Ejercicio de Riesgo Moral
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Pontificia Universidad Catlica del Per Programa de Maestra en Economa Curso: Microeconoma Avanzada Profesora: Claudia Barriga Ch. Asistente: Sandro A. Huaman.
EJERCICIO RESUELTO DE RIESGO MORAL
Aplicacin al mercado laboral
En esta aplicacin se analiza la relacin existente entre un empleador (principal) y un empleado
(agente) en un contexto laboral. El empleador no observa el nivel de esfuerzo emitido por el
empleador por lo que buscar disear un contrato que induzca al empleado a emitir un mayor a
esfuerzo a lo que emitira de ser incentivado. Supondremos que se tiene dos resultados (ventas
de la empresa) posibles y dos esfuerzos:
3/23/14
3/13/26
4060
=
=
==
e
e
xx
Donde x son las ventas posibles de la empresa y e los esfuerzos que podran ser emitidos por el
agente. Asimismo, la funcin de la utilidad del Empleador, que asumiremos que es neutral al
riesgo, viene dado por:
wxwx =),(
La funcin de utilidad del Empleado, que supondremos que es averso al riesgo, viene dado por:
Donde w es el salario. Para este caso, asumiremos una la utilidad de reserva del agente como
de 10.
ewewU = 5.0),(
-
En un contexto de simetra de informacin donde el esfuerzo es observable, el principal resuelve
el siguiente problema de optimizacin con el afn de encontrar un contrato ptimo (e,w) que
induzca al agente a emitir el mayor esfuerzo (e = 6):
Donde w60 y w40 son los salarios que ofrece empleador cuando las ventas son como 60 y 40
respectivamente.
Aplicando el Lagrange y derivando las condiciones de primer orden tenemos:
)1...(05.03
2
3
2 5.060
60
=
+=
ww
L
)2...(05.03
1
3
1 5.040
40
=
+=
ww
L
)3...(010)6)((3
1)6)((
3
2 5.040
5.0
60 =+=
wwL
De las ecuaciones (1) y (2) se desprende que:
Reemplazando en la ecuacin (3), tenemos:
)40(3
1)60(
3
2: 4060 wwMx +
10)6)((3
1)6)((
3
2: 5.040
5.0
60 + wwsa
+++= 10)6)((
3
1)6)((
3
2)40(
3
1)60(
3
2 5.040
5.0
604060 wwwwL
www == 4060
-
010)6)((3
1)6)((
3
2 5.05.0=+ ww
Los resultados nos dice que el empleador pagar lo mismo a su empleado ante cualquier nivel
de venta que se consiga (cobertura total), esto debido a que el agente es averso al riesgo y el
principal neutral. Por lo tanto, si empleador quiere que su trabajador desplegu el mayor
esfuerzo le deber ofrecer el siguiente contrato:
{ }6,256,256 4060 === eww
Por otro lado, cuando tenemos asimetra de informacin, es decir que el esfuerzo es no
observable por el empleador, el principal resuelve el siguiente problema de optimizacin con el
afn de encontrar un contrato ptimo (x,w) que induzca al agente a emitir el mayor esfuerzo (e =
6):
Sujeto a la restriccin de participacin:
Y sujeto a la restriccin de compatibilidad de incentivos:
Si asumimos que empleador posee poder de mercado, entonces tendr la capacidad de bajar los
salarios ofrecidos a un nivel en donde las restricciones se cumplen como igualdad, pero para ser
ms consistente con los mtodos matemticos, podemos comprobar que ambas restricciones
limitan mediante las condiciones de optimizacin de Kuhn - Tucker.
256162 ==w
)40(3
1)60(
3
2: 4060 wwMx +
10)6)((3
1)6)((
3
2:. 5.040
5.0
60 + wwas
)4)((3
2)4)((
3
1)6)((
3
1)6)((
3
2 5.040
5.0
60
5.0
40
5.0
60 ++ wwww
-
Bajo una optimizacin mediante Kuhn Tucker, simplificadamente, inicialmente se tiene una
funcin diferenciable mnAg : donde se busca los puntos de n que verifican el
sistema de m inecuaciones mbxg )( y hacen que la funcin diferenciable de
nAf : presente un mximo o un mnimo.
bxgasxfOpt )(.)(
Donde las condiciones de Kuhn Tucker que ayudan a nuestro propsito vienen definidos por lo
siguiente:
(i) 0)()(1
= =
xgxf i
m
i
i
(ii) mii ,...,2,10 = , entonces:
(iii) mibxg iii ,...,2,10))(( ==
Basado en lo anterior y en bsqueda que demostrar que las restricciones del problema limitan, el
problema del principal lo redefinimos del siguiente modo:
)40(3
1)60(
3
2: 4060 wwMx +
010)6)((3
1)6)((
3
2:. 5.040
5.0
60 + wwas
0)4)((3
2)4)((
3
1)6)((
3
1)6)((
3
2 5.040
5.0
60
5.0
40
5.0
60 ++ wwww
Simplificando an ms el problema del principal tenemos lo siguiente:
)40(3
1)60(
3
2: 4060 wwMx +
016)(3
1)(
3
2:. 5.040
5.0
60 + wwas
02)(3
1)(
3
1 5.040
5.0
60 ++ ww
-
Aplicando el Lagrange.
+++
+++= 2)(
3
1)(
3
116)(
3
1)(
3
2)40(
3
1)60(
3
2 5.040
5.0
602
5.0
40
5.0
6014060 wwwwwwL
)1...(05.03
15.0
3
2
3
2 5.0602
5.0
601
60
=
=
www
L
)2...(05.03
15.0
3
1
3
1 5.0402
5.0
401
40
=
+
=
www
L
Simplificando la ecuacin (1) y (2) y adems decimos que A= 5.0605.0w y B= 5.0405.0
w donde A y
B son evidentemente positivos.
)1...(022 21 =++ AA
)2...(01 21 =+ BB
De (2) tenemos:
)2...(1 1
2
+=
B
B
Reemplazando (2) en (1) obtenemos:
01
22 11 =
+++ A
B
BA
022 11 =+++ AB
AA
022 11 =+++ AB
AA
-
)1...(23
11
=
B
A
A
De la expresin anterior se deduce que 01 , por lo tanto, la restriccin de participacin limita. Por otro lado, de la ecuacin (2) podemos deducir que si 00 21 , por lo tanto, tambin la restriccin de compatibilidad de incentivos limita. En resumen, ambas restricciones
del problema del principal limitan y se expresan as:
0)6)((3
1)6)((
3
2 5.040
5.0
60 =+ ww
)4)((3
2)4)((
3
1)6)((
3
1)6)((
3
2 5.040
5.0
60
5.0
40
5.0
60 +=+ wwww
De las dos ecuaciones anteriores se desprende que:
w60 = 180.5 = 324
w40 = 120.5 = 144
Por lo tanto, si empleador quiere que su trabajador desplegu el mayor esfuerzo le deber
ofrecer el siguiente contrato:
Si las ventas de la empresa son como 60, entonces el salario del empleado debera ser como
324 y si as ventas de la empresa son como 40, entonces el salario del empleado debera ser
como 40.
==
==
40,144
60,324
40
60
xw
xw