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Relacin Funcional Lineal

Cuando la relacin funcional entre dos variables medidas experimentalmente tiende a ser una lnea recta, generalizamos diciendo que nuestro grfico es una lnea recta y en consecuencia le podemos asociar una expresin del tipo: y (x) = m x+b donde mes la pendiente de la recta y b es el coeficiente de posicin o corte con el eje de las ordenadas. Para determinar el valor de estos parmetros, se pueden aplicar los siguientes mtodos:

a) Mtodo Graficob) Mtodo de Promedioc) Mtodo de mnimos cuadrados

A travs de un ejemplo se analiza los mtodos.

Ejemplo:En una experiencia de laboratorio se tiene un bloque que desliza por una superficie horizontal prcticamente sin roce. Mediante un programa computacional se obtiene la siguiente informacin, donde x (t) indica la posicin y T(s) el tiempo transcurrido.

T (s) 1.2 1.7 2.5 3.3 4.4 4.9 5.4 6.2 7.4X (cm) 12.5 16.2 22.1 28 36.2 39.9 44.6 49.5 58.4

Se desea encontrar la relacin funcional entre las variables, desplazamiento con el tiempo, esto implica conocer la ecuacin itinerario del mvil que ha ocupado las siguientes posiciones en funcin del tiempo:

a.- Mtodo Grfico

Consiste en graficar los datos en el sistema de coordenadas y dibujar con una regla la mejor recta estimada en el grfico, luego se toma dos puntos de fcil lectura de la recta trazada (t1, x1), (t2, x2) y se calcula su pendiente m. Para el valor de b se lee donde la recta trazada corta al eje de las abscisas.m = x2- x1 = 58.4 - 16.2 = 7.4 cm/st2 t1 7.4 - 1.7

b = 3.6 cm de manera que la relacin funcional es x (t) = 3.6 +7.4 t (cm)Desde el punto de vista fsico la ecuacin anterior corresponde a la ecuacin itinerario de un mvil, que entrega la posicin en funcin del tiempo. Aqu la pendiente m=7,4 corresponde a la velocidad (componente)con la que se desplaza el mvil y nos dice que en t=0 el mvil estaba en la posicin x= 3,6 m del origen del sistema hacia la derecha.

b.- Mtodo de Promedios:

Consiste en dividir los datos en dos partes, se busca el promedio de cada parte y se ajusta una lnea de tendencia que pasa por los promedios y se obtiene dos ecuaciones, formando un sistema que permite determinar m y b

T (s) 1.2 1.7 2.5 3.3 4.4 4.9 5.4 6.2 7.4X (cm) 12.5 16.2 22.1 28 36.2 39.9 44.6 49.5 58.4Prom T (s) =1.2+1.7+2.5+3.3= 2.24X (cm) = 12.5+16.2+22.1+28 =19.74 T (s) = 4.4+4.9+5.4+6.2+7.4 = 5.75X (cm) = 36.2+39.9+44.6+49.5+58.4 = 45.75

En el problema planteado de la tabla de valores se toma los cuatro primeros y los cinco ltimos para formar los dos grupos de manera que resulta un sistema de dos ecuaciones,19,7 = 2.2.m + b45,7 = 5,7m+bY de all se obtiene la relacin lineal: x (t) = 3,4 +7,4t (cm)

c.- Mtodo de los mnimos cuadrados

El tercer mtodo, el de los mnimos cuadrados es ms preciso pero, necesita muchos ms datos que los comentados hasta ahora y se basa en consideraciones estadsticas para obtener la pendiente m de la recta y el interfecto b de la recta con el eje de las ordenadas. Este mtodo se basa en la siguiente definicin: la mejor curva de ajuste de todas las curvas de aproximacin a una serie de datos puntuales es la que hace mnima la suma de los cuadrados de las desviaciones Di de la curva [Di= yi -(m xi +b )].Las expresiones para m y b se encuentran con las siguientes ecuaciones:m= ( x1) ( y1) n ( x1y1)( x1)2 n (x12) b = ( x1y1) ( x1) ( y1 ( x12) ( x1)2 n (x12)

Donde n es el nmero total de datos.Cabe hacer notar que las variables x e y son de carcter genrico en la expresin matemtica, y que estas pasan a tomar otra designacin dependiendo de las variables que se estn trabajando.As, en el caso de estudio tenemos:

Y X Xi2 XiYiX (cm) T (s) 12.5 1.2 1.44 1516.2 1.7 2.89 27.5422.1 2.5 6.25 55.2528 3.3 10.89 92.436.2 4.4 19.36 159.2839.9 4.9 24.01 195.5144.6 5.4 29.16 240.8449.5 6.2 38.44 306.958.4 7.4 54.76 432.16Sumatoria () 307.4 37 187.2 1524.88

m= 37*307.4 - 9*1524.88 = 7.4(37)2 - 9 * 187.2b = 1524.88*37-307.4*187.2 = 3.6(37)2 9 * 187.2

De manera que la relacin funcional es x(t) = 3.6 +7.4 t (cm)

Generalizando los casos a funciones exponenciales y funciones potenciales

Funciones Exponenciales:y = AeBxEn este caso la relacin lineal se obtiene haciendo el siguiente cambio de variables:Ln y = Bx + Ln A que al compararla con la ecuacin de la rectase observa que m = B y b = LnA.

Funciones Potenciales:y = AxmEn este caso la relacin lineal se obtiene haciendo el siguiente cambio de variables:Log y = mlog x + Log A