Educación Secundaria magister · En aquellos casos en que sean necesarias varias escalas en un...

©MELC S.A.

Tema 49

Educación Secundaria

DIBUJO

� ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DEL TEMA

1. PROPORCIONALIDAD Y ESCALAS. DEFINICIÓN Y TIPOS DE ESCALAS.

2. NORMAS UNE SOBRE ESCALAS.

3. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THALES.

4. CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE ESCALA Y CONTRAESCALA: ESCALAS

VOLANTES.

5. ÁMBITOS DE APLICACIÓN.

� CONCLUSIÓN

� BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

� WEBGRAFÍA

� GLOSARIO

� ESQUEMA / RESUMEN

� CUESTIONES PARA EL REPASO

PROPUESTAS DE SOLUCIÓN

� ORIENTACIONES PARA LA REDACCIÓN DEL TEMA

� ORIENTACIONES PARA LA LECTURA DEL TEMA

� APLICACIÓN DE ESTE TEMA A LOS PRÁCTICOS

� RESUMEN (Ejemplo para la Redacción del tema en la Oposición)

PROPORCIONALIDAD Y ESCALAS. APLICACIÓN GEOMÉTRICA DEL TEOREMA DE THALES. ESCALAS VOLANTES. ÁMBITOS

DE APLICACIÓN 1.Proporcionalidad y escalas. Definición y tipos de escalas. 2.Normas UNE sobre escalas. 3.Aplicación del teorema de Thales. 4.Construcción gráfica de escala y contraescala: escalas volantes. 5.Ámbitos de aplicación.

magister

� Índice

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Dibujo. Tema 49 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES

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El estudio de la proporcionalidad es fundamental, no sólo por su aplicación en las escalas, sino también porque supone la base del estudio de una serie de transformaciones geométricas sin las cuales no podríamos resolver cierto tipo de problemas geométricos. Por ejemplo, gracias a la proporcionalidad directa aplicamos la homotecia a problemas de semejanza y de tangencias. Gracias a la proporcionalidad inversa conocemos las aplicaciones de la inversión y la potencia.

� Relación con otros temas

Este tema se relaciona con el tema 47 “Construcciones geométricas fundamentales” (sobre todo con el subapartado Potencia), con el tema 51 “Transformaciones geométricas. Homotecia e Inversión”, ya que en ellas encontramos aplicaciones, tanto de la proporcionalidad directa como de la proporcionalidad inversa.

Cuando representamos un objeto sobre el papel, ocurre que, en la mayor parte de los casos, el dibujo no está presentado a tamaño natural, bien porque sea más grande que el formato de papel que tengamos, o porque sea demasiado pequeño. Es por ello que se hace necesario el uso de la escala para poder ampliar o reducir las medidas del dibujo guardando la proporción con el objeto real. La Normalización vigente se ha encargado de editar cuáles son los tipos de escalas apropiadas para cada caso y para cada actividad (Arquitectura, Urbanismo, Dibujo Industrial, etc) como veremos más tarde. Hemos dicho en el apartado precedente que el dibujo de un objeto debe guardar una relación de proporcionalidad con éste, pues bien, es momento de ver a qué se refiere dicho concepto.

Proporcionalidad.- Podemos definirla como una relación entre magnitudes o también como “la conformidad de las

partes de un elemento con el todo, o de elementos entre sí”.

En cualquier caso, la definición matemática de proporcionalidad es la que trabajaremos nosotros. Según ésta, proporción es la “igualdad de dos razones”. Entendemos por “razón” a una fracción, de modo que la relación de proporcionalidad se expresaría como sigue:

a/b=c/d

y puede leerse “a es a b como c es a d”

� ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO

1 PROPORCIONALIDAD Y ESCALAS. DEFINICIÓN Y TIPOS

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a y d se llaman “extremos de la proporción” b y c se llaman “medios de la proporción”. Las proporciones cumplen la siguiente regla fundamental: “En una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos”, de modo que a.d=c.b Hay dos tipos de proporcionalidad: A. Directa B. Inversa A. Proporcionalidad Directa.- Diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando varían de tal forma que su razón permanece constante. Veamos: a/b = a'/b' = a''/b'' …....= k (constante) De este modo, también diremos que los segmentos a, b, c y d son directamente proporcionales cuando cumplen que a/b = c/d. Por último, dos magnitudes directamente proporcionales varían en sentido directo, que quiere decir que si una aumenta, la otra también y en la misma proporción. Este tipo de proporción está muy presente en el dibujo técnico por su aplicación en muchos problemas de semejanza y en algunas transformaciones geométricas, como por ejemplo la Homotecia.

B. Proporcionalidad Inversa.- Diremos que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando varían de tal forma que su producto permanece constante. Veamos: a.b = a'.b' = a''.b''.........= k (constante) Así pues, los segmentos a, b, c y d son inversamente proporcionales cuando cumplen que a.b = c.d. Dos magnitudes inversamente proporcionales varían en sentido inverso, esto es, que si una magnitud aumenta, la otra disminuye.

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Este tipo de proporción está estrechamente relacionada con la Potencia y la Inversión, que como sabemos, son procedimientos básicos en la resolución de tangencias. Recordemos por qué la Potencia, por ejemplo, es un caso de proporcionalidad inversa:

Los triángulos AB’C y ABC’ son semejantes inversos y por tanto, sus lados son proporcionales, de modo que si estableciéramos dicha relación, quedaría como sigue: AB/AC = AC’/AB’, con lo cual tenemos que AB.AB’=AC.AC’.

Escala.- Una escala es un medio técnico que aplicamos cuando el dibujo de un objeto no puede realizarse respetando el tamaño real. Entonces se sustituye por un dibujo semejante al mismo, que puede ser proporcionalmente mayor o menor. Así pues, la escala es la proporción que relaciona el tamaño del dibujo con el de la realidad. Se representa mediante una razón que se establece así: Escala : medida del dibujo/medida real. Si por ejemplo, encontramos en un plano la escala 1:1000 y vienen expresadas las magnitudes en centímetros, significará que cada centímetro del dibujo corresponde a 1000 de la realidad. Para transformar una medida tomada de la realidad a su sistema de representación, una vez determinada la escala, sólo tendremos que multiplicar esta magnitud por el valor numérico de la escala y obtendremos el valor que debemos dibujar: Medida en el dibujo= Escala x Medida en la realidad. Como los campos de la actividad humana son muchos y variados, las necesidades de proyectación de objetos, mecanismos, edificios, etc, requieren diversos tipos de escalas, escalas que se adapten a las circunstancias de cada parte del trabajo. De este modo, podríamos dividir las escalas en dos grupos: según sus consecuencias o por su forma de definirse. Veamos el siguiente cuadro:

CLASIFICACIÓN DE LAS ESCALAS

POR SUS CONSECUENCIAS POR SU FORMA DE DEFINIRSE

Escala de Reducción Escala de Ampliación

Escala Natural

Numérica Gráfica: Lineal

Transversal

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Las escalas de reducción se aplican cuando la realidad que debe representarse es mucho más grande que el papel y tenemos que operar estas magnitudes con escalas que las proporcionen adecuadamente en las dimensiones del entorno gráfico. Estas escalas vienen expresadas por una razón en la que el numerador es más pequeño que el denominador (si dividiéramos numerador entre denominador, obtendríamos una cifra menor que la unidad). Normalmente, para facilitar los cálculos, el valor del numerador es uno. Sin embargo, el valor del denominador puede venir expresado como un número entero o como otra fracción, así que, en estos casos, conviene ser operativos y resolver invirtiendo los términos. Ejemplo: si tenemos 1/ 4/3, lo convertiríamos en ¾. Son escalas que se aplican en urbanismo, arquitectura, etc. Las escalas de ampliación se aplican cuando el objeto a representar es de pequeñas dimensiones y necesita ser representado de mayor tamaño para poder visualizarlo de manera legible y con todo detalle. En estos casos, el numerador será mayor que el denominador (la división de ambos términos daría como resultado una cifra mayor que la unidad). Son escalas que se aplican en el dibujo industrial, en microinformática, etc. El caso más singular de la aplicación de las escalas es la denominada escala natural, en la cual, la representación del dibujo se corresponde en medidas con la realidad. Como no aplicamos proporcionalidad alguna ( la escala sería 1:1), pues no señalamos la escala en el dibujo y sólo indicamos el texto “escala natural” para definirlo. Además de estas escalas, que bien podrían llamarse numéricas, tenemos una serie de escalas gráficas cuyas construcciones abordaremos más tarde.

�RECUERDA

Proporción es la conformidad de las partes con el todo o de los elementos entre sí. Igualdad de dos razones. Hay dos tipos: a.Directa:dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su razón permanece constante a/b=a’/b’=a’’/b’’….=k. b.Inversa: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto es constante a.b=a’.b’=a’’.b’’….=k Escala es la proporción que relaciona el tamaño de un dibujo con el de la realidad. Tipos: de reducción, de ampliación, natural.

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AENOR (Asociación Española de Normalización), establece en la NORMA UNE 1 026 83, una serie de indicaciones sobre las escalas. En primer lugar, recordemos que cuando elaboramos un plano de taller de un objeto, de un mecanismo, etc, la escala empleada en el dibujo debe ser indicada en el cajetín de rotulación, y la Norma especifica claramente que debe aparecer la palabra “escala” completa, sin abreviaturas, pudiéndose omitir sólo en aquellos casos en que no haya confusión alguna. Tras este término se indica la relación numérica que le corresponda al trazado, pudiendo hacerse de dos maneras: x/y o bien x:y si bien se prefiere (seguimos con la Norma), la segunda expresión. En aquellos casos en que sean necesarias varias escalas en un mismo dibujo, sólo se consigna la principal, mientras que las otras deben rotularse al lado de los trazados donde se hayan empleado. Además de esto, las cotas que pertenezcan a escalas secundarias, deberán llevar sus cifras subrayadas, así el ojo detecta la “anomalía”. Las cifras de cota se referirán a las dimensiones reales del objeto, nunca a las reducidas o ampliadas. Vamos a ver a continuación algunas de las escalas normalizadas más empleadas:

Fabricación e Instalaciones

Construcciones civiles

Topografía Urbanismo Dibujo Industrial

1:2,5 1:5 1:10 1:20 1:50 1:100 1:200

1:5 1:10 1:20 1:50 1:100 1:200 1:500 1:1000

1:100 1:200 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 1:10000 1:25000 1:50000

1:500 1:2000 1:5000 1:25000 1:50000

1:2 1:5 1:10 1:20 2:1 5:1 10:1 20:1 50:1 …..

2 NORMAS UNE SOBRE ESCALAS

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�RECUERDA

La UNE 1 026 83 establece una serie de indicaciones sobre las escalas: -se indica en el cajetín de rotulación del plano -se expresa “Escala x/y” o “Escala x:y” -en caso de emplearse más de una , se expresa la principal y las secundarias llevan la cifra de cota subrayada. -las cotas se refieren a las dimensiones reales del objeto. En el apartado nº1 del tema que nos ocupa, vimos la proporcionalidad, bien, pues ahora es momento de recordarlo para entender el Teorema de Thales. Dice lo siguiente: “Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos r y s, entonces, los

segmentos determinados por ellas son proporcionales”.

Observemos la gráfica:

Como vemos, las parejas de segmentos proporcionales son semejantes (obviamente) y es por ello que en la Homotecia, los pares de segmentos homotéticos son paralelos entre sí. Las aplicaciones del Teorema de Thales son muchas y consideradas de gran importancia dentro de los trazados geométricos por la cantidad de problemas que resuelven. Veamos a continuación algunas de ellas: 1.División del segmento en partes iguales 2.División del segmento en partes proporcionales 3.Segmento cuarto proporcional de otros tres dados 4.Segmento tercero proporcional de otros dos dados 5.Proporción o sección aurea 6:División de la circunferencia en partes iguales

3 APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES

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1.División del segmento en partes iguales: Si queremos dividir un segmento cualquiera AB en partes iguales, por ejemplo cinco, trazaremos por un extremo de dicho segmento una semirrecta cualquiera sobre la que vamos a trazar con compás cinco partes iguales (de la medida que queramos). A continuación ,unimos la última división con el extremo B del segmento mediante una recta, y desde las restantes divisiones trazamos paralelas a esta primera hasta cortar al segmento en el número de partes indicado.

2. División del segmento en partes proporcionales: Si tenemos que dividir un segmento dado en partes proporcionales a otros segmentos dados, debemos trazar una semirrecta por un extremo de dicho segmento donde llevaremos las magnitudes propuestas. A continuación aplicamos Tales como vemos en la figura adjunta, y veremos que se cumple: a/a

1 = b/b

1 = c/c

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3. Segmento cuarto proporcional: Dados tres segmentos a, b y c, llamamos segmento cuarto proporcional al segmento que verifica lo siguiente:

a/b = c/d, en el cual d es el cuarto término de dicha proporción (el que no conocemos). Para hallarlo gráficamente haremos lo siguiente:

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trazamos dos semirrectas de origen común , y sobre una de ellas llevamos los numeradores de la proporción, y sobre la otra los denominadores (sólo el b en este caso, puesto que d no lo conocemos). Aplicando Thales diremos que a es a b como c es a d, o lo que es igual, unimos el extremo de a con el de b y por c trazamos una recta paralela a la anterior.

4. Segmento tercero proporcional: Se trata de hallar el tercer término de una proporción de la cual conocemos los dos primeros, verificando que: a/b = b/c, siendo c nuestra incógnita. Análogamente a lo realizado en el caso anterior, llevamos sobre dos semirrectas de origen común las magnitudes a y b. Aplicamos Thales de la forma que vemos en la figura y obtenemos c.

5. Proporción Aurea: Si establecemos una tercera proporcional entre los segmentos a+b, a y b, siendo a mayor que b, tenemos: (a+b)/a = a/b

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se verifica que esto es igual a φ, es decir (1+√5)/2, o sea: 1'618033....., pues bien, éste es el

llamado número de oro en la Antigua Grecia, ya que estaba presente en las proporciones de los seres naturales y en las obras de arte. Operando comprobamos lo siguiente: (a+b)b = a² ab+b² = a² a²-ab-b² = 0 a= b+√(b²+4b²)/2 = b (1+√5)/2 a/b = φ = 1+√5/2 Cuando un segmento está dividido en dos partes a y b que cumplen que a/b = φ, decimos que estamos ante una segmentación aurea. Tenemos dos construcciones que nos permiten realizar dicha segmentación: 1. De aplicación cuando el dato es a 2. De aplicación cuando el dato es a+b 1. En este caso, tenemos a como dato y queremos hallar el segmento b que cumpla que a/b=φ. Realizamos la siguiente construcción: - dibujamos un cuadrado de lado = a y trazamos la mediatriz de su base. - trazamos la diagonal de uno de los rectángulos en los que hemos dividido el cuadrado - trazamos con ella como radio, un arco de centro O que corte a la prolongación del lado a obteniendo el punto C. así queda determinado el segmento aureo b.

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2. En el segundo caso tenemos a+b como dato y queremos hallar en él su segmentación aurea. Hacemos lo siguiente: - colocamos a+b y por un extremo de este segmento levantamos una perpendicular sobre la cual llevamos la magnitud a+b/2 (a modo de dos catetos de un triángulo rectángulo) - unimos los extremos de estos 'catetos' y obtenemos un segmento AE (hipotenusa) sobre el cual llevamos la medida EC (o lo que es igual a+b/2). Así obtenemos el punto G. Pues bien, la magnitud AG llevada sobre el cateto mayor nos va a determinar la segmentación aurea buscada: AB, BC. Por último, cuando los lados de un rectángulo cumplen que L/l=φ, decimos que es un rectángulo aureo. Desde luego es una aplicación del primer caso.

6. División de la circunferencia en partes iguales:

Hay un caso especial de “segmento tercero proporcional” en el sentido de que nos dan dos segmentos y hay que hallar un tercero que cumpla lo siguiente: a/c = c/b a y b son magnitudes conocidas y c es la incógnita. Como podemos intuir, no puede hallarse empleando Thales de la manera que hemos venido haciendo, ya que c está situado en los medios de la proporción. De ahí que la construcción se llame “Segmento medio proporcional”.

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Vamos a recurrir al Teorema de Euclides. Teorema: “la altura de un triángulo rectángulo respecto de la hipotenusa, es la media proporcional

de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa”, o también, “en un triángulo rectángulo un

cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella”.

En el primer enunciado del teorema se trabaja con la altura, así que lo llamaremos Teorema de la altura , mientras que en el segundo se trabaja con el cateto, así que será llamado Teorema del cateto. Veamos la construcción gráfica de ambos teoremas: 1.Teorema de la altura.- Dados a y b, hallamos c (segmento medio proporcional): -colocamos los dos segmentos sumados (a+b), que en realidad será la hipotenusa de un triángulo rectángulo que trazamos gracias al arco capaz de 90º (la semicircunferencia). - desde el punto de unión de a y b dibujamos una perpendicular a ambos que corta al arco en v, pues bien, si unimos dicho punto con los extremos de a+b tendremos el triángulo rectángulo de altura c (magnitud que buscábamos). 2. Teorema del cateto.- - En esta ocasión dibujamos a y b yuxtapuestos con un extremo en común (véase la figura) - trazamos el arco capaz de 90º, cuya base es la hipotenusa del triángulo rectángulo y cuyo vértice opuesto está en la intersección del arco con la recta perpendicular trazada desde el extremo de a. - el cateto c de dicho triángulo es la magnitud buscada.

Esta construcción, la del segmento medio proporcional, es de gran ayuda en la mayor parte de los ejercicios de equivalencia como por ejemplo: -”Construcción de un cuadrado equivalente a un triángulo dado” -”Construcción de un cuadrado equivalente a un círculo dado”

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-”Construcción del círculo equivalente a una elipse dada por sus ejes”, etc. Incluso nos sirve de ayuda para hallar magnitudes expresadas de la siguiente manera : √6, por ejemplo, que sería el segmento medio proporcional de otros dos que midan 6 y 1,o bien de dos que midan 3 y 2.

Supongamos que el segmento a mide 6cms, el segmento b mide 3cms, el segmento c mide 2cms, y el u es la unidad de medida, así que mide 1cm. Pues bien, en el primer caso buscamos el segmento medio proporcional de 6 y 1, en el segundo caso el de 3 y 2. El resultado será idéntico porque 6.1=3.2.

Veamos a continuación unos ejercicios de aplicación: 1. Dibujar el segmento a², siendo n un segmento dado y u la unidad de medida empleada. 2. Dibujar un segmento c igual al producto a.b, considerando u como unidad de medida. 3.Trazar la recta que corta a las rectas dadas r y s pasando por el punto P, de modo que éste sea el punto medio del segmento determinado. 4. Trazar una cuerda de la circunferencia dada tal que corte a los dos radios dibujados determinando tres segmentos idénticos. 5.Hallar la figura homotética de otra dada siendo la razón k de semejanza m/n.

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Ejercicio nº1. Ejercicio nº2.

Ejercicio nº3. Ejercicio nº4

Ejercicio nº5

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�RECUERDA

Teorema De Thales: si dos rectas a y b son paralelas y cortan a otras dos r y s, entonces, los segmentos determinados por ellas son proporcionales. Las aplicaciones más comunes son las siguientes: -división del segmento en partes iguales -división del segmento en partes proporcionales -segmento cuarto proporcional de otros tres: a/b=c/d -segmento tercero proporcional de otros dos: a/b=b/d -sección aurea: (a+b)/a=a/b -división de la circunferencia en partes iguales. Además de esto, nos encontramos con el caso especial de “tercero proporcional” en que la incógnita aparece en los medios de la proporción, de ahí el nombre de “segmento medio proporcional” en el cual no se aplica Thales sino Euclides (Teorema del cateto, teorema de la

altura). Responde a la forma a/b=b/c, o lo que es igual: b2

=√a.c. Es de vital importancia en los casos de figuras equivalentes. Una Escala Gráfica, como dicen Gonzáles y Palencia, es un segmento representativo de la unidad de medida dibujado a escala. Casi siempre, dicho segmento se divide en diez partes iguales representando los decímetros. Para obtener su magnitud, se reduce el quebrado de la escala a número decimal, dividiendo su numerador entre su denominador. Por ejemplo, en una escala 1:4, indica que 0,25 metros en el dibujo representan un metro lineal de la realidad, luego la escala gráfica se construirá con un segmento de 25 centímetros para representar el metro. Como esta magnitud es grande, generalmente se dibuja solamente una parte del metro, por ejemplo un centímetro, que vendrá dado por una longitud de 2,5 centímetros. En el caso de que la escala viniera expresada por dos números distintos a la unidad, la escala gráfica se obtiene aplicando Thales, es decir, en la proporcionalidad de segmentos. Veamos un ejemplo:

4 CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE ESCALA Y CONTRAESCALA: ESCA LAS

VOLANTES

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Representamos la escala 5/7. Dibujamos un segmento de 5 centímetros que dividimos en 7 partes iguales numeradas que van a suponer los centímetros en la escala dada. Es conveniente representar, además, la contraescala, que subdivide una unidad en otras diez partes iguales y que supondrán las décimas de las medidas del dibujo. Esto es necesario porque no siempre vamos a tener medidas enteras, sino que pueden llevar decimales (milímetros). La forma de medir una magnitud de, por ejemplo, 36 milímetros, sería poner la punta del compás en el número 3 y abrir hasta la sexta división de la contraescala (ordenadas éstas a partir del cero). Esta es la manera de realizar una escala volante, que nos facilita la tarea a la hora de efectuar un plano de taller. Evita el que tengamos que estar haciendo sucesivos cálculos de qué magnitud debe tener en el dibujo una pieza a la que se le aplica una escala determinada. Además, ayuda a evitar acumulación de errores derivados de las décimas que no podemos medir de forma exacta con la regla. En el mercado encontramos reglas que tienen ya aplicadas las escalas normalizadas más comunes en dibujo industrial, sin embargo conviene recordar cómo podemos construirnos la nuestra propia. En este sentido veamos a continuación el triángulo universal de escalas.

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Las escalas más sencillas se pueden obtener por medio de un triángulo, que puede ser equilátero de diez centímetros de lado, o un triángulo rectángulo isósceles de catetos diez centímetros también. Por otro lado, tenemos la escala de transversales, en la cual se pueden apreciar las décimas partes de la unidad tomadas en la contraescala.

�RECUERDA

Una escala gráfica es un segmento representativo de la unidad de medida dibujado a escala. La contraescala subdivide una unidad de la escala en diez partes iguales, y nos sirve para obtener mediciones más exactas en el dibujo. A la hora de realizar un plano de taller necesitaremos una escala volante para evitar cálculos matemáticos acerca de las medidas que hayan de reducirse o ampliarse, según sea el caso. Los tipos de escalas más frecuentes son: triángulo universal de escalas, ya sea triángulo rectángulo isósceles o triángulo equilátero.

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5.1. La escala en el arte A continuación veremos unos pocos ejemplos del empleo de la escala en la Historia del Arte. Conscientes de que son muchísimos los que pudiéramos encontrarnos, en este tema no intentamos estudiarlos (no es nuestro objeto), sino exponer de una manera breve y sencilla los más relevantes. Para empezar, pensemos en la Grecia Clásica, donde el canon regía la mayor parte de las obras, tanto arquitectónicas como las escultóricas. En Arquitectura tenemos, como no podía ser de otra manera, el ejemplo del Partenón, en cuya fachada reina el orden, la simetría y un sistema de proporciones derivadas de la aplicación de una unidad de medida o módulo o canon constituido por el diámetro del fuste de la columna. En Escultura el canon es la cabeza del hombre representado que debe 'repetirse' una serie de veces a lo largo del cuerpo (por ejemplo ocho).

Canon Doríforo Canon Apoxiomenos

A continuación, citaremos una etapa histórica en la cual la escala tiene un valor sintáctico muy peculiar, y es la Edad Media. En cualquier ejemplo que tomemos, observaremos que el uso de las escalas aplicadas a los elementos representados en Pintura o Escultura, no se trata de una intención realista de trasladar valores del contexto e introducirlos de forma semejante en la pieza. Al contrario, los artistas creaban un sistema de referencias propio dentro de su obra alejado de la realidad, un sistema con fundamentos simbólicos.

5 ÁMBITOS DE APLICACIÓN

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Al contemplar una portada de una Iglesia románica, o las pinturas del ábside, veremos como existe una jerarquía dictada por el tamaño de unos elementos respecto a otros, siendo el elemento de mayor tamaño el Pantócrator y el que centra toda la composición. En el Renacimiento, el hombre es la medida de todas las cosas. La proporción aurea, que ya se empleaba en la etapa clásica, aparece en la mayor parte de las construcciones, como por ejemplo en Santa María Novella de Alberti.

En el siglo XX, los ejemplos de alteraciones de los valores de las escalas respecto a sus referentes en la naturaleza son muy abundantes.

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Este recurso expresivo marcó el arte de artistas como Warhol, Lienchtenstein aplicando una escala monumental a los contenidos de las viñetas de los cómics americanos (obras de 4 metros cuadrados...). Otros artistas como Oldenburg o Christo, manejan las escalas en relación con el contexto natural en el que se hallan, una ciudad o un paisaje, haciendo de llo el valor expresivo de la pieza. Por ejemplo, las islas de 6.500 hectáreas que “embaló” el segundo de ellos en color de rosa.

5.2.Escala en el diseño industrial El diseño industrial es un entorno más o menos tecnificado en función del tipo de objetos a los que se aplique. Los códigos y aplicaciones del lenguaje del dibujo se ven entonces modificados de igual manera. La microinformática o el diseño de grandes máquinas o aparatos requiere de la intervención, no sólo del diseñador especializado, sino de un completo equipo de ingenieros. El diseño de objetos de uso común sencillos, precisa de unos códigos menos elaborados, así como de una cantidad menor de especificaciones técnicas para transmitir las condiciones de fabricación de la pieza. En estos planos es frecuente encontrar dibujos a escala (ya sean de ampliación o reducción). Hay otro tipo de planos industriales en los que podemos encontrar el empleo de varias escalas diferentes. En las aplicaciones de la microinformática, las escalas son de ampliación, algunas de ellas con parámetros bastantes considerables dado el tamaño de las piezas en la realidad.

La antropometría y la ergonomía son ciencias fundamentales en el diseño de objetos y mecanismos, haciendo que todos ellos cumplan las condiciones de funcionalidad que constituyen la base de un proyecto determinado. En este sentido debemos recordar a Le Corbusier, que fue capaz de definir un nuevo modelo para habilitar las proporciones de los objetos, del mobiliario y los espacios del hombre, creando un arquetipo llamado “modulor”.

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La ergonomía dicta la escala en función del usuario, se definen las medidas del cómo va a ser empleado para proporcionarse, lo más fielmente posible, a estas magnitudes reales, precisándose entornos de escalas naturales. Por ejemplo, para fabricar el teclado de un ordenador, ha sido necesario definir los mínimos movimientos de cada una de las dos manos y cada uno de sus dedos para obtener el máximo rendimiento. Al hablar de diseño industrial, debemos fijarnos, también, en las escala en la naturaleza. El origen del sistema de proporciones ideado por el hombre y su capacidad de comprender abstracciones a partir del valor de una escala, se encuentra en el propio hecho natural sobre el crecimiento y las estructuras implícitas en el ser humano.

5.3Otros campos de aplicación Aunque, como sabemos, todos los campos emplean sistemas de representación y precisan el uso de escalas, existen una serie de diferencias sobre los usos que se dan en uno u otro entorno. En la ingeniería civil, la arquitectura, la topografía y el urbanismo, las escalas empleadas son siempre de reducción. Veamos algunos ejemplos de representaciones a escala.

Plano urbanístico Microinformática

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�RECUERDA

Los ámbitos de aplicación de las escalas son: el Diseño Industrial, el Arquitectónico, el Urbanístico, Topográfico, Ingeniería Civil, etc. Pero quizás, donde más ejemplos encontramos es en la Historia del Arte, ya que desde la época Clásica vemos la proporción aurea en el Partenón, por ejemplo. el canon en la escultura, etc. La aplicación de la escala en las realizaciones humanas puede tener no sólo finalidad estética, sino también funcional (para ello el diseñador se ayuda de la ergonomía y la antropometría), simbólica, religiosa, política, etc.

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El empleo de las escalas viene de la necesidad de dibujar objetos, mecanismos, edificios, etc, cuyo tamaño hace imposible poder trazarlos a escala natural. La diversidad de objetos que se proyectan es tal que hay diferentes tipos de escalas normalizadas, tanto de ampliación como de reducción. Los campos de aplicación de las escalas son muchos (Arquitectura, Urbanismo, Dibujo Industrial…), pero el tema de la proporcionalidad es, además, importante para nosotros porque constituye una herramienta fundamental en numerosos ejercicios de geometría. Así por ejemplo, la proporcionalidad directa es la base de la semejanza y por tanto de la Homotecia. La proporcionalidad inversa, por su parte, lo es de la Potencia y la Inversión, que nos ayudan a resolver multitud de problemas de tangencias.

• TRAZADO GEOMÉTRICO , González y Palencia, Ed. Propios autores. Es un manual de estudio obligado en la geometría, podría decirse que es un clásico que lleva ya muchas ediciones. Cuenta con numerosos ejercicios con explicaciones muy claras, ya que además del procedimiento explica el porqué del método.

• CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS , Izquierdo Asensi. Lo mejor: los problemas de semejanza y particiones proporcionales.

• DIBUJO TÉCNICO , Martínez Campos. Menos extenso que los anteriores, expone lo más representativo de las construcciones geométricas y sus relaciones.

• FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS , Víctor Villoria San Miguel, Ed. Dossat. Numerosos ejemplos tras las explicaciones teóricas.

• CURSO DE DIBUJO GEOMÉTRICO Y CROQUIZACIÓN , Rodríguez de Abajo, Ed. Marfil. Buen contenido, pero gráficas un poco antiguas.

• FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA , Manuel Sánchez Sordo. Cuenta con interesantes razonamientos matemáticos que nos ayudan a entender mejor el porqué de las soluciones gráficas.

� CONCLUSIÓN

� BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

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• www.tododibujo.com. Plataforma on line de enseñanza/aprendizaje de dibujo técnico

• www.dibujotecnico.com tiene foros, chat, tutoriales, publicación de novedades…

• Miajas.com/dibujo.htm sobre todo para Bachillerato

• www.educared.com

• Blog.educastur.es/luciaag

• Trazoide.com

• Geogebra. Programa libre con el que se han realizado la mayor parte de las gráficas del tema.

AENOR: Asociación Española de Normalización y Certificación creada en 1986. Su actividad contribuye a mejorar la calidad y competitividad de las empresas, sus productos y servicios. Desarrolla normas técnicas y certificaciones llamadas UNE, editadas por comités técnicos.

CANON: Término de origen griego que significa “regla” o “modelo”. En Arte designa el conjunto de las relaciones que regulan las diferentes proporciones de las partes de una obra.

CONTRAESCALA: Divide la unidad de la escala en diez partes iguales.

ESCALA: Relación matemática que existe entre las dimensiones reales y del dibujo que representa un objeto en el plano. Se designa en forma de fracción.

ESCALÍMETRO: Es una regla especial que contiene varias escalas normalizadas. Pueden ser planas o de sección triangular.

EUCLIDES: Matemático griego del 300 a.C., también llamado “padre de la geometría”. Su obra más famosa es “Los Elementos”, que contiene los principios de lo que llamamos Geometría euclidiana y que suponen los fundamentos de la enseñanza de las matemáticas.

HOMOTECIA: Transformación geométrica que produce figuras semejantes según una razón k que puede ser positiva o negativa. Si es positiva, los elementos homotéticos quedan al mismo lado del centro de homotecia. Si es negativa quedan uno a cada lado del centro de homotecia.

� WEBGRAFÍA

� GLOSARIO

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NÚMERO DE ORO: es un número irracional representado por la letra φ en honor a Fidias descubierto en la Antigüedad como relación o proporción entre segmentos. Esta proporción se encuentra tato en figuras geométricas como en la naturaleza y fue aplicada en numerosas obras de arte por considerarse generadora de belleza.

MODULOR: Sistema de medidas ideado por Le Corbusier basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el número de oro, para que se sirviese de medida de las partes de la arquitectura. De esta manera retomaba el ideal antiguo de establecer una relación directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre.

PLANO DE TALLER: Documento técnico que contiene los dibujos y medidas necesarias de una pieza o mecanismo para su posterior fabricación. Lleva signos convencionales y está realizado a escala.

POTENCIA: En la relación entre un punto y una circunferencia, llamamos potencia al producto k constante de los pares de segmentos que determinan las rectas trazadas desde él hasta cortar a la circunferencia.

PROPORCIÓN: Igualdad de dos razones (fracciones). Se expresa a/b=c/d, siendo a y d los extremos de la proporción y byc los medios.

PANTÓCRATOR: Es el Dios Padre omnipotente representado en majestad que suele presidir los ábsides de una iglesia o una fachada. Suele ir rodeado por la mandorla y “escoltado” por el tetramorfos (símbolos de los cuatro evangelistas: ángel de San Mateo, el toro de San Lucas, el león de San Marcos, y el águila de San Juan).

SEMEJANZA: Relación geométrica por la cual dos formas poligonales tienen ángulos idénticos y segmentos proporcionales, es decir, tienen igual forma y distinto tamaño.

THALES DE MILETO: Fue el primero de los siete sabios de Grecia, uno de los más grandes matemáticos de su época. Aportó importantes fundamentos de la geometría, como por ejemplo el teorema que lleva su nombre.

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1.PROPORCIONALIDAD Y ESCALAS. DEFINICIÓN Y TIPOS. Proporcionalidad.- Relación entre magnitudes. Igualdad de dos razones. Concepto equivalente al de semejanza cuando comparamos figuras geométricas. Hay dos tipos: a.Directa: las magnitudes varían de tal forma que su razón permanece constante. b.Inversa: las magnitudes varían de tal forma que su producto permanece constante. Escala.- Medio técnico que aplicamos al dibujo de un objeto cuando éste tiene un tamaño excesivo o muy pequeño como para poder representarlo de forma adecuada. Relaciona el tamaño del dibujo con el de la realidad. Tipos: por sus consecuencias (reducción, ampliación, natural), por su forma de definirse (numérica y gráfica).

2.NORMAS UNE. AENOR es la Asociación Española de Normalización y Certificación que en su norma UNE 1 026 83 recoge una serie de indicaciones sobre el uso de escalas en un plano de taller: -indicación de la escala en el cajetín -escala determinada en forma x/y x:y -en dibujos con muchas escalas se designa en el cajetín la principal, las secundarias llevan cifras subrayadas. 3.APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THALES. -División del segmento en partes iguales -División del segmento en partes proporcionales -Segmento cuarto proporcional -Segmento tercero proporcional -Sección aurea -División de la circunferencia en partes iguales.

4.CONSTRUCCIONES DE ESCALAS GRÁFICAS -Triángulo Universal de escalas -Contraescala -Escala volante

� ESQUEMA/RESUMEN

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5.AMBITOS DE APLICACIÓN. -Diseño industrial -Diseño arquitectónico -Urbanismo -Topografía -Artes: Arquitectura, Escultura, Pintura.

1.-CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO A PARTIR DEL LADO. 2.-APLICACIÓN DE LA SECCIÓN AUREA EN UNA PLANTA DE UN EDIFICIO, POR EJEMPLO CATEDRAL 3.-TRIÁNGULO EQUILÁTERO DE LADO √A, HOMOTÉTICO DE OTRO A’B’C’ DE RAZÓN 7/4

� CUESTIONES PARA EL REPASO

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1.-CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO A PARTIR DEL LADO. Solución: el lado del pentágono es la sección aurea de la diagonal.

2.-APLICACIÓN DE LA SECCIÓN AUREA EN UNA PLANTA DE UN EDIFICIO, POR EJEMPLO CATEDRAL Solución: rectángulo aureo.

PROPUESTAS DE SOLUCIÓN

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3.-TRIÁNGULO EQUILÁTERO DE LADO √A, HOMOTÉTICO DE OTRO A’B’C’ DE RAZÓN 7/4 Solución:

Supongamos que u es la unidad de medida. Para hallar √a aplicamos el teorema del Cateto (Euclides) y obtenemos el lado del triángulo que buscamos (L

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=√a).

Construimos dicho triángulo equilátero y le aplicamos una homotecia de elementos: -centro de homotecia O (arbitrario) -K (razón de homotecia): 7/4. Así pues, el segmento OC queda dividido en 4 partes, y el segmento OC’ en 7. Aplicamos Thales y obtenemos el triángulo semejante A’B’C’. Primero, debemos recordar que la lectura es el único medio de cumplir con el objetivo de informar sobre el tema, y de que el tribunal nos evalúe. No olvides que debes leer literalmente el discurso que has elaborado, y que el tribunal no lo ha leído previamente. Por tanto, entrena la lectura, graba y escucha la lectura que desarrollas, comprueba que permite acceder a la información que quieres transmitir, muestra siempre confianza y seguridad en ti mismo. Otros criterios que debes considerar son: - Facilitar siempre la comprensión del Tribunal, con una lectura expresiva oral, adecuada a

nuestra situación de opositores y a las características del texto expositivo específico. Debes partir de la consideración de que el Tribunal no conoce la estructura, ni los contenidos específicos del discurso que vas a leer, esto implica que debes enfatizar, subrayar con el tono de voz, con la velocidad lectora la presentación, los enlaces que estableces entre los elementos del discurso de este tema. Tu discurso debe resultar próximo al de un periodista en

� ORIENTACIONES PARA LA LECTURA DEL TEMA

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un informativo, la información tiene que ser compresiva para el tribunal. Se ordenado con las definiciones, características del desarrollo en cada ciclo…

- El Tribunal sólo puede escuchar una vez nuestro texto, el ritmo de nuestra lectura: ni demasiado rápido ni demasiado lento, pero debes ajustarlo a los contenidos del tema, en aquellos contenidos en los que conviene detenerse la lectura debe ser más pausada, esto ocurre cuando lees el paso de un elemento a otro (los enlaces), o la introducción y la conclusión, cuando identificas objetivos, contenidos o competencias relacionadas con el desarrollo evolutivo en esta etapa…

- Articular bien cada palabra, con variedad, con claridad y tono adecuado, entusiasta, dinámico; ni monótono ni exaltado. Si has formulado interrogantes en el discurso que elaboras sube la intensidad del tono, haz una pequeña pausa antes y después de formular el interrogante.

- Enfatizar mediante la pronunciación, la mirada, el gesto y el tono: títulos de cada apartado, ideas y conceptos importantes. El gesto, la mirada debe ser consecuente con el énfasis que se le ofrece al contenido que se está leyendo.

- No enfrascarse en la lectura, inclinándose sobre el texto, olvidándose del receptor: da sensación de inseguridad. Debemos levantar la vista y dirigirla a los distintos miembros del tribunal para mantener su atención pero sin perder el hilo conductor en la lectura del tema. Utiliza el paso de un elemento a otro del tema para levantar la mirada, los interrogantes que te has formulado. Intenta establecer el contacto visual cuando pasas de la introducción al desarrollo del tema, o cuando vas a leer un enlace, y antes y después de la conclusión.

- Controlar siempre la respiración: un ritmo adecuado, el respeto de pausas (punto seguido, punto aparte, apartados) nos evitará ahogos, pérdida de voz, etc. Si es necesario, puedes hacer una breve pausa para beber agua (es frecuente que los tribunales dispongan de agua en la mesa en la que el opositor realiza la lectura). No ocurre nada, si te equivocas en una palabra vuelve sobre su lectura con espontaneidad.

El uso de la escala volante: para los planos de taller El concepto de proporcionalidad directa nos ayudará en los ejercicios de Homotecia, semejanza… El concepto de proporcionalidad inversa nos ayudará a comprender y resolver ejercicios de Inversión y de Potencia, sobre todo en sus aplicaciones a los problemas de tangencias. El segmento medio proporcional es fundamental en los problemas de equivalencia.

� APLICACIÓN DE ESTE TEMA A LOS PRÁCTICOS

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PROPORCIONALIDAD Y ESCALAS. APLICACIÓN GEOMÉTRICA D EL TEOREMA DE THALES. ESCALAS VOLANTES. ÁMBITOS DE APLICACIÓN. La importancia del uso de las escalas radica en la necesidad de proyectar sobre el papel objetos, mecanismos, espacios que dadas sus dimensiones reales no podrían ser representados a escala natural. El uso de las escalas en los dibujos de estos objetos, permite ampliar o reducir sus medidas guardando las proporciones con el original. Para poder utilizar de forma adecuada estas escalas en los distintos campos del diseño, la Normalización se ha encargado de tipificarlas en una serie de normas que más tarde veremos. Como, efectivamente, el dibujo debe conservar las proporciones del objeto en la realidad, empezaremos nuestra exposición abordando el concepto de proporcionalidad, sus tipos y aplicaciones. En primer lugar, definimos proporción como “una relación entre magnitudes” o también como “la conformidad de las partes de un elemento con el todo o de las partes entre sí”. Sin embargo, la definición matemática que dice “proporción es la igualdad de dos razones”, es la que más vamos a emplear en los problemas de geometría que propondremos. Tomando esta última definición, se expresa de la siguiente forma: a/b=c/d, proporción en la cual a, b, c d, son los términos de la misma. Los términos a y d serían los extremos y las magnitudes b y c los medios. Nos encontramos dos tipos de proporción A.Directa B.Inversa En la primera de ellas: diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando varían de tal forma que su razón permanece constante, por ejemplo: a/b=a’/b’=a’’/b’’….=k. si aumenta una magnitud, la otra también lo hace y en la misma porporción. Es un tipo de proporcionalidad que encontramos en la Homotecia, de ahí que produzca figuras semejantes. En la segunda de ellas: diremos que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando varían de tal manera que su producto permanece constante, por ejemplo: a.b=a’.b’=a’’.b’’…=k. Si aumenta una magnitud, la otra disminuye. Es un tipo de proporcionalidad que encontramos en la Potencia y en la Inversión, herramientas muy útiles en la resolución de numerosos casos de tangencias.

� RESUMEN (Ejemplo de Redacción del Tema en la Oposición)

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Volviendo al concepto de Escala, diremos que se trata de un medio eficaz de aplicación en los planos de taller y que se expresa de la manera siguiente: “escala: medida del dibujo/medida de la realidad. Pueden clasificarse según¨ -sus consecuencias: de reducción, de ampliación, natural -según su forma de definirse: numérica y gráfica Una escala de reducción se aplica en diseños arquitectónicos, urbanismo, topografía, y suelen expresarse por una fracción cuyo numerador es menor que el denominador y casi siempre aquél suele ser igual a la unidad (para facilitar cálculos). Por su parte, una escala de ampliación se aplica en diseño industrial y microinformática, sobre todo, y queda expresada por una fracción de numerador mayor al denominador. Desde luego, el caso más singular es el de la escala natural, ya que al no llevar el dibujo aplicada ninguna proporción, no hace falta expresar en el plano la leyenda “escala 1:1”, sino poner simplemente “escala natural”. Todo esto está tipificado por AENOR (Asociación española de Normalización) que establece en la UNE 1 026 83 una serie de indicaciones como por ejemplo: -la escala debe indicarse en el cajetín de rotulación del plano de taller -debe aparecer el ´termino entero, sin abreviaturas y expresado de la siguiente forma x/y o bien x:y -cuando un plano lleva aplicadas más de una escala, debe consignarse en el cajetín la principal y las secundarias en el propio dibujo y con las cifras de cota subrayadas. -las cifras de cota deben expresar las dimensiones reales del objeto. Para elaborar una escala, debemos tener en cuenta que partimos de un segmento representativo de la misma, tenemos que hallar su magnitud dividiendo el numerador entre el denominador y una vez obtenido, repetir dicho segmento tantas veces como haga falta (suele ser el número de veces que indica la magnitud máxima del objeto). Además, una de esas unidades se subdivide en otras diez partes para obtener la contraescala. De esta manera, se obtiene una escala volante que nos permite obtener medidas decimales, es decir, que si necesitamos tomar una magnitud de 36 mm, por ejemplo, pues tomaríamos con el compás la medida 3 con la aguja y la punta en la sexta división de la contraescala tomada a partir del punto O. Las escalas más sencillas pueden lograrse por medio de un triángulo universal de escalas. Dicho triángulo puede se rectángulo isósceles o equilátero. Para construir un triángulo de escalas rectángulo isósceles operamos de la siguiente manera: -dibujamos los dos catetos de 10cm cada uno marcando dichas divisiones -desde el lado que nos sirve como base del triángulo, trazamos rectas que confluyen en el vértice opuesto

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-desde el lado que nos sirve como altura, trazamos paralelas a la base desde cada división. Entonces, si consideramos la paralela desde el punto 4, obtendremos sobre ella la escala $:10, o lo que es igual 1:2’5, si tomamos la paralela nº5, obtendremos la escala 5:10, o lo que es igual 1:2, y así sucesivamente. Desde luego, estas escalas pueden llevar su contraescala correspondiente si tomando una unidad a partir del punto O se subdivide en otras diez partes iguales. Esta es la manera de realizar una escala volante, que nos facilita la tarea a la hora de efectuar un plano de taller. Evita el que tengamos que estar haciendo sucesivos cálculos de qué magnitud debe tener en el dibujo una pieza a la que se le aplica una escala determinada. Además, ayuda a evitar acumulación de errores derivados de las décimas que no podemos medir de forma exacta con la regla. En el mercado encontramos reglas que tienen ya aplicadas las escalas normalizadas más comunes en dibujo industrial, reciben el nombre de escalímetros. Los escalímetros son reglas que portan en una misma pieza varios tipos de escalas y pueden tener sección triangular o planas. Volviendo al tema de la proporción con el que comenzamos el tema, diremos que para entender y aplicar este concepto, debemos tener en cuenta el llamado “teorema de Thales”, que enuncia lo siguiente: “si dos rectas a y b son paralelas y cortan a otras dos r y s, entonces, los segmentos

determinados por ellas son proporcionales”

Observemos nuestra gráfica nº1, en ella vemos que las parejas de segmentos proporcionales son paralelas entre sí. Este teorema que acabamos de enunciar tiene muchas implicaciones en el dibujo geométrico. De todas ellas, abordamos las siguientes: 1.División del segmento en partes iguales 2.División del segmento en partes proporcionales 3.Segmento cuarto proporcional 4.Segmento tercero proporcional 5.Sección aurea 6.División de la circunferencia en partes iguales En el primer caso: si queremos dividir un segmento AB en partes iguales, trazaremos en el extremo A de dicho segmento una semirrecta que portará ese número de partes iguales (llevadas con el compás por ejemplo). Desde la última división trazamos una recta que una a ésta con el extremo B, y paralelas a ella trazamos otras rectas por cada una de las divisiones restantes. Así quedará el segmento dividido en partes idénticas.

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En el segundo caso: queremos dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos dados a’,b’,c’. Como vemos en la gráfica nº2, procedemos de manera análoga al ejercicio anterior, pero en vez de llevar sobre la semirrecta las partes iguales, llevamos los segmentos dato. En el tercer caso: Dados tres segmentos a, b y c, llamamos segmento cuarto proporcional al segmento que verifica lo siguiente: a/b = c/d, en el cual d es el cuarto término de dicha proporción (el que no conocemos). Para hallarlo gráficamente haremos lo siguiente: trazamos dos semirrectas de origen común , y sobre una de ellas llevamos los numeradores de la proporción, y sobre la otra los denominadores (sólo el b en este caso, puesto que d no lo conocemos). Aplicando Thales diremos que a es a b como c es a d, o lo que es igual, unimos el extremo de a con el de b y por c trazamos una recta paralela a la anterior. En el caso del segmento tercero proporcional: Se trata de hallar el tercer término de una proporción de la cual conocemos los dos primeros, verificando que: a/b = b/c, siendo c nuestra incógnita. Análogamente a lo realizado en el caso anterior, llevamos sobre dos semirrectas de origen común las magnitudes a y b. Aplicamos Thales de la forma que vemos en la figura y obtenemos c. El caso más destacado por la cantidad de aplicaciones que ha tenido en las llamadas Grandes Artes (pintura, Arquitectura), es el de la sección aurea: podríamos decir que es un caso peculiar del segmento tercero porpoprcional. Si establecemos una tercera proporcional entre los segmentos a+b, a y b, siendo a mayor que b, tenemos:

(a+b)/a = a/b

se verifica que esto es igual a φ, es decir (1+√5)/2, o sea: 1'618033....., pues bien, éste es el

llamado número de oro en la Antigua Grecia, ya que estaba presente en las proporciones de los seres naturales y en las obras de arte. Cuando un segmento está dividido en dos partes a y b que cumplen que a/b = φ, decimos que estamos ante una segmentación aurea.

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Tenemos dos construcciones que nos permiten realizar dicha segmentación: 1. De aplicación cuando el dato es a 2. De aplicación cuando el dato es a+b 1. En este caso, tenemos a como dato y queremos hallar el segmento b que cumpla que a/b=φ. Realizamos la siguiente construcción: (gráficanº3) - dibujamos un cuadrado de lado = a y trazamos la mediatriz de su base. - trazamos la diagonal de uno de los rectángulos en los que hemos dividido el cuadrado - trazamos con ella como radio, un arco de centro O que corte a la prolongación del lado a obteniendo el punto C. así queda determinado el segmento aureo b. 2. En el segundo caso tenemos a+b como dato y queremos hallar en él su segmentación aurea. Hacemos lo siguiente: (gráfica nº4) - colocamos a+b y por un extremo de este segmento levantamos una perpendicular sobre la cual llevamos la magnitud a+b/2 (a modo de dos catetos de un triángulo rectángulo) - unimos los extremos de estos 'catetos' y obtenemos un segmento AE (hipotenusa) sobre el cual llevamos la medida EC (o lo que es igual a+b/2). Así obtenemos el punto G. Pues bien, la magnitud AG llevada sobre el cateto mayor nos va a determinar la segmentación aurea buscada: AB, BC. Como consecuencia de la construcción que hemos podido visualizar en la gráfica 3, podríamos obtener el llamado “rectángulo aureo” que podemos apreciar en la fachada del Partenón, o en la planta de la catedral gótica de Toledo, por ejemplo. A este rectángulo se le atribuía el poder de otorgar belleza y armonía a las construcciones que lo portaran. La última aplicación que vemos del teorema de Thales sería la de la división de la circunferencia en partes iguales, consistente en dividir el diámetro de la misma en ese número de partes idénticas y lanzar desde un punto P exterior a ella una serie de rectas que logren dividir a la curva en dichas partes. El punto desde el cual se trazan las rectas es el producido por la intersección de dos arcos de radio igual al diámetro de la curva tomados desde sus extremos. Dichas rectas pasarán por las partes del diámetro dividido , pero de forma alterna. La división en partes de la circunferencia nos sirve para construir polígonos de cualquier número de lados o polígonos estrellados. Para finalizar este bloque de nuestra exposición dedicado a la proporcionalidad, vamos a tratar la construcción de un caso especial de tercero proporcional que se llama segmento medio proporcional. Se expresa de la siguiente manera: a/c = c/b a y b son magnitudes conocidas y c es la incógnita, la cual se halla en los medios de la proporción.

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Como podemos intuir, no puede hallarse empleando Thales de la manera que hemos venido haciendo, por ello recurrimos a Euclides. Vamos a recurrir al Teorema de Euclides. Teorema: “la altura de un triángulo rectángulo respecto de la hipotenusa, es la media

proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa”, o también, “en un

triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre

ella”.

En el primer enunciado del teorema se trabaja con la altura, así que lo llamaremos Teorema de la altura , mientras que en el segundo se trabaja con el cateto, así que será llamado Teorema del cateto. Veamos la construcción gráfica de ambos teoremas: 1.Teorema de la altura.- (gráfico nº5) Dados a y b, hallamos c (segmento medio proporcional): -colocamos los dos segmentos sumados (a+b), que en realidad será la hipotenusa de un triángulo rectángulo que trazamos gracias al arco capaz de 90º (la semicircunferencia). - desde el punto de unión de a y b dibujamos una perpendicular a ambos que corta al arco en v, pues bien, si unimos dicho punto con los extremos de a+b tendremos el triángulo rectángulo de altura c (magnitud que buscábamos). 2. Teorema del cateto.- (veamos el gráfico nº6) - En esta ocasión dibujamos a y b yuxtapuestos con un extremo en común (véase la figura) - trazamos el arco capaz de 90º, cuya base es la hipotenusa del triángulo rectángulo y cuyo vértice opuesto está en la intersección del arco con la recta perpendicular trazada desde el extremo de a. - el cateto c de dicho triángulo es la magnitud buscada. Las aplicaciones de estas construcciones son muy importantes en los problemas de equivalencias o en ejercicios cuyos datos vienen expresados de la manera √x. No podemos concluir nuestra exposición sin tener en cuenta cuáles son los Ambitos de Aplicación de los casos de proporcionalidad vistos y de las escalas de las que hemos hablado. Para ello veremos unos pocos ejemplos del empleo de la escala en la Historia del Arte. Conscientes de que son muchísimos los que pudiéramos encontrarnos, en este tema no intentamos estudiarlos (no es nuestro objeto), sino exponer de una manera breve y sencilla los más relevantes.

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Para empezar, pensemos en la Grecia Clásica, donde el canon regía la mayor parte de las obras, tanto arquitectónicas como las escultóricas. En Arquitectura tenemos, como no podía ser de otra manera, el ejemplo del Partenón, en cuya fachada reina el orden, la simetría y un sistema de proporciones derivadas de la aplicación de una unidad de medida o módulo o canon constituido por el diámetro del fuste de la columna. En Escultura el canon es la cabeza del hombre representado que debe 'repetirse' una serie de veces a lo largo del cuerpo (por ejemplo ocho). A continuación, citaremos una etapa histórica en la cual la escala tiene un valor sintáctico muy peculiar, y es la Edad Media. En cualquier ejemplo que tomemos, observaremos que el uso de las escalas aplicadas a los elementos representados en Pintura o Escultura, no se trata de una intención realista de trasladar valores del contexto e introducirlos de forma semejante en la pieza. Al contrario, los artistas creaban un sistema de referencias propio dentro de su obra alejado de la realidad, un sistema con fundamentos simbólicos. En el siglo XX, los ejemplos de alteraciones de los valores de las escalas respecto a sus referentes en la naturaleza son muy abundantes. Este recurso expresivo marcó el arte de artistas como Warhol, Lienchtenstein aplicando una escala monumental a los contenidos de las viñetas de los cómics americanos (obras de 4 metros cuadrados...). Otros artistas como Oldenburg o Christo, manejan las escalas en relación con el contexto natural en el que se hallan, una ciudad o un paisaje, haciendo de ello el valor expresivo de la pieza. Por ejemplo, las islas de 6.500 hectáreas que “embaló” el segundo de ellos en color de rosa. Por otra parte tenemos: El diseño industrial. Abarca tanto la microinformática como el diseño de grandes máquinas o aparatos. Para ello requiere la intervención, no sólo del diseñador especializado, sino de un completo equipo de ingenieros. El diseño de objetos de uso común sencillos, precisa de unos códigos menos elaborados, así como de una cantidad menor de especificaciones técnicas para transmitir las condiciones de fabricación de la pieza. En estos planos es frecuente encontrar dibujos a escala (ya sean de ampliación o reducción), la cual viene indicada en dicho documento e incluso tendrá dibujada la escala gráfica para poder tomar las medidas del dibujo con el compás y poder “traducirlas” de forma adecuada. La antropometría y la ergonomía son ciencias fundamentales en el diseño de objetos y mecanismos, haciendo que todos ellos cumplan las condiciones de funcionalidad que constituyen la base de un proyecto determinado. En este sentido debemos recordar a Le Corbusier, que fue

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capaz de definir un nuevo modelo para habilitar las proporciones de los objetos, del mobiliario y los espacios del hombre, creando un arquetipo llamado “modulor”. La ergonomía dicta la escala en función del usuario, se definen las medidas del cómo va a ser empleado para proporcionarse, lo más fielmente posible, a estas magnitudes reales, precisándose entornos de escalas naturales. Por ejemplo, para fabricar el teclado de un ordenador, ha sido necesario definir los mínimos movimientos de cada una de las dos manos y cada uno de sus dedos para obtener el máximo rendimiento. Al hablar de diseño industrial, debemos fijarnos, también, en las escala en la naturaleza. El origen del sistema de proporciones ideado por el hombre y su capacidad de comprender abstracciones a partir del valor de una escala, se encuentra en el propio hecho natural sobre el crecimiento y las estructuras implícitas en el ser humano. Aunque, como sabemos, todos los campos de la actividad del diseño emplean sistemas de representación y precisan el uso de escalas, existen una serie de diferencias sobre los usos que se dan en uno u otro entorno. En la ingeniería civil, la arquitectura, la topografía y el urbanismo, las escalas empleadas son siempre de reducción y todas ellas están tipificadas y recogidas por la UNE en sus documentos técnicos. Como vemos, las escalas son una herramienta de trabajo sin la cual no sería posible la proyectación de objetos, mecanismos e incluso espacios habitables. Si algo no se puede proyectar, no se puede construir con garantías de éxito. Así que el origen de las soluciones a las necesidades que tiene el hombre estaría en la habilidad para proyectar sobre el papel una idea, y en este proceso juega un papel importante el buen uso de las escalas. Gráficas que acompañan nuestra exposición<. Nº1. “Teorema de Thales” Nº2. División del segmento en partes proporcionales Nº3. Segmento aureo conociendo a. Nº4. Sección aurea conociendo a+b Nº5. Teorema de la altura Nº6. Teorema del cateto

Educación Secundaria magister · En aquellos casos en que sean necesarias varias escalas en un...

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