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Ejercicio Numérico 1

Germán

14 de mayo 2012

Germán () Ejercicio Numérico 1 14 de mayo 2012 1 / 17

Ozono estratosférico Física de la Atmósfera Terrestre

Cinética química

Reacciones bimoleculares



Cinética química


A + B −→ productos



Cinética química



Tasa y coeficiente de reacción:

RA = −∂[A]∂t

= −∂[B]

∂t≡ kAB[A][B]



Cinética química




RA = −∂[A]∂t

= −∂[B]

∂t≡ kAB[A][B]

Reacciones trimoleculares



Cinética química




RA = −∂[A]∂t

= −∂[B]

∂t≡ kAB[A][B]


A + B + C −→ productos



Cinética química




RA = −∂[A]∂t

= −∂[B]

∂t≡ kAB[A][B]


A + B + C −→ productos


RA = −∂[A]∂t

= −∂[B]

∂t= −

∂[C]

∂t≡ kABC [A][B][C]



Cinética Química

Reacciones simultáneas



Cinética Química


A + B −→ productos (k2)

A + B + C −→ productos (k3)



Cinética Química




Tasa de reacción:

RA = −∂[A]∂t

= k2[A][B] + k3[A][B][C]



Cinética Química




Tasa de reacción:

RA = −∂[A]∂t

= k2[A][B] + k3[A][B][C]

Un proceso que da producción de A



Cinética Química




Tasa de reacción:

RA = −∂[A]∂t

= k2[A][B] + k3[A][B][C]


E + F −→ A + Z (k4)



Cinética Química




Tasa de reacción:

RA = −∂[A]∂t

= k2[A][B] + k3[A][B][C]


E + F −→ A + Z (k4)

RA = −∂[A]∂t

= k2[A][B] + k3[A][B][C] − k4[E ][F ]



Cinética Química




Tasa de reacción:

RA = −∂[A]∂t

= k2[A][B] + k3[A][B][C]


E + F −→ A + Z (k4)

RA = −∂[A]∂t

= k2[A][B] + k3[A][B][C] − k4[E ][F ]

[A] =k4[E ][F ]

k2[B] + k3[C][D]



Fotodisociación

Energía aportada por fotones solares

A + hν −→ productos



Fotodisociación



Evolución de la densidad de A:

∂[A]∂t

= −jA[A] −→ [A] ∝ exp(−jAt)



Fotodisociación



Evolución de la densidad de A:

∂[A]∂t

= −jA[A] −→ [A] ∝ exp(−jAt)

jA =

∫ ∞

0

σAνF ↓ν

hνdν



Esquema de Chapman

Chapman (1930) propone un esquema de producción de O3 que sóloinvolucra reacciones de diferentes moléculas de oxígeno:



Esquema de Chapman

Chapman (1930) propone un esquema de producción de O3 que sóloinvolucra reacciones de diferentes moléculas de oxígeno:Fotodisociación de O2:

O2 + hν −→ 2O (j2)



Esquema de Chapman


O2 + hν −→ 2O (j2)

Reacción trimolecular:

O + O2 + M −→ O3 + M (k2)



Esquema de Chapman


O2 + hν −→ 2O (j2)


O + O2 + M −→ O3 + M (k2)

Fotodisociación de O3:

O3 + hν −→ O + O2 (j3)



Esquema de Chapman


O2 + hν −→ 2O (j2)


O + O2 + M −→ O3 + M (k2)

Fotodisociación de O3:

O3 + hν −→ O + O2 (j3)

Reacción bimolecular (lenta):

O + O3 −→ 2O2 (k3)



Esquema de Chapman

Evolución del ozono:

∂[O3]

∂t= k2[O][O2][M]− j3[O3]− k3[O][O3]



Esquema de Chapman


∂[O3]

∂t= k2[O][O2][M]− j3[O3]− k3[O][O3]

Evolución del oxígeno atómico:

∂[O]

∂t= 2j2[O2] + j3[O3]− k2[O][O2][M]− k3[O][O3]



Esquema de Chapman


∂[O3]

∂t= k2[O][O2][M]− j3[O3]− k3[O][O3]

Evolución del oxígeno atómico:

∂[O]

∂t= 2j2[O2] + j3[O3]− k2[O][O2][M]− k3[O][O3]

Evolución del oxígeno molecular O2:

3[O3] + 2[O2] + [O] = constante



Esquema de Chapman

Proporciones de equilibrio:

j3 ≫ k3[O] =⇒[O]

[O3]=

j3k2[O2][M]

[O3]

[O2]=

(

j2k2[M]

j3k3

)1/2



Esquema de Chapman

Proporciones de equilibrio:

j3 ≫ k3[O] =⇒[O]

[O3]=

j3k2[O2][M]

[O3]

[O2]=

(

j2k2[M]

j3k3

)1/2

Tiempos característicos:

[O]

[O3]∼ 102 s

[O3]

[O2]∼ 106 − 107 s



Ciclos catalíticos

Son ciclos que provocan la destrucción de O3



Ciclos catalíticos


X + O3 −→ XO + O2 (k4)

XO + O −→ X + O2 (k5)



Ciclos catalíticos


X + O3 −→ XO + O2 (k4)

XO + O −→ X + O2 (k5)

Catalizadores estratosféricos:

OH ON Cl


Resolución numérica Física de la Atmósfera Terrestre

Resolución numérica de ODEs

Sistema a resolver∂y1

∂t= f1(t , y1, · · · , yn)

∂y2

∂t= f2(t , y1, · · · , yn)

...∂yn

∂t= fn(t , y1, · · · , yn)

Con las condiciones iniciales

y1(t = 0) = y01 , y2(t = 0) = y0

2 , · · · yn(t = 0) = y0n



Método de Euler

Supongamos que [ta, tb] es el intervalo para el que buscamos lassoluciones, dividimos el intervalo en M subintervalos

tk = ta + kh k = 0,1, · · · ,M h =tb − ta

M



Método de Euler


tk = ta + kh k = 0,1, · · · ,M h =tb − ta

M

Para un dado ti , tendremos de acuerdo al teorema de Taylor unc ∈ (ti , ti+1) que satisface

y(ti+1) = y(ti ) + y ′(ti)h + y ′′(c)h2

2



Método de Euler


tk = ta + kh k = 0,1, · · · ,M h =tb − ta

M

Para un dado ti , tendremos de acuerdo al teorema de Taylor unc ∈ (ti , ti+1) que satisface

y(ti+1) = y(ti ) + y ′(ti)h + y ′′(c)h2

2

Si el paso h es lo suficientemente pequeño puede despreciarse eltérmino cuadrático

y(ti+1) ≈ y(ti) + hf (ti , y(ti ))



Método de Euler

Para el caso del sistema de n ecuaciones tenemos

yk (ti+1) ≈ yk (ti) + hfk (ti , y1(ti), · · · , yn(ti))



Método de Euler

En este método en cada paso se desprecia un término

y ′′(ck )h2

2



Método de Euler


y ′′(ck )h2

2

El error acumulado después de M pasos sería

M∑

k=1

y ′′(ck )h2

2≈

hM2

y ′′(c)h =(b − a)

2y ′′(c)h = O(h)



Método de Euler


y ′′(ck )h2

2

El error acumulado después de M pasos sería

M∑

k=1

y ′′(ck )h2

2≈

hM2

y ′′(c)h =(b − a)

2y ′′(c)h = O(h)

El error globalE(y(b),h) = |y(b)− yM | = O(h)

Si queremos reducir los errores a la mitad debemos tomar un paso dela mitad del tamaño, h

2 .



Métodos de Runge–Kutta

Son métodos para los cuales en el cálculo de yk+1 se usa f (t , y)evaluada en un promedio de puntos intermedios en el intervalo[tk , tk+1] y en el intervalo [yk , yk+1]



Métodos de Runge–Kutta

Son métodos para los cuales en el cálculo de yk+1 se usa f (t , y)evaluada en un promedio de puntos intermedios en el intervalo[tk , tk+1] y en el intervalo [yk , yk+1]En general son de la forma

dado y0

yk+1 = yk + h(∑r

i=1 ωiki)

donde ki = f (tk + cih, yk + hi−1∑

j=1

aijkj), c1 = 0, ci ∈ [0,1]



Runge–Kutta de cuarto orden

yk+1 = yk +h6(f1 + 2f2 + 2f3 + f4)




yk+1 = yk +h6(f1 + 2f2 + 2f3 + f4)

donde

f1 = f (tk , yk )

f2 = f (tk + h2 , yk + h

2 f1)

f3 = f (tk + h2 , yk + h

2 f2)

f4 = f (tk + h, yk + hf3)




yk+1 = yk +h6(f1 + 2f2 + 2f3 + f4)

donde

f1 = f (tk , yk )

f2 = f (tk + h2 , yk + h

2 f1)

f3 = f (tk + h2 , yk + h

2 f2)

f4 = f (tk + h, yk + hf3)

El error globalE(y(b),h) = |y(b)− yM | = O(h4)

Si el tamaño del paso se reduce a la mitad h2 el error global disminuye

un factor 116 .




Ejemplo en Matlab: Atractor de Lorenz

∂x∂t = σ(y − x)

∂y∂t = x(ρ− z) − y

∂z∂t = xy − βz





∂x∂t = σ(y − x)

∂y∂t = x(ρ− z) − y


Valores típicos de los parámetros

β =83

σ = 10 ρ = 28





∂x∂t = σ(y − x)

∂y∂t = x(ρ− z) − y


Valores típicos de los parámetros

β =83

σ = 10 ρ = 28

http://www.iafe.uba.ar/u/gcristiani/lorenz.zip



Esquema de Chapman – Resultados


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