EjemplodePuntoFijo
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Ejemplos de Punto Fijo BAIN 053 M´ etodos Num´ ericos para Ingenier´ ıa Considere la funci´on f (x)= x 3 − 2. 1. Para resolver f (x) = 0, se propone el siguiente esquema iterativo de punto fijo x n+1 = g(x n )= x n − f (x n ) 3 Determine un intervalo I , que contenga una ra´ ız de f , tal que la sucesi´on x n+1 = g(x n ), a partir de cualquier x 0 ∈ I , sea convergente a dicha ra´ ız. Justifique. 2. Se sabe que si g es una funci´ on continua en el intervalo I y ∃k ∈]0, 1[ tal que |g (x)|≤ k. Entonces, dado el esquema iterativo, x n+1 = g(x n ) con x 0 ∈ I convergente al punto fijo ¯ x, se satisface que |x n − ¯ x|≤ k n 1 − k |x 1 − x 0 |. Considerando este resultado, determine el n´ umero de pasos suficientes para aproximar la soluci´on de f (x) = 0 con un error menor o igual a ε = 10 −5 utilizando el M´ etodo de Newton con x 0 =2 e I = [1, 2]. Desarrollo: 1. Buscamos un intervalo I de modo que |g (x)| < 1, ∀x ∈ I : g(x)= x − x 3 − 2 3 ⇒ g (x)=1 − x 2 |g (x)| < 1 ⇐⇒ |1 − x 2 | < 1 ⇐⇒ x ∈]0, √ 2[ En I =]0, √ 2[ se tiene que |g (x)| < 1, adem´as como f es una funci´ on continua, f (0) = −2 < 0y f ( √ 2) ≈ 0,8284 > 0; el TVM garantiza que ∃ ¯ x ∈]0, √ 2[ tal que f (¯ x) = 0. Por lo tanto, dado que el intervalo I =]0, √ 2[ contiene una ra´ ız de f y |g (x)| < 1, ∀x ∈ I , se tiene que el esquema iterativo de punto fijo planteado es convergente. 2. Para esta ecuaci´ on, el M´ etodo de Newton es x n+1 = x n − x 3 n − 2 3x 2 n = 2 3 x n + 1 x 2 n y la funci´ on de iteraci´on es g(x)= 2 3 x + 1 x 2 . Debemos encontrar k ∈]0, 1[ de modo que |g (x)|≤ k, ∀x ∈ [1, 2]: g (x)= 2 3 1 − 2 x 3 n , se observa que g (x) es una funci´ on creciente en [1, 2] su m´ ınimo es g (1) = − 2 3 y su m´ aximo g (2) = 1 2 , de donde |g (x)|≤ 2 3 , ∀x ∈ [1, 2]. Utilizando el resultado, se tiene que si k n 1 − k |x 1 − x 0 |≤ ε, entonces |x n − ¯ x|≤ ε. Tenemos que k = 2 3 , x 0 = 2, x 1 = 3 2 y ε = 10 −5 : ( 2 3 ) n 1 − 2 3 3 2 − 2 ≤ 10 −5 ⇒ k> 29,3944. De donde, el n´ umero de pasos suficientes para asegurar la convergencia del M´ etodo de Newton son 30.
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Ejemplos de Punto FijoBAIN 053 Metodos Numericos para Ingeniera
Considere la funcion f(x) = x3 2.1. Para resolver f(x) = 0, se propone el siguiente esquema iterativo de punto jo
xn+1 = g(xn) = xn f(xn)3
Determine un intervalo I, que contenga una raz de f , tal que la sucesion xn+1 = g(xn), a partirde cualquier x0 I, sea convergente a dicha raz. Justique.
2. Se sabe que si g es una funcion continua en el intervalo I y k ]0, 1[ tal que |g(x)| k. Entonces,dado el esquema iterativo, xn+1 = g(xn) con x0 I convergente al punto jo x, se satisface que
|xn x| kn
1 k |x1 x0|.
Considerando este resultado, determine el numero de pasos sucientes para aproximar la solucionde f(x) = 0 con un error menor o igual a = 105 utilizando el Metodo de Newton con x0 = 2e I = [1, 2].
Desarrollo:
1. Buscamos un intervalo I de modo que |g(x)| < 1, x I:
g(x) = x x3 23
g(x) = 1 x2
|g(x)| < 1 |1 x2| < 1 x ]0,
2[
En I =]0,2[ se tiene que |g(x)| < 1, ademas como f es una funcion continua, f(0) = 2 < 0 y
f(2) 0,8284 > 0; el TVM garantiza que x ]0,2[ tal que f(x) = 0.
Por lo tanto, dado que el intervalo I =]0,2[ contiene una raz de f y |g(x)| < 1, x I, se tiene
que el esquema iterativo de punto jo planteado es convergente.
2. Para esta ecuacion, el Metodo de Newton es
xn+1 = xn x3n 23x2n
=2
3
(xn +
1
x2n
)
y la funcion de iteracion es g(x) =2
3
(x+
1
x2
). Debemos encontrar k ]0, 1[ de modo que
|g(x)| k, x [1, 2]:
g(x) =2
3
(1 2
x3n
),
se observa que g(x) es una funcion creciente en [1, 2] su mnimo es g(1) = 23
y su maximo
g(2) =1
2, de donde
|g(x)| 23, x [1, 2].
Utilizando el resultado, se tiene que sikn
1 k |x1 x0| , entonces |xn x| .Tenemos que k = 23 , x0 = 2, x1 =
32 y = 10
5:
(23
)n1 23
32 2 105 k > 29,3944.
De donde, el numero de pasos sucientes para asegurar la convergencia del Metodo de Newtonson 30.
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Dada la siguiente ecuacion
x =1
2cos(x)
1. Muestre que la ecuacion tiene una solucion .
Desarrollo
x =1
2cos(x) x 1
2cos(x) = 0
Consideraremos
f(x) = x 12cos(x),
entonces tenemos que
f (x) = 1 +1
2sin(x)
f (x) 12
x Rlo que nos indica que f(x) es una funcion estrictamente creciente en R, ademas f(x) es continua.Como f(10) 9,5805 y f(10) 10,4195, entonces el T.V.M. garantiza que
x [10, 10] tq f(x) = 0
de donde se deduce que f(x) tiene una raiz .
2. Encuentre un intervalo I = [a, b] que contenga a y tal que para todo x0 I las iteracionesxn+1 =
12 cos(xn) converjan a .
DesarrolloTenemos x = g(x) donde
g(x) =cos(x)
2,
es claro que g(x) es continua, y
g(x) = sin(x)2
,
que tambien lo es.
|g(x)| < 1 | sin(x)|2
< 1 x R
I = [a, b] tal que f(a) f(b) < 03. Muestre como queda el sistema iterativo del mtodo de Newton y realice 3 iteraciones.
DesarrolloSi
f(x) = x 12cos(x),
tenemos que el sistema iterativo de Newton es
xn+1 = xn f(x)f (x)
entonces en nuestro caso nos queda el sistema iterativo de la siguiente forma
xn+1 = xn xn 12 cos(xn)1 + 12 sin(xn)
Y si x0 = 56 tenemos que
x0 = 56
x1 19,1780x2 4,2517x3 3,8515
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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.
Pauta Prueba Parcial No2BAIN 053 Metodos Numericos para Ingeniera
Noviembre 2012
1. Considere la ecuacionex 3x 2 = 0
Para resolverla se proponen los siguientes esquemas iterativos de punto jo
a) xn+1 = exn (2xn + 2) b) xn+1 = e
xn 23
c) xn+1 = ln(3xn + 2)
Comenzando con x0 = 1, estudie la convergencia de los tres metodos iterativos, denidosanteriormente, para aproximar la raz positiva de la ecuacion.Desarrollo:
Se tiene:f (x) = ex 3 f (x) = 0 x = ln 3
f (x) < 0 en ], ln 3[ f es decreciente en ], ln 3[.f (x) > 0 en ] ln 3,+[ f es creciente en ] ln 3,+[.f (x) = ex > 0 x R. Por lo tanto, la funcion f es convexa y x = ln 3 e y = 1 3 ln 3 es unmnimo global.Ademas f(0) = 1, por lo que la unica raz positiva de la funcion f esta en el intervalo] ln 3,+[.a) xn+1 = e
xn (2xn + 2)Desarrollo:
Se tiene: x = g(x) donde g(x) = ex (2x 2) g(x) = ex 2. Tanto g(x) como g(x)son continuas en todo R.
|g(x)| < 1 |ex 2| < 1 1 < ex 2 < 1 1 < ex < 3 0 < x < ln 3 x ]0, ln 3[Como ] ln 3,+[ tenemos que el sistema iterativo no converge.
b) xn+1 =exn 2
3Desarrollo:
Se tiene: x = g(x) donde g(x) =ex 2
3 g(x) = e
x
3. Tanto g(x) como g(x) son
continuas en todo R.
|g(x)| < 1 e
x
3
< 1 ex < 3 x < ln 3 x ], ln 3[Como ] ln 3,+[ tenemos que el sistema iterativo no converge.
c) xn+1 = ln(3xn + 2)Desarrollo:
Se tiene: x = g(x) donde g(x) = ln(3x + 2) g(x) = 33x+ 2
. g(x) es continua en] 23 ,+[ y g(x) es continua en R { 23}.Por lo tanto, g y g son continuas en
] 23 ,+[.|g(x)| < 1
33x+ 2 < 1 3|3x+ 2| < 1 |3x+ 2| > 3 3x+ 2 > 3 3x+ 2 < 2
x > 13 x < 5
3 x
],5
3
[]1
3,+
[ x
]1
3,+
[
Tanto x0 = 1 como ] ln 3,+[ estan contenidas en el intervalo]13 ,+
[. Por lo tanto,
el sistema iterativo xn+1 = ln(3xn + 2) converge a la raz .
Ejemplo de Punto FijoPauta-pp2
