Ecuaciones diferencialesordinarias

Capitulo VI

Ecuaciones diferenciales deprimer orden

Mtodos de pasos libres

Euler 1 y 2Runge-Kutta 2 y 4

Mtodos de pasos ligados

implcitosexplcitospredictor-corrector

Primer orden

Dado el problema de valor inicial

!

y '= f ( t,y(t))

y(t0) = y

0 t " [t

0,T]

# $ %

!

y( t)

f ( t,y)

con

Una funcin derivable desconocidaUna funcin dada

Teo.: El problema tiene una solucin nica y

si

!

1) f es continuo sobre [t0 ,T]x"

2) f es Lipschitzienne : # k $ 0 % f(t,&1) - f(t,& 2 ) ' k&1(& 2

En general la solucin analtica nopuede ser encontrada

Utilizamos mtodos numricos

!

yn " y( tn ) con t1,t2 ,...tn # [to ,T ]

definiciones

Error Convergencia Estabilidad!

en = y tn( ) " yn

!

en" 0

!

lm yn < +" para h fijo

n #"

!

h = ti+1" ti

Euler - orden 1

Para h pequea, aproximamos la solpor la tangente

Dado inicializacion Mientras hacer

!

y0

= y( t0)

!

t < T

!

yn+1 = yn + hn+1 " f ( tn ,yn )

Error

error global practico

error teoricoerror de cada

h* optimo h

!h

Euler - orden 2 Dado un arco de parabola La pendiente es paralela a la cuerda

La pendiente es la demi-suma dependientes en a y b

!

a + b( )2

!

a + b( )2

Dados Coordenadas de p

Coordenadas de yn+1

!

t '= tn + h / 2

y '= yn +h

2f ( tn ,yn )

"

# $

% $

!

tn+1 = t+ h

yn+1 = yo + h " f tn ,tn +h

2f ( tn ,yn )

#

$ %

&

' (

)

* +

, +

!

k1= hf (tn ,yn )

k2

= hf (tn +h

2,yn + k1)

yn+1 = yn + k2

"

# $ $

% $ $

!

yo dado para t = to

Metodo Runge-Kuttageneral

!

k1

= hn+1 " f ( tn ,yn )

k2

= hn+1 " f ( tn +#1hn+1,yn +$11k1)

M

kn = hn+1 " f ( tn +# 2hn+1,yn +$21k1+$22k2 )

M

kp = hn+1 " f ( tn +# p%1hn+1,yn + $p%1, iki& )

yn+1 = yn + 'ikii=1

q

&

Runge-Kutta orden-2 Euler-Cauchy

!

k1

= hn+1 " f (tn ,yn )

k2

= hn+1 " f tn +hn+1

2,yn +

k1

2

#

$ %

&

' (

yn+1 = yn + k2

)

*

+ + + +

!

k1= hn+1 " f (tn ,yn )

k2

= hn+1 " f tn + hn+1,yn + k1( )

yn+1 = yn +k1

2+k2

2

#

$

% % % % %

!

k1 = h " f (tn ,yn )

k2 = h " f tn +h

2,yn +

k1

2

#

$ %

&

' (

k3 = h " f tn +h

2,yn +

k2

2

#

$ %

&

' (

k4 = h " f tn +h

2,yn + k3

#

$ %

&

' (

yn+1 = yn +1

6k1+ 2k2 + 2k3 + k4( )

)

*

+ + + + + + + + + + + +

Runge-Kutta orden-4

Consistencia.- un mtodo numrico lo es si

Estabilidad.-

Convergencia.- un mtodo converge si

!

limh"#

Max0$n$N

y( tn+1)% y(tn )

hn+1% & tn ,y(tn ),hn+1( ) $ 0

!

yn+1 = yn + hn+1" tn ,yn ,hn+1( )

zn+1 = yn + hn+1" tn ,zn ,hn+1( ) +#n

$ % &

' &

con yo dado

con zo dado

!

Max0"n"N

zn# yn " M1 zo # yo +M2 Max

0"n"N$n

!

limh"#

Max0$n$N

yn % y( tn ) = 0

Metodos de pasos ligados

El problema consiste en evaluar laintegral, ya que es desconocida

!

y' t( ) = f t,y t( )( ) " y tn+1( ) = y tn( ) + f t,y t( )( )dttntn+1

#!

y( t)

Metodo explicito Suponemos conocidos en los puntos entonces son conocidas Vamos a calcular

interpolando f por un polinomio construimos

!

yo ,y1,K ,yn

!

to,t1,K ,t

n

!

f t0,y0( ) = f0

!

f t,y t( )( )dttn

tn+1

"

!

fo , f1,K , fn

!

pn( ti ) = fi

!

f tn ,yn( ) = fn

algoritmo Construimos un polinomio de interpolacion

de lagrange

Deducimos por extrapolacion Calculamos

finalmente

!

to ,...,tn( ) : pn t( ) " pn ti( ) = fi # i = 0,....,n

!

pn( ti )

!

fn+1

!

yn+1 = yn + pn(t)dttn

tn+1

"

!

yn+1 = yn + hn+1 "i fii=o

n

#

!

hn+1 = tn+1" tn( )

Por ser interpolacion de Lagrange

n o 1 2 3 41 -1/2 3/22 5/12 -16/12 23/123 -9/24 37/24 -59/24 55/244 251/720 -1274/720 2616/720 -2774/720 1901/720

!

"i

= 1i=0

n

#

error

nota

!

"n+1 = y tn+1( ) # yn#1 = ahn+ 2 +$ hn+ 3( )

Metodos implicitos

Interpolamos como antes, pero en n+2 puntos

De donde

finalmente!

to,t1,....,t

n+1

!

Qn+1 t( )

!

" Qn+1 ti( ) = fi

!

yn+1 = yn + Qn+1 t( )dttn

tn+1

"

!

yn+1 = yn + hn+1 "i fi + hn+1i=o

n

# "n+1 f tn+1,yn+1( )

Lo que resulta en resolver una ecuacion

Implicita, se resuelve por un metodoiterativo

n 0 1 2 3 41 1/2 1/22 -1/12 8/12 5/123 1/24 -5/24 19/24 9/244 -19/720 106/720 -264/720 646/720 251/720

!

"i= 1#

!

"n+1 = yn+1# yn = bhn+ 3 +$ hn+ 4( )

!

yn+1 = g yn( )

!

hi= h "isi entonces las son conocidas

!

"i

Ecuaciones diferenciales deorden n

Sean n funcionesverificando el sistema diferencial

!

dy1

dt= f

1t,y

1(t),K ,yn(t)( )

M

dyn

dt= fn t,y1(t),K ,yn(t)( )

!

y1( t),y

2( t),K ,yn(t)

!

y1t0( ) = y10 ,K ,

!

yn t0( ) = yn0

proponemos

!

F t, Y{ }( ){ } =f1t, Y{ }( )M

fn t, Y{ }( )

"

# $

% $

&

' $

( $

!

Y (t){ } =y1( t)

M

yn( t)

"

# $

% $

&

' $

( $

!

Y (to){ } = Y

o{ }

!

d Y{ }dt

= F t, Y{ }( ){ } con

Ecuaciones diferenciales deorden n

!

yn( t) = f

1t,y

o( t),y

1( t),K ,y

n"1(t)( )!

yn( t) =

dny

dtn

!

yot( ) = y(t)

!

Y (t){ } =yn"1( t)

M

yo( t)

#

$ %

& %

'

( %

) %

!

Y '(t){ } =

yn( t)

yn"1( t)

M

yo( t)

#

$

% %

&

% %

'

(

% %

)

% %

=

f1t,y

o( t),y

1( t),K ,y

n"1(t)( )

yn"1(t)

M

y1(t)

#

$

% %

&

% %

'

(

% %

)

% %

=

f1t,Y ( t)( )

f2t,Y ( t)( )M

fn"1 t,Y ( t)( )

#

$

% %

&

% %

'

(

% %

)

% %