solucin:


2

2 2

2 1

1

2

1ln

1 1ln ln1 ln

2

1

1ln

2

1 2

g z

g

z

dg dz dg dz

g z g z

zg

z zg

g z

dg z gg

d

z

z z

Resolver:

Nota: Se han incluido las condiciones iniciales del problema como lmites inferiores de las integrales al resolver la EDO.


La ecuacin de la forma

tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0

y por consiguiente la solucin: u(x,y) = c

si cumple la condicin de Euler:

En tal caso

y la funcin u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:

y se puede determinar c(y) derivando

x

)y,x(N

y

)y,x(M

0dy)y,x(Ndx)y,x(M

y

)y,x(u)y,x(N,

x

)y,x(u)y,x(M

)y(cdx)y,x(M)y,x(uFACULTAD DE CIENCIAS

Ejemplo: La siguiente ED

Es exacta puesto que

Integrando respecto a x

Es decir,

Derivando respecto a y

De donde

Finalmente la solucin general es

0dy)3yx(dx)1yx( 2

x

yx

y

yx

)3()1( 2

)()1(),( ycdxyxyxu

)(),(2

2

ycxx yyxu x

3)(' 2

yxycx

y

u

12 )3()( cdyyyc

2323),(

32

cyxx yyxuyx


Ecuacin diferencial exacta con factor integrante:

ESCUELA DE INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES

Solucin:

EJEMPLO: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente

resolverla por el mtodo de las exactas.

SOLUCIN:

1 Paso: Checar si la ED es exacta o no exacta

No exacta

2 Paso: Bsqueda del factor integrante (F. I.) para convertir la ED en exacta:

Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cul

de las dos se puede factorizar y por ende produce un factor

integrante:

ESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

3 Paso: Conversin de la ED no exacta en exacta

Factorizando se tiene:

4 Paso: Aplicacin de los 4 pasos (i a iv) del mtodo de solucin de las ED

exactas.

Paso i): Comprobar si la ED es exacta Exacta


Paso ii): Integrar con respecto a x, dejando a y constante

Paso iii): Derivar con respecto a y la ecuacin resultante en el paso ii

Despejando g(y) de la igualdad anterior, se tiene:

Paso iv): Obtener la funcin g (y)

Paso v): Sustitucin del valor de g (y) en el paso ii

Solucin general: kccsiendocxyyx 11232 2


EJEMPLO: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente

resolverla por el mtodo de las exactas.

SOLUCIN:


APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Y EXPONENCIALES:

Se tiene lo siguiente:

xx ey

yce

xy

xyc

))0(2(

))0(3(

)2(

)3(

xx ey

yce

y

yc

)(

)(

)0(

)0(

xx ecec 1ESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

GRACIAS POR SU ATENCIN


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