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  • 1. Universidad Tecnolgica deTorren. Ejemplos de Distribuciones deprobabilidad. -Bernoulli - Binomial-Poisson -Normal-Gamma-T de student Lizbeth Martinez. 2A

2. -BERNOULLI1) Tenemos cartas que estn enumeradas del 1 al 9 Cul es laprobabilidad de sacar la carta 9? La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111 La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para as poder darlesun premio, pero la maestra los seleccionar con los ojos cerrados, Cuales la probabilidad de que salga el alumno numero 16? La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625 La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automvil, al momento desacar alguno de ellos que probabilidad hay para que pueda salirpremiado el boleto nmero 342? La probabilidad de que saque el boleto nmero 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292 3. La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el xito (p) seconsiderar sacar cruz. Valdr 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale(1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medir "nmero de cruces que salen en unlanzamiento", y slo existirn dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, esdecir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuir como una Bernoulli, ya que cumple todoslos requisitos. La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5 La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5 Distribucin BinomialEjemplo 1:Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidadde que el nmero 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50,1/6) y la probabilidad sera P(X=20):Ejemplo 2: 4. La ltima novela de un autor ha tenido un gran xito, hasta elpunto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupode 4 amigos son aficionados a la lectura:1. Cul es la probabilidad de que en el grupo hayan leido lanovela 2 personas?B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.22.Y cmo mximo 2?Ejemplo 3:Un agente de seguros vende plizas a cinco personas de lamisma edad y que disfrutan de buena salud. Segn las tablasactuales,la probabilidad de que una persona en estascondiciones viva 30 aos o ms es 2/3. Hllese la probabilidadde que, transcurridos 30 aos, vivan:1. Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/32.Al menos tres personas. 5. 3.Exactamente dos personas.Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular laprobabilidad de que salgan ms caras que cruces.B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5Ejemplo 5:La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4.Si dispara 10 veces cul es la probabilidad de que acier teexactamente en tres ocasiones? Cul es la probabilidad deque acierte por lo menos en una ocasin?B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4POISSON 6. Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos decontabilidad son muy inteligentes Calcular la probabilidad de quesi tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentesn= 100P=0.03 =100*0.03=3x=5Ejemplo2.- La produccin de televisores en Samsung trae asociadauna probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores condefectos.n=85P=0.02P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746X=4 =1.7Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan rusocalcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de elloshablan ruson=20P=0.15P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418X=3 =3Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresapresentan algn problema, si un auditor toma una muestra de 40registros Calcular probabilidad de que existan 5 registros conproblemas?n=40P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 7. =3.2X=5Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienendefecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azarCalcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08 =10 NORMAL1.- Una poblacin normal tieneuna media de 80 una desviacinestndar de 14.0 = 80 = 14 za) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 x 90)75 80 90Probabilidadacumulada.z = 0.7611z =0.3594p (75 x 90) = 0.7611 0.3594 = 0.4017b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 menor. 8. p(x 75) Probabilidad acumulada.z0.3594 p(x 75) = 0.3594 75 80 c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 x 70) Probabilidad acumulada.z=0.2389z=0.0367 55 70 80p (55 x 70) = 0.2389 0.0367= 0.20222.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes deprstamos en Down River Federal Savings tiene unadistribucin normal, una media de $70,000 y una desviacinestndar de $20,000. Esta maana se recibi una solicitud deprstamo. Cul es la probabilidadde que: = $70,00 =$20,0za) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x 80,000)Probabilidadacumulada. z = 0.6915 9. p(x 80,000) = 1 0.6915= 0.3085 70000 80000 b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 x 80,000)Probabilidadacumulada. z = 0.6915 z=0.4013 65000 70000 80000p(65,000 x 80,000) = 0.6915 0.4013 = 0.2902c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x 65,000) Probabilidad acumulada. z=0.4013p(x 65,000) = 1 0.4013 = 0.598765000 70000 3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una poblacinde ms de 250,000 habitantes, la media del tiempo deviaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo deviaje ms largo pertenece a la ciudad de Nueva York,donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga quela distribucin de los tiempos de viaje en la ciudad deNueva York tiene una distribucin de probabilidad normaly la desviacin estndar es de 7.5 minutos. = 38.3 min. 10. = 7.5 min.za) Qu porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? = 1,200 p( x 30) = 225 Probabilidad Probabilidadacumulada.acumulada.5% =.0500z0.1335 =p( x 30) = 0.1335 = 13.35%3038.3 b) Qu porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 x 35) Probabilidad acumulada. z = 0.3300 z = 0.133530 3538.3 p(30 x 35) = 0.3300 0.1335 = 0.1965 = 19.65%c) Qu porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 x 40)Probabilidadacumulada. z = 0.5910 z =0.13353038.3 p(30 x 40) = 0.5910 0.1335 = 0.4575 = 45.75%4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el rea deRichmond, Virginia, tiene una distribucin normal, con unamedia de $1,200 y una desviacin estndar de $225. Al 11. fabricante le gustara establecer niveles de inventario demanera que solo haya 5% de probabilidad de que seagoten las existencias. Dnde se deben establecer losniveles de inventario?z1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 z 1.655% 0.0500X= x = 1,571.251,571.2 55.-En 2004 y 2005, el costoz medioanualpara asistir a una universidad privada enEstados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribucinde los costos anuales se rigen por una distribucin deprobabilidad normal y que la desviacin estndar es de$4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadaspaga menos de Qu cantidad? 12. z1.64 95% 0.9500x = 27,462.X= 27,46 275 = 20,082 = 4,500Probabilidad Valoracumulada. de z95% = .9500= DISTRIBUCIN GAMMALa distribucin gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se est interesado en laocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable quemide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribucin gammacon parmetros a= nlambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribucin gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duracin deelementos fsicos (tiempo de vida).Esta distribucin presenta como propiedad interesante la falta de memoria. Por esta razn, esmuy utilizada en las teoras de la fiabilidad, mantenimiento y fenmenos de espera (por ejemplo enuna consulta mdica tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente).Ejercicio 1El nmero de pacientes que llegan a la consulta de un mdico sigue una distribucin dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de unahora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria tiempo que transcurre hasta la llegada delsegundo paciente sigue una distribucin Gamma (6, 2).Solucin:Clculo de probabilidades. Distribuciones continuas 13. Gamma (a p)a : Escala60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X=k] 0,0174Media0,3333Varianza 0,0556Moda0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en aos, de pacientes que son sometidos a una ciertaintervencin quirrgica en un hospital sigue una distribucin Gamma con parmetros a=0,81 yp=7,81, calclese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los aos a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Clculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X=k]0,1000Punto X14,2429Media9,6420Varianza 11,9037Moda8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 aos. 14. T DE STUDENTEjemplo 1: Un fabricante de focos afirma que su producto durar unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio estapersona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre t0.05 y t 0.05, l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Quconclusin deber l sacar de una muestra de 25 focos cuya duracinfue?:520 521511513 510 =500 h513 522500521 495 n=25496 488500502 512 Nc=90%510 510475505 521 X=505.36506 503487493 500 S=12.07SOLUCIN. t= x - SI n = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22Enseguida se muestra la distribucin del problema segn el grafico sig. 15. Ejemplo 2: