Ejercicio de Integrar
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Ejercicio Pregunta 6.4: lim →∞ 1 [ (1 + ( 1 ) 2 ) + ⋯ + (1 + ( −1 ) 2 )] Como veras esta es una Suma de Riemann incompleta, debido a que: lim →∞ 1 [ (1 + ( 1 ) 2 ) + ⋯ + (1 + ( −1 ) 2 )] = lim →∞ ∑ (1 + ( ) 2 )∙ 1 −1 =1 Ahora, para poder completar la Suma de Riemann, tenemos que sumar y restar el termino: (1 + ( ) 2 ) = De manera que sumando y restando ese término nos queda: lim →∞ ∑ (1 + ( ) 2 )∙ 1 −1 =1 + − = lim →∞ ∑ (1 + ( ) 2 )∙ 1 =1 − (1 + ( ) 2 ) Para darse cuenta del artificio que utilice, chequea el cambio de superíndice en la sumatoria. Una vez hecho ese, sabemos además que el termino que sumamos y restamos es: = (2) lim →∞ ∑ (1 + ( ) 2 )∙ 1 =1 − lim →∞ (2) ⏟ = ∫ (1 + 2 ) 1 0 Ahora por ultimo, nos damos cuenta que la Suma de Riemann buscada es:
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Ejercicio de integracion
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Ejercicio
Pregunta 6.4:
lim
1
[ (1 + (
1
)2
) ++ (1 + ( 1
)2
)]
Como veras esta es una Suma de Riemann incompleta, debido a que:
lim
1
[ (1 + (
1
)2
) ++ (1 + ( 1
)2
)] = lim
(1 + (
)2
) 1
1
=1
Ahora, para poder completar la Suma de Riemann, tenemos que sumar y restar
el termino:
(1 + ()
2)
=
De manera que sumando y restando ese trmino nos queda:
lim
(1 + (
)2
) 1
1
=1
+ = lim
(1 + (
)2
) 1
=1
(1 + (
)
2)
Para darse cuenta del artificio que utilice, chequea el cambio de superndice en
la sumatoria. Una vez hecho ese, sabemos adems que el termino que sumamos
y restamos es:
=(2)
lim
(1 + (
)2
) 1
=1
lim
(2)
= (1 + 2)1
0
Ahora por ultimo, nos damos cuenta que la Suma de Riemann buscada es:
-
lim
(1 + (
)2
) 1
=1
= (1 + 2)1
0
Esa integral se resuelve por partes:
= (1 + 2) =2
1 + 2
= =
Nos queda lo siguiente:
(1 + 2)1
0
= (1 + 2) |01 2
2
1 + 2
1
0
(1 + 2)1
0
= (2) 2 1
0
+ 2
1 + 2
1
0
(1 + 2)1
0
= (2) 2 + 2 (1) 2 (0)
(1 + 2)1
0
= (2) 2 +
2
Y ah termina el ejercicio.
Pregunta 12:
Tenemos la siguiente integral:
4 () (2 1)3
0
+ 12 2 3 ()
2= 0
En este ejercicio por razones de espacio, dir que:
=
Nota: es lo mismo que .
Si derivo la igualdad, nos quedara lo siguiente:
-
4 (3) (6 1) 32 + 12[2 3 + 2 32 ] () + || 2 = 0
Reacomodando un poco:
6 (3) (6 1) 2 + 24 3 + 36( )2 () + || 2 = 0
En los trminos donde haya saco factor comn y la despejo:
[36( )2 ()] = [6 (3) (6 1) 2 + 24 3 + || 2]
Eso implica:
= [6 (3) (6 1) 2 + 24 3 + || 2]
[36( )2 ()]
Devolviendo el cambio de parmetro que utilice:
=[6 (3) (6 1) 2 + 24 3 + || 2]
[() 36( )2]
Aqu termina el ejercicio.
