Ejercicio de diseño: Control de motor de CD

5/12/2018 Ejercicio de dise o: Control de motor de CD - slidepdf.com

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Alejos, Ricardo; Hernández Aldo; Ramos, YeicatlSistemas de Control Automático

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Ejercicio de diseño

Diseño de un controlador de velocidad para un motor de corriente directa

OBJETIVO Implementar un sistema de control de lazo ce-

rrado para controlar la velocidad de giro de un

motor de corriente directa. Dicho sistema debe-

rá ser lo más rápido y con el menor error posi-

ble.

La rapidez del sistema está relacionada con la

velocidad con la que este llega a un estado es-

table después de aplicar cierta señal de entrada.

El error del sistema está definido como la dife-

rencia entre la salida deseada y la salida real de

dicho sistema. En el caso de esta práctica, nos

referimos a la velocidad deseada y la real.

PANORAMA GENERAL

El sistema está compuesto de un controlador

(amplificador inversor), un actuador (amplifica-

dor clase B), un proceso (motor de corrientedirecta), y un bloque de retroalimentación (con-

vertidores de velocidad a frecuencia y de fre-

cuencia a voltaje), tal como se ilustra en la figu-

ra 1. El sistema habrá de responder a los cam-

bios en el voltaje de entrada con un cambio pro-

porcional en la velocidad de salida.

Figura 1. Diagrama de bloques del sistema completo.

La entrada del sistema es una señal de voltaje,

mientras que la salida es la velocidad de giro del

motor. El punto suma se implementará auxilián-

donos de un restador de voltajes con un circuito

de amplificador operacional.

Note que todos los componentes mencionados

hasta aquí son elementos lineales sólo cuando

no se llega a sus límites de saturación. En el

caso de los amplificadores, dichos límites son

casi iguales a los voltajes que se utilizan para

alimentar dichos circuitos, mientras que los lími-

tes del motor son sus límites de apagado y rup-

tura. Para evitar comportamientos no deseados,

buscaremos en lo posible evitar estas regiones

de operación no lineales.

Por lo pronto, en el análisis matemático de cada

parte reservaremos el cálculo de las constantes

de proporcionalidad de cada bloque para la par-

te práctica, donde se harán mediciones de estas

constantes directamente. Esto se hace debido a

que cada sistema físico es diferente al menos

en pequeños detalles y buscamos la mayor pre-

cisión posible.

EL PUNTO SUMA Como se mencionó anteriormente, el punto su-

ma consiste de un amplificador operacional en

su configuración de restador con todas las resis-

tencias iguales. Dicha configuración está ilus-

trada en la figura 2.

Figura 2. Diagrama eléctrico del amplificador restador(punto suma).



2

Tras hacer un análisis del circuito, encontramos

que la relación entre la salida del amplificador y

sus entradas se expresa como en la ecuación 1,

donde es el voltaje de entrada del sistema, es el voltaje de retroalimentación del sistema

(salida del convertidor de frecuencia a voltaje) y es el voltaje error.

(1)

Note que el punto suma está invertido en signos

a como suele ser convencionalmente (normal-

mente se le resta la señal de retroalimentación a

la señal de entrada), sin embargo, al estar en

cascada con un amplificador inversor se logra el

equivalente a dicha convención.

EL AMPLIFICADOR INVERSOR

Este es el controlador del proceso, se trata de

un amplificador operacional en configuración de

amplificador inversor, y dicha configuración se

muestra en la figura 3.

Figura 3. Diagrama eléctrico del amplificador inversor(controlador).

La relación entre su entrada y su salida se

muestra en la ecuación 2, donde

es el voltaje

error (salida del punto suma), es el voltaje de

control, y es la ganancia del amplificador, que

es a su vez ( es una resistencia

de valor fijo y es una resistencia variable).

(2)

Note que como se mencionó antes, se hace una

inversión de signo, lo cual equivale a haber am-

plificado la diferencia .

EL AMPLIFICADOR CLASE BEste amplificador será utilizado como actuador,

ya que el amplificador operacional normalmente

no es utilizado para suministrar corriente a la

carga. El amplificador clase B normalmente se

utiliza en etapas de salida en circuitos de poten-

cia como puede ser para aplicaciones de audio,

motores, y otros procesos.

Las características principales de este amplifi-

cador es que tiene ganancia unitaria y es capazde suministrar grandes cantidades de corriente

con una eficiencia de alrededor del . El dia-

grama eléctrico de este amplificador se presenta

en la figura 4.

Figura 4. Amplificador clase B con amplificador opera-cional para eliminar efecto de cruce por cero.

Normalmente este tipo de amplificadores tiene

la desventaja que consiste en distorsionar su

señal de salida cuando esta cruza por cero, estodebido al voltaje que cae en los emisores de los

transistores de potencia. Para eliminar este

efecto se agrega un amplificador operacional

como se muestra en la figura anterior.



3

Para fines de análisis superiores, aunque sa-

bemos que la ganancia de este bloque es unita-

ria, le asignaremos el nombre .

EL MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA El motor de corriente directa es una máquina

eléctrica que convierte energía eléctrica en

energía mecánica. Su modelo matemático reve-

la que es un sistema de segundo orden, sin em-

bargo, dado que el motor elegido para hacer la

práctica llega a una velocidad estable muy rápi-

do (su constante de tiempo es muy pequeña) lo

modelaremos como un sistema de orden cero

cuya velocidad de salida es siempre proporcio-

nal a la entrada (ecuación 3) salvo en la regiónde apagado (cuando la energía eléctrica recibi-

da no es suficiente para que gire el motor) y la

región de ruptura (cuando la energía eléctrica es

tal que se daña el motor).

(3)

Para la ecuación 3, es la velocidad angular, es el voltaje de control (salida del controlador) y

es la constante de proporcionalidad entre y. Hasta aquí ya hemos obtenido entonces la

señal de salida.

CONVERSIÓN DE VELOCIDAD A FRECUEN-

CIA

Ahora estudiemos cuál será la técnica utilizada

para medirla y retroalimentarla. La técnica men-

cionada consiste en colocar un disco cuyo cen-

tro se fijará al rotor del motor, de modo que algirar el motor, ambos, el disco y el rotor tendrán

la misma velocidad angular.

El disco estará perforado cerca de su periferia

varias veces con un espaciado igual (ángulo )

entre cada perforación (haciendo un total de 12

perforaciones en la práctica), tal como se mues-

tra en la figura 5.

Figura 5. Disco que se fijará en el rotor para auxiliar lamedición de su velocidad angular.

Las perforaciones en el disco generarán inte-

rrupciones de transmisión en un opto-acoplador

(dispositivo que emite luz con un LED infra-rojo

desde una de sus terminales y la recibe en la

otra, que es un opto-transistor con un filtro ópti-

co), vea la figura 6. Cada vez que se interrumpa

el haz de luz entre las terminales del el opto-

transistor cambiara de estado (de saturación a

corte), de modo que el voltaje de su colector

cambiará de nivel. Dado que las interrupciones

serán periódicas obtendremos al final una señal

cuadrada de voltaje con una frecuencia propor-

cional a la velocidad angular del motor (ecua-

ción 4).

Figura 6. Opto-acoplador para conversión de velocidadangular a señal de frecuencia.

(4)

Para la ecuación 4, es la frecuencia de la se-ñal de voltaje del colector del opto-transistor,

es la velocidad angular el motor (en radianes

por segundo) y es la constante de propor-

cionalidad entre las dos cantidades menciona-

das. Dicha constante tiene un valor de y se obtiene con un análisis dimensional.



4

Para fines prácticos en la práctica también ha-

remos referencia a la velocidad angular del mo-

tor como medida en ciclos por segundo.

Siendo así entonces la relación entre y

es .

CONVERTIDOR FRECUENCIA-VOLTAJE

Esta es la segunda etapa de la retroalimenta-

ción del sistema, se compone de un circuito in-

tegrado (LM2917) cuya salida es un voltaje pro-

porcional a la frecuencia de la señal que tiene

de entrada, sin embargo este bloque se modela

como un sistema de primer orden, ya que su

funcionamiento se basa en la carga de un circui-

to RC y por lo tanto tiene un retardo antes de

llegar a un estado estable. El diagrama eléctrico

del circuito se muestra en la figura 7.

Figura 7. Diagrama eléctrico del convertidor de fre-cuencia a voltaje.

El circuito integrado LM2917 detecta la frecuen-

cia de la señal de entrada cada vez que dicha

señal es igual a . Tomando esto en cuenta,

el voltaje de salida se puede modelar matemáti-camente con la ecuación 5, donde es el volta-

je de retroalimentación (salida del convertidor de

frecuencia a voltaje), es un voltaje de fre-

cuencia (salida del convertidor de velocidad a

frecuencia), y es una constante proporcional

al valor componentes , y al voltaje de

retroalimentación.

(5)

EL SISTEMA COMPLETO

El diagrama de bloques

Ya conociendo el modelo matemático de todos

los bloques podemos obtener el modelo de todo

el sistema utilizando el análisis en el dominio de

la frecuencia. Podemos sintetizar todo el análi-

sis dibujando un nuevo diagrama de bloques

con las funciones de transferencia que corres-

ponden a cada bloque. La figura 8 muestra el

nuevo diagrama de bloques.

Figura 8. Diagrama de bloques del sistema completo,ahora con las funciones de transferencia.

La función de transferencia

La función de transferencia del sistema comple-to se expresa en la ecuación 6. Note que el sis-

tema completo es de primer orden:

(6)

De haber tomado en cuenta al motor como un

sistema de segundo orden, habríamos compli-

cado mucho más esta ecuación, sin embargopuede ver en la parte práctica que esta omisión

no provocará gran error en la práctica.



5

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

La sensibilidad del sistema a un parámetro es-

pecífico está definida como el cambio porcen-

tual de la función de transferencia del sistema

respecto al parámetro (vea la ecuación 7). Estase denota como

.

(7)

A continuación se presenta un análisis de sen-

sibilidad de varios parámetros del sistema.

Ganancia del controlador ()

La ganancia del amplificador es uno de los pa-

rámetros variables en este sistema de control.Normalmente suele ser el único que puede mo-

dificarse durante el uso del sistema. Por ello es

de vital importancia conocer la sensibilidad del

sistema a este parámetro, que se modela como

se expresa en la ecuación 8.

(8)

Note entonces que la sensibilidad a la ganancia

disminuye conforme esta aumenta (dejando fijoslos demás parámetros). De tal forma que si la

ganancia del controlador es muy grande la sen-

sibilidad tenderá a ser nula.

Ganancia del actuador ()

Al actuador, en contraste al controlador, no le

podemos cambiar la ganancia (al menos acorde

al diseño que se implementará), sin embargo el

actuador no está exento de sufrir cambios debi-

do al entorno (calor, envejecimiento, etcétera).La sensibilidad del sistema a este parámetro se

muestra en la ecuación 9.

(9)

Note que la sensibilidad

, como era de

esperarse, ya que ambos parámetros son cons-

tantes y están conectados en serie en el dia-

grama de bloques de la figura 8.

Ganancia del bloque de retroalimen-tación ()

La ganancia del bloque de retroalimentación

también es configurable si se coloca un poten-

ciómetro en lugar de , además, típicamente

el bloque de retroalimentación debe ser correc-

tamente calibrado para hacer mediciones certe-

ras (precisas y confiables) de la señal de salida.

Es por esto que es crucial saber cuál es la sen-

sibilidad del sistema a la ganancia de retroali-

mentación, misma que se presenta en la ecua-ción 10.

(10)

Note que la sensibilidad a disminuye

cuando este factor disminuye, y que tiende a un

valor de uno cuando es muy grande.

Análisis de la señal error

La señal error es aquella que se encuentra

inmediatamente después del punto suma en el

diagrama de bloques (figura 8). Se puede ex-

presar en términos de los parámetros del siste-

ma y de la entrada como se muestra en la

ecuación 11.

(11)

Podemos encontrar su valor en estado establepara alguna señal de entrada utilizando el teo-

rema del valor final. Así entonces, el valor de la

señal error para una entrada tipo escalón en

estado estable es el que se muestra en la ecua-

ción 12.



6

(12)

Note entonces que el error en estado estable

disminuye si cualquiera de las ganancias del

sistema aumenta y que además su valor máxi-mo es uno.

ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA

Constante de tiempo

Para analizar la respuesta transitoria del siste-

ma aplicaremos una entrada de escalón unitario

. Así entonces la salida del sistema

en el dominio de la frecuencia será y en el dominio del tiempo se vería

como se expresa en la ecuación 13.

() (12)

Dónde:

Siendo la constante de tiempo del sistema,

note que el sistema se hace más rápido para

valores de ganancia más grandes (esta ganan-

cia puede ser cualquiera en el sistema: contro-

lador, actuador, proceso, o retroalimentación).

Además note que si el producto el siste-

ma se hará más lento.

Salida en estado estable

Para obtener la salida en estado estable partamos de la ecuación 12, que es la salida en

función del tiempo. Note que cuando la

respuesta se aproxima a ser , y por lo

tanto podemos escribir la velocidad angular en

estado estable como se muestra en la ecuación

13.

(13)

Note que conforme crece el producto ,

que es la ganancia de lazo abierto, el sistema

tiende a estabilizarse cuando la velocidad angu-

lar es .

Observe como tanto para la constante de tiem-

po como para la respuesta en estado estable

son cruciales los factores que dependen del

bloque de retroalimentación.

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