14. En la elaboracion de una bebida se desea garantizarque el porcentaje de CO2 (gas) por envase este entre2.5 y 3.0. Los siguientes datos fueron obtenidos delmonitoreo del proceso:

2.61 2.62 2.65 2.56 2.68 2.51 2.56 2.62 2.63 2.572.60 2.53 2.69 2.53 2.67 2.66 2.63 2.52 2.61 2.60 2.522.62 2.67 2.58 2.61 2.64 2.49 2.58 2.61 2.53 2.53 2.572.66 2.51 2.57 2.55 2.57 2.56 2.52 2.58 2.64 2.592.57 2.58 2.52 2.61 2.55 2.55 2.73 2.51 2.61 2.71 2.642.59 2.60 2.64 2.56 2.60 2.57 2.48 2.60 2.61 2.55 2.662.69 2.56 2.64 2.67

a) Realice un analisis exploratorio de estos datos(obtenga un histograma y vea el comportamientosde los datos obtenidos).

Estadísticas descriptivas: porcentaje CO2

Error estándar de

Variable N N* Media la media Desv.Est. Mínimo Q1 Medianaporcentaje CO2 68 0 2.5934 0.00678 0.0559 2.4800 2.5525 2.5950

Variable Q3 Máximoporcentaje CO2 2.6375 2.7300

b) Estime con una confi anza de 95%, .cual es el CO2

promedio por envase?

T de una muestra: porcentaje CO2

Error estándar deVariable N Media Desv.Est. la media IC de 95%porcentaje CO2 68 2.59338 0.05592 0.00678 (2.57985; 2.60692

Medianaporcentaje CO2 68 0 2.5934 0.00678 0.0559 2.4800 2.5525 2.5950

A un nivel de confianza del 95% La resistencia promedio de los envases va de 2.6069% como maximo y 2.5798% como minimo.

c) Se supone que debe ser igual a 2.75. Dada laevidencia, .es posible rechazar tal supuesto?

Prueba de hipótesisH0: u=2.75H1 u≠2.75α=0.05

T de una muestra: porcentaje CO2

Prueba de mu = 2.75 vs. no = 2.75

Error estándar deVariable N Media Desv.Est. la media IC de 95% Tporcentaje CO2 68 2.59338 0.05592 0.00678 (2.57985; 2.60692) -23.09

Variable Pporcentaje CO2 0.000

p=0.000<0.05 Rechazo Ho

Al nivel de significancia del 5% el porcentaje promedio de CO2 no es de 2.75.

d) Con los datos anteriores, estime con una confi anzade 95% la desviacion estandar del proceso.

Valor de p=0.15>0.05 Si cumple con la prueba de normalidad.

Prueba e IC para una varianza: porcentaje CO2

Método

El método de chi-cuadrada sólo se utiliza para la distribución normal.El método de Bonett se utiliza para cualquier distribución continua.

Estadísticas

Variable N Desv.Est. Varianzaporcentaje CO2 68 0.0559 0.00313

Intervalos de confianza de 95%

IC paraVariable Método Desv.Est. IC para varianzaporcentaje CO2 Chi-cuadrada (0.0478; 0.0673) (0.00229; 0.00453) Bonett (0.0487; 0.0661) (0.00237; 0.00437)

A un nivel de confianza del 95% la dispersión de los datos respecto a la media va de 0.0478% como maximo y 0.0661% como minimo

e) De los datos muestrales se observa que el minimoes 2.48 y el maximo 2.73, .por que el intervaloobtenido en el inciso b) tiene menor amplitud?

Debido a que la desviación es muy pequeña.

15. Una caracteristica importante en la calidad de la lechede vaca es la concentracion de grasa. En una industriaen particular se fi jo como estandar minimo delproducto que se recibe directamente de los establoslecheros sea de 3.0%. Por medio de 40 muestreos yevaluaciones en cierta epoca del ano se obtuvo queX–3.2 y S = 0.3.

a) Estime con una confi anza de 90% el contenidopromedio de grasa poblacional.

Z de una muestra

La desviación estándar supuesta = 0.3

Error estándar de la N Media media IC de 90%40 3.2000 0.0474 (3.1220; 3.2780)

A un nivel de confianza del 90% el procentaje de grasa promedio va de 3.2799% como maximo y 3.1201% como minimo

b) .Cual es el error maximo de estimacion para lamedia? .Por que?

Error= 7.8% porque la desviación estándar es mas pequeña.

c) Si se quiere estimar la media con un error maximode 0.05, .que tamano de muestra se requiere?

error=5%=1.96 0,3√n

n=139Se requiere 139 unidades de tamañp de muestra.

d) Estime con una confi anza de 95%, .cual es la desviacionestandar poblacional?

Grados de libertad (n-1)Tablas Lim superior= 58.17006                 Lim superior=0.25Chi, Z  Lim inferior= 23.6543                      Lim inferior=0.34

e) .Que puede decir acerca de la cantidad minima ymaxima de grasa en la leche? .Es posible garantizarcon sufi ciente confi anza que la leche tiene mas de3.0% de grasa? Sugerencia: aplique la regla empirica.

De acuerdo a los resultados del primer inciso se plantea la garantía que contiene mas de 3.0% de grasa contenida en la leche. Los intervalos que nos muestra la campana serán de 3.12 a 3.28 de acuerdo a los datos.

16. En la fabricacion de discos compactos una variable deinteres es la densidad minima (grosor) de la capa demetal, la cual no debe ser menor de 1.5 micras. Porexperiencia se sabe que la densidad minima del metalcasi siempre ocurre en los radios 24 y 57, aunque enel metodo actual tambien se miden los radios 32, 40y 48. Se realizan siete lecturas en cada radio, lo cualda un total de 35 lecturas, de las cuales solo se usa laminima. A continuacion se presenta una muestra historicade 18 densidades minimas:1.81, 1.97, 1.93, 1.97, 1.85, 1.99, 1.95, 1.93, 1.85, 1.87,1.98, 1.93, 1.96, 2.02, 2.07, 1.92, 1.99, 1.93.

a) Argumente en terminos estadisticos si las densidadesminimas individuales cumplen con la especifi -cacion de 1.5 micras. Sugerencia: aplique la reglaempirica.

Estadísticas descriptivas: densidades (grosor)

Error estándar de laVariable N N* Media media Desv.Est. Mínimo Q1densidades (grosor) 18 0 1.9400 0.0152 0.0646 1.8100 1.9075

Variable Mediana Q3 Máximodensidades (grosor) 1.9400 1.9825 2.0700

Aplicando LA REGLA IMPIRICA: 1.94+3(0.0646)=2.13381.94-3(0.0646)= 1.7462Por lo tanto no cumple con las especificaciones.b) Encuentre un intervalo de confi anza de 99% parala media de la densidad minima.

T de una muestra: densidades (grosor)

Error estándar de laVariable N Media Desv.Est. media IC de 99%densidades (grosor) 18 1.9400 0.0646 0.0152 (1.8959; 1.9841)

A un nivel de confianza del 95% Las densidades promedio de los discos promedio va de 1.8959 micras como maximo y 1.9841 micras como minimo.

c) Proporcione un intervalo de confi anza de 99%para la desviacion estandar.

Valor de p=0.15>0.05 Si cumple con la prueba de normalidad.

Prueba e IC para una varianza: densidades (grosor)

Método

El método de chi-cuadrada sólo se utiliza para la distribución normal.El método de Bonett se utiliza para cualquier distribución continua.

Estadísticas

Variable N Desv.Est. Varianzadensidades (grosor) 18 0.0646 0.00418

Intervalos de confianza de 99%

IC paraVariable Método Desv.Est. IC para varianzadensidades (grosor) Chi-cuadrada (0.0446; 0.1116) (0.00199; 0.01246) Bonett (0.0417; 0.1169) (0.00174; 0.01367)

A un nivel de confianza del 99% la dispersión de los datos respecto a la media va de 0.1116% como maximo y 0.0446% como minimo

d) Dibuje el diagrama de cajas para los datos e interpretelos resultados.

Según el diagrama de caja el Q1=1.9075 micras Q3=1.9825 micras y con una media de 1.94 micras

- El 25% de los datos son igual o menores que 1.9075 micras- El 50% de los datos son igual o menores que 1.94 micras- El 75% de los datos son igual o menores que 1.9825 micras.

Ejercicios de estimación para una proporción

17. En una auditoria se seleccionan de manera aleatoria200 facturas de las compras realizadas durante el ano,y se encuentra que 10 de ellas tienen algun tipo deanomalia.

a) Estime con una confi anza de 95% el porcentaje defacturas con anomalias en todas las compras del ano.

Prueba e IC para una proporción

Muestra X N Muestra p IC de 95%1 10 200 0.050000 (0.024234; 0.090028)

A un nivel de confianza del 95% el porcentaje de facturas anómalos se encuentra entre 9.0028% como maximo y 2.4234% como minimo

b) .Cual es el error de estimacion? .Por que?

error=Z1−α2 √ pqn

Error= 1,96(0.015)=0.0294=2.94%

c) .Que tamano de muestra se tiene que usar si sequiere estimar el porcentaje de facturas conanomalias con un error maximo de 2%?

error=2%=Z1−α2 √ pqn

error=2%=1.96√ 0.050.95n n= 456El tamaño de la muestra debe ser de 456 facturas.

18. En la produccion de una planta se esta evaluando untratamiento para hacer que germine cierta semilla. Deun total de 60 semillas se observo que 37 de ellas germinaron.

a) Estime con una confi anza de 90% la proporcionde germinacion que se lograra con tal tratamiento.

Prueba e IC para una proporción

Muestra X N Muestra p IC de 90%1 37 60 0.616667 (0.502433; 0.721939)

A un nivel de confianza del 90% la proporción de semillas que germinan con el tratamiento esta en el intervalo (50.24%-72.19%)

b) Con una confi anza de 90%, .es posible garantizarque la mayoria (mas de la mitad) de las semillasgerminaran?

Si es posible garantizar que la mayoría de las semillas germinaran porque a una confianza de 90% la proporción que germinaran con el tratamiento será entra 50.24%-72.19%.

c) Conteste los dos incisos anteriores pero ahora con95% de confianza.

Prueba e IC para una proporción

Muestra X N Muestra p IC de 95%1 37 60 0.616667 (0.482115; 0.739293)

A un nivel de confianza del 95% la proporción de semillas que germinan con el tratamiento esta en el intervalo (48.21%-73.92%).

No es posible garantizar que la mayoría de las semillas germinaran porque a una confianza de 90% la proporción que germinaran con el tratamiento será entra 48.21.24%-73.92%.

19. Para evaluar la efectividad de un farmaco contra ciertaenfermedad se integra en forma aleatoria un grupo de100 personas. Se suministra el farmaco y transcurridoel tiempo de prueba se observa x 65 personas con unefecto favorable.a) Estime con una confi anza de 90% la proporcionde efectividad que se lograra con tal farmaco.Realice una interpretacion de los resultados.

Prueba e IC para una proporción

Muestra X N Muestra p IC de 90%1 65 100 0.650000 (0.563916; 0.729246)

A un nivel de confianza del 90% la proporción de personas que tuvieron un efecto favorable con el tratamiento esta en el intervalo (56.39%-72.92%)

b) .Con base en lo anterior se puede decir que a lamayoria de las personas (mas de la mitad) les hizobuen efecto el farmaco?

Si es posible garantizar que la proporción de personas que tuvieron un efecto favorable con el tratamiento porque a una confianza de 90% la proporción que germinaran con el tratamiento será entra 50.24%-72.19%.

c) .Que tamano de muestra debe usarse si se quiere tenerun error de estimacion maximo de 4% (0.04)?

error=4%=1.64√ 0.650.35n

n=382

-El tamaño de la muestra debe ser 382 personas para tener un error de estimación de 4%