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PROBLEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS

DE SEGUNDO ORDEN

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:CASO HOMOGÉNEO

La forma general de esta ecuación es:

0)()()(   =+′+′′   t cyt  ybt  ya

Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:

02

=++   cba   λ λ 

De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:

Caso 1:  21   λ λ   ≠ , races reales ! distintas" La solución de la #D$ es:

t t eC eC t  y   21 21)(

  λ λ  +=

Caso 2:  λ λ λ    ==   21 , races reales e iguales" La solución de la #D$ es:

t t  teC eC t  y   λ λ  21)(   +=

Caso 3:  β α λ β α λ    ii   −=+=   21   , , races com%le&as con&ugadas" La solución de la #D$ es:

t t eC eC t  y   21 21)(

  λ λ  +=   (solución com%le&a)

t eC t eC t  y  t t  β β    α α  sencos)( 21   +=   (solución real)

'emos ue en cada uno de estos casos eiste un es%acio de soluciones, resultante de lacombinación lineal de dos funciones" #l con&unto de estas dos funciones se conocecomo base de soluciones de la #D$ homog*nea"

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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:

CASO NO HOMOGÉNEO

La forma general de esta ecuación es:

)()()()(   t   f  t cyt  ybt  ya   =+′+′′

Para resolverla, se debe hallar %rimero la solución de la ecuación homogénea asociada:

0)()()(   =+′+′′   t cyt  ybt  ya

! la solución es de la forma:

)(+)()(   t  yt  yt  y c   += ,

donde yc es la solución de la homog*nea asociada, ! y* es una solución %articular del %roblema no homog*neo ue se obtiene a %artir de un m*todo adecuado (ver msaba&o)"

SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A

COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES

INDETERMINADOS

#ste m*todo se a%lica cuando la función f (t ) es una combinación lineal de %roductos

(finitos) de funciones tales ue derivadas den el mismo ti%o de función" -on ellas:  %olinomios en t  función e%onencial eht  combinaciones lineales dedcos(ω t ) ! sen(ω t )

Para resolverla, se usa una función de prueba ue es una combinación lineal del mismoti%o de funciones, cu!os coeficientes se determinarn reem%lazndola en la #D$"

#l caso ms general es:

[ ])sen()()cos()()(   t t qt t  pet   f    ht 

ω ω    +=

donde h, ω  ≠  0 ! p(t ), q(t ) %olinomios de grado n"

La función de %rueba general es:

)sen()()cos()()(+ 121121   t t l t l l t t  t   et  y  n

n

n

n

ht  ω ω  ++   +++++=   ,

donde , l  son los coeficientes a determinar" -i h . iω  es raz de la homog*nea asociada(lo ue ocurre cuando esta función de %rueba es solución del %roblema homog*neo),

 y*(t ) debe multi%licarse %or t "

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SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA ACOEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS

PARÁMETROS

#s un m*todo ms general, ! vlido aun cuando los coeficientes de la #D$ no sean

constantes, sino funciones" #n este caso la solución %articular toma la forma:

2211+   y! y! y   +=

donde !1 ! !2 se obtienen del sistema:

=′′+′′

=′+′

a

t  f   y! y!

 y! y!

)(

0

2211

2211

donde  y1  !  y2  son las funciones de la base de soluciones de la #D$ homog*neaasociada" #stas funciones deben ser linealmente inde%endientes, %ara lo cual debencum%lir con la condición:

021

21 ≠′′

= y y

 y y" 

#sto es, su determinante /ronsiano no debe ser id*nticamente nulo"

PROBLEMAS RESUELTOS

1) #ariación de los par$metros% La %osición ! la aceleración, en función del tiem%o, deuna masa %untual movi*ndose unidimensionalmente, vienen relacionadas %or laecuación diferencial

0tg)()(   =−+   t t at  &  (unidades ms)

Determinar la ecuación del movimiento (%osición en función del tiem%o) de la %artculasi la misma %arte del origen con una velocidad de ms"

-$L34567

#%resando la aceleración como la derivada segunda de la %osición ! reordenando laecuación tenemos:

t t  &t  &   tg)()(   =+′′

8allemos %rimero la solución de la ecuación homog*nea asociada" #s *sta:

0)()(   =+′′   t  &t  &

La ecuación caracterstica es:

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t C t C  &i c   sencos01 212 +=⇒±=⇒⇒=+   λ λ   

9hora debemos hallar una solución %articular del %roblema no homog*neo" 'emos ue, %or el ti%o de función ecitación, deberemos usar #n vista de la base de soluciones del

 %roblema homog*neo halladas, ser:

t !t ! &   sencos+ 21   +=

8allemos ahora !1 ! !2:

=′+′−

=′+′

⇒==′+′−

=′+′   ↓

t t !t t !

t !t t !

t 

t t t !t !

t !t !  t 

t 

sencoscossen

0sensencos

cos

sentgcossen

0sencos

2

21

2

21

cos %oraba&o!sen %orarriba ndomulti%lica

21

21

-i ahora sumamos las dos ecuaciones de este ltimo sistema tendremos"

t t t !t 

t t 

t 

t 

t !t t t !t !t !

tgseclogsencos

1cos

cos

cos1

cos

sen0sensencoscossen

1

tablas

2

2

1

1

ecuación %rimera

laenem%lazando;e

22

+−=⇒−=−

−=

=−=′⇒=+′⇒−=⇒=′

↓

↓

4on las funciones !1 ! !2 as obtenidas %odemos escribir:

( ) ( )   t t t t t t t t t t !t ! & costgseclogsencoscostgseclogsensencos+ 21   +=−+−=+=

con lo cual la solución general del %roblema no homog*neo es:

( )   t t t t C t C  & & & c costgseclogsencos+ 21   +−+=+=

Las condiciones iniciales indican ue cuando t  es 0 ,  & ' 0 ! ! < " De esta manera, %odemos escribir:

210sen0tg0seclog10cos0sen)0()0(

00cos0tg0seclog0sen0cos)0(

2221

121

=⇒=+=+−++−=′=

==+−+=

C C C C  &!

C C C  &

4on estos valores de la constante tenemos, finalmente:

( ) t t t t  &   costgseclogsen2   +−=  

=ue es la solución al %roblema de valores iniciales %lanteado" ν

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2) Coeficientes indeterminados% ;esolver el %roblema de valores iniciales:

0)0()0(

cos)(2)(2)(

=′=

=+′+′′   −

 & &

t et  &t  &t  &   t 

-$L34567

Primero resolvemos la ecuación homog*nea asociada" La ecuación caracterstica ser:

t eC t eC  &i  t t 

c   sencos12

21>22022 21

22   −− +=⇒±−=

⋅⋅−±−=⇒=++   λ λ λ 

9hora nos toca hallar la solución %articular del %roblema no homog*neo" 'emos ue lafunción ecitación es un %roducto de una e%onencial %or un coseno, %or lo cual

 %odemos intentar hallar la solución %articular %or el m*todo de los coeficientes

indeterminados" La función ecitación es e(t 

cost , de modo ue normalmente %ro%ondramos como función de %rueba una combinación lineal de senos ! cosenos, )e(t cost   .  e(t cost " -in embargo, en este caso %articular *sta sera una solución del

 %roblema homog*neo, %or lo cual debemos multi%licarla %or la variable t " $btenemosas:

t  *tet  *et  *et  )tet  )et  )et  *tet  *te

t  *et  *tet  *tet  *et  *et  *et  )te

t  )tet  )et  )tet  )tet  )et  )et  )et  &

t  *tet  *tet  *et  )tet  )tet  )et  &

t  *tet  )tet  &

t t t t t t 

t t 

t t t t t t t 

t t t t t t t 

t t t t t t 

t t 

cos2cos2sen2sen2sen2cos2sencos

coscossensencossencos

sensensencoscossencos)(

cossensensencoscos)(

sencos)(

−−−−−−

−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−

−−

−+−+−−==−−

++++−+−−

++−++−−−=′′

+−+−−=′

+=

4on estas e%resiones %odemos reem%lazar en la #D$ del enunciado ! obtener:

21

ecitaciónfunción

laconigualando

 ,0coscos2sen2sen2

cos2cos2sen2sen2sen2cos2cos2

cos2cos2sen2sen2sen2cos222

−==⇒=−−=+

+++−+−−+

+−+−+−−=+′+′′

−↓

−−−

−−−−−−−

−−−−−−

 * )t et  *et  )et  *te

t  )tet  *tet  *tet  *et  )tet  )tet  )e

t  *tet  *et  *et  )tet  )et  )e & & &

t t t t 

t t t t t t t 

t t t t t t 

De modo ue una solución %articular al %roblema no homog*neo ser:

t t et eC t eC t  &t  &t  &t t et  &   t t t ct  sensencos)(+)()(sen)(+

21

2121   −−−− −+=+=⇒−=

=ueda como e&ercicio %ara el lector deducir a %artir de las condiciones iniciales ue las

constantes deben ser nulas ! obtener ue t t et  &   t  sen)( 21   −−= "

4omo se ve, este m*todo %uede reuerir derivaciones algo com%licadas" ν

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) +istema masa(resorte% 3n sistema masa?resorte est caracterizado %or los siguientesvalores: masa m < 0,2@ constante del resorte   < A0@ constante de amortiguamiento h < 2"-i se a%lica una ecitación  (t ) < 2cos0t , obtener el estado estacionario de la res%uesta,e%resndolo en la forma &(t ) ,0

A02,0>22 E2

E

1

2−− +=⇒±−=

⋅⋅−±−=λ 

9hora buscaremos una solución %articular del %roblema no homog*neo" 'emos ue lafunción ecitación es cosenoidal, ! %or ende usaremos como función de %rueba unacombinación lineal de senos ! cosenos"

t t  & * )

 * ) * )

t t  , t  * )t  * )t  *

t  )t  *t  )t  *t  ) & & &

t  *t  ) &

t  *t  ) &

t  *t  ) &

0sen0cos+0100F02F0100

0cos2)(0sen)100F0(0cos)F0100(0senA0

0cosA00cosF00senF00sen1A00cos1A0+A0+2+2,0

0senG000cosG00+

0cos00sen0+

0sen0cos+

>0

>0E

>0>0

E

+−=⇒=−= ⇒=−− =+−⇒

⇒==−−++−=+

+++−−−=+′+′′

−−=′′

+−=′

+=

De modo ue la solución general del %roblema no homog*neo ser:

t t t eC t eC  & & &   t t c

  0sen0cosDEsenDEcos+>0

>0EE

2

E

1   +−+=+=  −−

#n el estado estacionario, %ara tiem%os mu! grandes, los dos %rimeros t*rminos tiendena 0 ! %odemos escribir:

t t  &   0sen0cos>0

>0E

est   +−=

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La manera normal de e%resar un movimiento oscilatorio de este ti%o es de la forma &(t )<  )cos(ω t ( γ  )" -i a%licamos la identidad trigonom*trica del coseno de una suma,tendremos:

( )   01D1F,0F,2cos

F,2tgtg

sen

cos

0

0sen0cossensencoscos)cos(

>0E

E1

E

2a"lacona"la m"a"m" dividiendo

>0

>0E

>0

>0E

caso nuestroen

≅−

=⇒≅−=⇒−=⇒

=

−=

=

⇒

⇒+−=+=−

−↓

↓

 )

 )

 )

t t t  )t  )t  )

γ  γ  

γ  

γ  

ω 

γ  ω γ  ω γ  ω 

De modo ue finalmente %odemos escribir:

 &est < 0,011Fcos(0t  ? 2,F)

 7ótese ue  ), la am%litud del movimiento, es siem%re un valor %ositivo" Por esoelegimos un γ   tal ue su coseno fuera negativo, de modo ue al des%e&ar ) nos diera unnmero %ositivo" ν

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>) Circuito eléctrico% 8allar la corriente ue circula en un circuito serie  -.C , sabiendoue - < 120 Ω,  . < 10 8, C  < 10? H si la fuerza electromotriz viene dada %or / (t ) <

1sen2t   ', ! si la intensidad cum%le las condiciones i(0) < 0, 201)0(   −=′i " 8allar 

asimismo la corriente en estado estacionario"

-$L34567

La intensidad es la derivada de la carga el*ctrica 0" Ien*ricamente se %uede escribir  %ara un circuito -.C :

t 0t 

0

t 

0t  / 0

C t 

0 -

t 

0 . 2sen1D100012010)(

12

2

 %roblema nuestroen

2

2

=+∂

∂+

∂

∂⇒=+

∂

∂+

∂

∂   ↓

Jsta es una t%ica ecuación de 2C orden a coeficientes constantes" 8allamos %rimero lasolución general del %roblema homog*neo ! luego le sumamos una solución %articular 

del %roblema no homog*neo" Para lo %rimero %lanteamos:

t eC t eC 0i   t t c   AsenAcosAF20

100010>120120   F2

F

1

2−− +=⇒±−=

⋅⋅−±−=λ 

Para la solución %articular del %roblema no homog*neo, %odemos usar una función de %rueba:

t t 0 *

 )

 * )

 * )t 

t  * )t  * )t  *t  )

t  *t  )t  *t  )000

t  *t  )0

t  *t  )0

t  *t  )0

2cos2sen+0GF02>0

1D2>0GF02sen1D

2cos)GF02>0(2sen)2>0GF0(2cos10002sen1000

2sen2>02cos2>02cos>02sen>0+1000+120+10

2cos>2sen>+

2sen22cos2+

2cos2sen+

2>01

F01

2>01

F01

 %roblema esteen

−=⇒−=

=⇒

=+

=−⇒=

=++−=++

+−+−−=+′+′′−−=′′

−=′

+=

↓

De modo ue la solución general del %roblema no homog*neo es:

t t t eC t eC 000

  t t 

c   2cos2senAsenAcos+ 2>01

F0

1F

2

F

1  −++=+=

  −−

5ntroduciendo las condiciones iniciales es:

01

2101

21

1201

01FF

2

FF

1

AF0)0(AF)0(

2sen2cos)AcosAAsenF()AsenAAcosF(

=−⇒==++−=′⇒

⇒+++−+−−=′   −−−−

C C iC C 0

t t t et eC t et eC 0  t t t t 

-imilarmente,

1E1

21201

F01

21

F0

1

1E

1FFF

F

2

FFFF

1

GF1A)0(GF1A)0(2cos2sen)AsenF>Acos>AAcos>A

AsenF()AcosF>Asen>AAsen>AAcosF(

=+⇒−=′=+−−=′′⇒

⇒+−−−

−+−++=′′−−−

−−−−−

C C iC C 0t t t et et e

t eC t et et et eC 0

t t t 

t t t t t 

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;euniendo los dos ltimos resultados, %odemos escribir:

1E0

D

1

F00

1

2

1E

1

21

0

1

21

GF1A

AF

=

−=⇒⇒

=+

=−

C 

C 

C C 

C C 

De modo ue la corriente ue circula %or el circuito vendr dada %or:

t t t et e000   t t c   2cos2senAsenAcos+ 2>01

F01F

F001F

1E0D −++=+=   −−

La corriente en estado estacionario vendr dada %or los dos ltimos t*rminos de estae%resión" ν