Ejemplo del Metodo de Cross para Portico de 2 luces y 1 pisoEJEMPLO 2:APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LADETERMINACIÓN DE MOMENTOS EN UN PORTICO DE DOS LUCES Y UN PISO.

DatosPortico de Hormigón ArmadoVigas 20/50 Columnas 20/30Peso propio vigas q = 250kg/mlSobrecarga q= 300 kg/mlP = 150 kgL1= 3,00 m.L2 = 6,00 m.h= 3,00 m.

I.- ANTECEDENTES PREVIOS

1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto

Carga Uniformemente Distribuida (en este caso peso propio de vigas)Memp = q x (L)2 / 12

Memp(4-5) = 250 x (3)2 / 12 = 187,50 Kgm

Memp(5-6) = 250 x (6)2 / 12 = 750,00 Kgm

Carga con distribución triangular (Tramo viga 4-5)Memp = 5 x q x (L)2 / 96

Memp (4-5) = 5 x 300 x (3)2 / 96 = 140,63 Kgm

Momento Final Tramo 4-5  a la izquierda y derechaMemp(4-5) I – D = 187,50 + 140,63 = 328,13 Kgm

Cargas puntuales en los tercios de la luzMempt = 2 x P x L / 9

Memp(5-6) = 2 x 150 x 6 / 9 = 200,00 kgm

Momento Final Tramo 5-6 a la izquierda y derecha

Memp(5-6) I – D) = 750,00 + 200,00 = 950,00 Kgm

2.- Cálculo de Rigideces de las Barras  ( E x I / L )

Barras 1-4 y 3-6 (columnas de extremos)I = 20 x (30)3 / 12 = 45000  por lo que la rigidez será  K = 45000 / 300 = 150

Barra 2-5I = 30 x (20)3 / 12 = 20000               K = 20000/300 = 66,67

Barra 4-5I = 20 x (50)3 / 12 = 208333             K = 208333/ 300 = 694,44

Barra 5-6I = 20 x (50)3 / 12 = 208333             K= 208333/ 600 = 347,22

3.- Coeficientes de Distribución por Nudo

En los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene una rigidez infinita comparada con las barras que llegan a cada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución de las barras es:

CD(1-4) = CD(2-5) = CD(3-6) = 0

En los nudos 4 y 6 llegan dos barras de distinta rigidez por lo tanto el coeficiente de distribución para cada una de ellas es:

CD(4-5) = 694,44 / ( 694,44 + 66,7 ) = 0,91

CD( 4 -1) = 1 – 0,91 = 0,09   es lo mismo que hacer CD(4 -1) = 66,7 / (694,44 + 66,7) = 0,09

CD(6 -5) = 347,22 / ( 347,22 + 66,7) = 0,84

CD(6 -3) = 1 – 0,84 = 0,16

En el nudo 5 llegan tres barras de distintas rigideces por lo tanto el coeficiente de distribución para cada una de ellas es:

CD(5 -4) = 694,44 / (694,44 + 347,22 + 66,7) = 0,58

CD(5-6)= 347,22 /  (694,44 + 347,22 + 66,7) = 0,29

CD(5 -2) = 1 – 0,58 – 0,29 = 0,13     sale por diferencia al equilibrio del nudo en el valor 1; también se puede calcular como los anteriores es decir la rigidez de la barra dividido por la sumatoria de las rigideces de las barras que llegan al nudo.-

II.- DESARROLLOEn el caso de los pórticos, como en el de las vigas hiperestáticas analizadas en los ejemplos anteriores, el método de Cross nos proporciona el valor de los momentos en los nudos.Los momentos de tramo se obtiene en los respectivos tramos de viga, tal como en los otros casos, con las mismas herramientas utilizadas hasta ahora en una viga isostática cualquiera.

Nudo     1            4                  5             6     3Rama  1- 4   4 -1   4 -5   5 - 4   5 - 6   5 - 2    6 - 5   6 - 3    3 - 6CD 0,00 0,09 0,91 0,56 0,29 0,13 0,84 0,16 0,00Mto Per 0,00 0,00 -328,13 328,13 -950 0,00 950 0,00 0,00Reparto 0,00 29,63 298,60 360,68 180,34 80,85 -796 -152 0,00Traspaso 14,77 0 180,34 149,30 -399 0,00 90,17 0,00 -76,00Reparto 0,00 -16,23 -164,11 144,83 72,41 32,46 -75,74 -14,43 0,00Traspaso -8,12 0,00 72,41 -82,06 -37,87 0,00 36,21 0,00 -7,22Reparto 0,00 -6,51 -65,90 69,56 34,78 15,59 -30,41 -5,80 0,00Traspaso -3,26 0,00 34,78 -32,95 -15,21 0,00 17,39 0,00 -2,90Reparto 0,00 -3,13 -31,65 27,93 13,96 6,27 -14,61 -2,78 0,00Mto. Fin 3,39 3,66 -3,66 965,42 -1100 135,17 175,01 -175 -86,12

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