Eje Neutroqq
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Cátedra de Estructuras Metálicas – Facultad de Ingeniería – UBA Profesor Ing. Eduardo Juárez Allen Análisis de la Posición del Eje Neutro en la Flexión de Vigas en Régimen Elástico y Plástico 1) Régimen Elástico Supondremos un giro relativo de la sección de la derecha respecto de la izquierda, con una variación lineal de deformaciones específicas, de acuerdo a la hipótesis de Navier-Bernoulli; a partir del mismo de ese diagrama, se construye el diagrama de tensiones normales s cuya ley de variación está expresada por: E s e = , de acuerdo a la ley de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, de Hooke. Ecuaciones de equivalencia para flexión simple: Para Esfuerzo Normal: F dF 0 s = ∫ (1) Para Momento Flexor: F y dF M s = ∫ (2) Del diagrama de tensiones normales, podemos establecer: E y por semenjanza deaquí y y 1 s e s s s s = = = Reemplazando en la (1): F F F dF y dF esindependientedelaintegral y dF 0 (3) s s s s = = ∫ ∫ ∫ Para que se cumpla esta condición debe ser: F y dF 0 = ∫ Esta integral es el momento estático de la superficie el cual, para que se anule, debe ser tomado respecto del eje baricéntrico principal de la sección: F n S . Este eje coincidirá con el eje neutro de la sección, para el cual: 0 s = . Reemplazando en la (2):
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Ctedra de Estructuras Metlicas Facultad de Ingeniera UBA Profesor Ing. Eduardo Jurez Allen
Anlisis de la Posicin del Eje Neutro en la Flexin de Vigas en Rgimen Elstico y Plstico
1) Rgimen Elstico Supondremos un giro relativo de la seccin de la derecha respecto de la izquierda, con una variacin lineal de deformaciones especficas, de acuerdo a la hiptesis de Navier-Bernoulli; a partir del mismo de ese diagrama, se construye el diagrama de tensiones normales s cuya ley de variacin est expresada por: Es e= , de acuerdo a la ley de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, de Hooke. Ecuaciones de equivalencia para flexin simple:
Para Esfuerzo Normal: F
dF 0s = (1) Para Momento Flexor:
F
y dF Ms = (2) Del diagrama de tensiones normales, podemos establecer:
E y por semenjanza
deaqu yy 1
s es s s s
=
= =
Reemplazando en la (1):
F F
F
dF y dF
esindependientedelaintegral
y dF 0 (3)
s s
s
s
=
=
Para que se cumpla esta condicin debe ser:
F
y dF 0 = Esta integral es el momento esttico de la superficie el cual, para que se anule, debe ser tomado respecto del eje baricntrico principal de la seccin: FnS . Este eje coincidir con el eje neutro de la seccin, para el cual: 0s = . Reemplazando en la (2):
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F F
2
F
y dF y dF
esindependientedelaintegral
y dF M ( 4 )
s s
s
s
=
=
La integral de la (4) es el momento de inercia de la seccin, respecto del eje baricntrico:
n
n
J M despejando
MJ y
sss
=
= =
La tensin s en una fibra ubicada a la distancia y, resultar igual a:
n
My
Js = (5)
En coincidencia con el eje neutro la tensin es: s = 0, lo cual se cumple para la (5) con y = 0, lo cual confirma lo indicado ms arriba, que el eje neutro coincide con el eje baricntrico principal, perpendicular al plano de cargas. Las ecuaciones de equivalencia para las componentes D y Z del par interno, podemos escribir:
o
o o
D
y
0
y yo o
0 0o o
Fon
o
D dF o bien,estableciendouna
nueva semejanza
D y dF y dFy y
D S (6)y
s
s s
s
=
= =
=
En la cual DFnS es el momento esttico respecto del eje neutro del rea comprimida de la seccin. De la misma manera, se puede escribir:
u
u u
Z
0
y
0 0u u
y yu u
Fun
u
Z dF obien,estableciendouna
nueva semejanza
Z y dF y dFy y
Z S (7)y
s
s s
s
=
= =
=
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Como la variacin de tensiones es lineal, resulta: o u
o uy ys s= (8)
La ecuacin de equilibrio interno de los esfuerzos normales, exige que:
D Z
D Z
F Fo un n
o u
F Fn n
D Z 0 reemplazando
S S lo cual implica,teniendoy y
encuentala(8)que
S S
s s- =
=
=
Lo cual, se puede interpretar como que el eje neutro, divide la seccin transversal en dos reas cuyos momentos estticos respecto al mismo, son iguales. La ecuacin de equilibrio interno de flexin, establece que debe ser satisfecha la condicin:
M D z 0- = (8) En la que z es el brazo elstico interno de la seccin. Reemplacemos el valor de D, dado por la (6) y despejamos z:
D
D Z
oFo n
o on
n nF Fn n
Mz y enlaque,teniendo
S
encuentala(5),es:
My resulta a s :
J
J Jz obien z
S S
s
s
=
=
= =
Es decir, el brazo elstico de la seccin z, est dado por el cociente entre el momento de inercia de la seccin Jn y el momento esttico del rea comprimida
DFnS o traccionada Z
FnS , respecto del eje principal baricntrico.
