Ejercicios

El Enfoque de Sistemas

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Ejercicios Resueltos del Capítulo I

Enfoque de Sistemas

V. Gerez, M. Grijalva

Problemas Resueltos de V. Gerez, M. Grijalva

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1.1. Una fábrica se especializa en la producción de envases de plástico. Describa las diversas fases de la vida de un envase de 1 litro para aceite desde su concepción hasta su retiro.

PLANEACION DEL PROGRAMA

NECESIDADES.-

• Fábrica trabaje permanentemente. • Fábrica en un estado eficiente para cumplir con todos los trabajos.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA.- • Equipos en mal estado. • Mejor ubicación de los equipos para la fabricación de envases de 1 litro • Capacitación del personal de trabajo. • Adquirir maquinaria nueva en aquellos puestos de trabajo donde se presenta cuellos de botella.

MEDICIÓN DEL SISTEMA.- OBJETÌVOS:

• Cumplir con los requerimientos del cliente. • Contar con los equipos necesarios para fabricar envases • Entrega al menor tiempo posible.

VARIABLES: • Costos de reparación de equipos. • Costos de reubicación; • Sueldos de personal.

CRITERIO DE EVALUACIÓN • Minimizar costos • Atención al cliente en el menor tiempo posible. • Tener equipos en buen estado.

ANÁLISIS DE DATOS.- • Sacar promedios de costos de reparación y reubicación. • Control de personal que trabaja. • Análisis de sueldos.

MODELO DEL SISTEMA

Modelo: CAUSA - EFECTO


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Mejor ubicaciónde equipos

Atención eficienteBeneficios

Personal

Clientes

++

+ -+

+

SÍNTESIS DEL SISTEMA.-

Realizar un estudio de costos para mantener en un estado estable la fábrica de envases de plástico

TOMA DE DECISIONES.- El problema puede ser llevado a cabo si se cuenta con el capital disponible para solucionar los distintos problemas, según el estudio de costos realizada se seleccionará aquella que nos ofrece el menor costo posible.

PLANTEACION DEL PROYECTO “FABRICACIÓN DE ENVASES DE PLÁSTICO PARA ACEITE DE 1 LITRO”

NECESIDADES.-

• Contar con maquinaria en buen estado para la fabricación de los envases. • Maquinaria bien ubicada para realizar el trabajo al menor tiempo posible. • Realizar un trabajo eficiente.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA.-

• Fabricación de envases para aceite de 1 litro


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MEDICIÓN DEL SISTEMA.-

OBJETIVOS:

• Fabricar los envases al menor costo y tiempo posible. • Ubicación adecuada de los equipos • Minimizar tiempos de ejecución

VARIABLES:

Xi = Costos de reubicación de equipos en la planta X2 = Costo de traslado X3 = Costos de operación X4 = Costos de instalación X5 = Número de equipos necesarios para la fabricación CRITERIO DE E VALUACIÓN: • Minimizar costos de reubicación • La nueva ubicación se lo realice en menos de 15 dias. • Reducir Tiempos de ejecución de fabricación

ANÁLISIS DE DATOS.- • Realizar un estudio de costos de operación e instalación. • Procurar la instalación secuencial de los equipos para minimizar los tiempos de ejecución. • Análisis de equipos necesarios para el trabajo

MODELO DEL SISTEMA.-

MinX1 = X2 + X3 +X4 S.a.

X2 + X3 + X4 < Utilidad que se piensa obtener

SÍNTESIS DEL SISTEMA.- • Instalarlos equipos de fabricación de envases de 1 litro en un solo ambiente • Instalar los equipos en 2 ambientes.

Ambas alternativas dan una solución al problema.

TOMA DE DECISIONES.- De acuerdo a la alternativa planteada anteriormente, podemos ver que con la instalación

propuesta se llegará a reducir bastante el tiempo de ejecución de fabricación


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DESARROLLO DE SISTEMA ENVASE DE 1 LITRO

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA: Realizar envases de 1 litro para aceite, en distintos modelos. MEDICIÓN DEL SISTEMA: OBJETIVOS:

• Minimizar el tiempo de fabricación de los envases • Diseñar más y novedosos modelos

VARIABLES: X1 = Tiempo de fabricación de 100 envases X2 = Cantidad de modelos de envase X3 = Costo de fabricación de 100 envases X4 = Cantidad de fabricación del modelo i

CRITERIO DE EVALUACIÓN:

• Menor costo de fabricación • Cantidad máxima de modelos

FASE DE PRODUCCIÓN "ENVASE DE 1 LITRO PARA ACEITE”

NECESIDADES.-

• Incrementar la utilidad • Aumentar la clientela

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA.- Fabricar envases de plástico de 1 litro para aceite MEDICIÓN DEL SISTEMA.- OBJETIVOS:

• Fabricación de envases de 1 litro para aceite • Atención eficiente al cliente

VARIABLES;

• Número de clientes • Número de pedidos que llegan en el día • Tiempos de fabricación de envase

CRITERIO DE EVALUACIÓN:

• Trabajo de fabricación bien realizado y al menor tiempo posible. • Entrega de pedidos sin retraso.


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ANÁLISIS DE DATOS: Envases: Por lo general al día se reciben un promedio de 1 pedido de 1000 envases Clientes: Con la nueva atención se espera que el número de clientes aumente y de esta manera se pueda percibir mayores utilidades.

1.2. Describa los pasos que sigue el siguiente proyecto: diseño de una carretera de dos carriles con carpeta de asfalto entre las localidades A y B.

PLANEACIÓN DEL PROYECTO

DISEÑO DE UNA CARRETERA DE DOS CARRILES

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA:

• Diseñar una carretera de dos carriles con carpeta de asfalto entre dos localidades • Minimizar costos de operación

MEDICIÓN DEL SISTEMA: OBJETIVOS

• Proveer con los equipos necesarios al menor costo y tiempo posible • Minimizar el tiempo de ejecución del proyecto

VARIABLES: X1 = Costo de traslado de la maquinaria X2 = Costo de operación X3 = Número de equipos necesarios X4 = Distancia entra la localidad A y B X5 = Cantidad de asfalto necesario CRITERIO DE EVALUACIÓN:

• Minimizar costos de traslado • La entrega de la carretera se lo realice en menos de 4 meses

ANÁLISIS DE DATOS:

• Realizar un estudio de costos de operación y traslado • Procurar la instalación secuencial de los equipos • Análisis de equipos necesarios

1. Palas mecánicas 2. Niveladoras 3. Aplanadoras 4. Mezcladoras 5. Volquetas


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MODELADO DE SISTEMAS: Cantidad de cemento asfáltico por metro cuadrado V 1 = ٱm * 1m * 0.1 m V 0.1 = ٱ m3

Distancia entra las localidades A y B = dA-B m. Area de la carretera: dA-B m. * 20 m = 20 dA-B m2 X5 = 20 dA-B m2 * 0.1m X5 = 2 dA-B m3

SÍNTESIS DE SISTEMAS

• Trasladar todos los equipos necesarios a la carretera que se va a realizar • Trasladar los equipos de acuerdo a un cronograma de actividades

TOMA DE DECISIONES: De acuerdo a las alternativas planteadas podemos decir que se toma la decisión de realizar la carretera.

1.3. Muestre las transacciones económicas del ejemplo 1.3.1 empleando un diagrama de flujo de señales.


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T3

T5

T6

T4T2T1

50

20

30

30

20 30

T1: Industria de fertilizante

T2: Campos de maíz

T3: Campos de trigo

T4: Molino de mixtamal

T5: Alimento para ganado

T6: Molino de trigo

1.4. La industria minera y metalúrgica en un país consume el 10% de sus productos, exporta el 30 % y vende el 60% a la industria de transformación. El 5% del producto de esta última es consumido por la industria minera y metalúrgica, el 45% por la propia industria de transformación, el 20% se exporta, y el 305 restante se vende a consumidores finales. Empleando un diagrama de bloques; muestre las transacciones económicas.


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IDN.MINERAMETALURGICA

INDUSTRIATRANSFORM.

EXPORTACION

CONSUMIDORESFINALES

10

30

45

20

30

60

5

1.5. Repita el problema 1.4 empleando un diagrama de flujo de señales.

La industria minera y metalúrgica en un país consume el 10% de sus productos, exporta el 30 % y vende el 60% a la industria de transformación. El 5% del producto de esta última es consumido por la industria minera y metalúrgica, el 45% por la propia industria de transformación, el 20% se exporta, y el 305 restante se vende a consumidores finales. Empleando un diagrama de bloques; muestre las transacciones económicas

T3

T4T2T1

30

45

20

10

5

T1: Industria minera metalúrgica

T2: Industria de transformación

T3: Exportación

T4: Consumidores finales


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1.6. Empleando una matriz como la mostrada en la figura, muestre las transacciones economicas del problema 1.4.

La industria minera y metalúrgica en un país consume el 10% de sus productos, exporta el 30 % y vende el 60% a la industria de transformación. El 5% del producto de esta última es consumido por la industria minera y metalúrgica, el 45% por la propia industria de transformación, el 20% se exporta, y el 305 restante se vende a consumidores finales. Empleando un diagrama de bloques; muestre las transacciones económicas

A

DE

Ind. Minera Y Met.

Ind. De

Transf.

Expor- tación

Consum. finales

Ind. Min. y Met.

10 60 0 30

Ind. De Trans.

5 45 30 20

Otro sector

100 0 0 0

.

1.7.El sistema de educación primaria en un municipio tiene en el año de 1074 los alumnos que muestra la matriz de la Fig.1.4.2. En esta matriz se muestra tambien el porcentaje que se espera aprueben y sigan los estudios, aprueben y se retiren, reprueben y repitan, reprueben y se retiren y el numero total que se estima que van a ingresar a los diversos años de otras partes. Si se considera como estado del sistema el numero de alumnos en cada año escolar, encuentre el estado probable del sistema para 1975.

Año Número de alumnos en 1974

PORCENTAJES NUEVO INGRESO

Aprobados que

continuan

Aprobados que no

continuan

Reprobados que repiten

Reprobados que no

continuan 1 2000(x1) 60(a2) 30(b1) 5(r1) 5(s1) 2200N1 2 1500(x2) 62(a3) 28(b2) 5(r2) 5(s2) 300 N2 3 1250(x3) 64(a4) 24(b3) 6(r3) 6(s3) 200 N3 4 1050(x4) 52(a5) 26(b4) 12(r4) 104s1) 150 N4 5 850(x5) 72(a6) 20(b5) 5(r5) 3(s5) 130 N5 6 700(x6) 92(b6) 5(r6) 3(s6) 130 N6

Estado de la educación primaria en un municipio

Solución Para hallar el estado probable del sistema para 1975 tenemos:


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Año Número de alumnos en 1974

PORCENTAJES NUEVO INGRESO

Número de alumnos en 1975

Aprobados que

continuan

Aprobados que no continua

n

Reprobados que repiten

Reprobados que no

continuan

1 2000(x1) 60(a2) 30(b1) 5(r1) 5(s1) 2002 N1 23002 1500(x2) 62(a3) 28(b2) 5(r2) 5(s2) 300 N2 15753 1250(x3) 64(a4) 24(b3) 6(r3) 6(s3) 200 N3 12054 1050(x4) 52(a5) 26(b4) 12(r4) 104s1) 150 N4 10765 850(x5) 72(a6) 20(b5) 5(r5) 3(s5) 130 N5 7186 700(x6) 92(b6) 5(r6) 3(s6) 130 N6 777

OPERACIONES REALIZADAS Para X1= ( 2000 * 0.05 ) + 2200= 2300 Para X2= (2000 * 0.6) + (1500 * 0.05) + 300= 1575 Para X3= (1500 *0.62) + ( 1250 *0.05) + 200= 1205 Para X4= ( 1250 0.64) + (1050 *0.12) + 150= 1076 Para X5= (1050 * 0.52) + (850 *0.0 5) + 130= 718.5 Para X6= (850 *0.72) + (700 * 0.05) + 130= 777 Y el total de abandones es del 2808.5 alumnos

1.8.Empleando las variables mostradas en la matriz de la fig.1.4.2 y un superíndice para indicar el año, encuentre las relaciones entre el estado en el año 1974 y 1975, es decir, entre los vectores siguientes:

(x1,x2,x3,........x6)T y (x1,x2,x3,..............x6)T+1

Solución

1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0

0.05 0 0 0 0 0 0

0.6 0.05 0 0 0 0 0

0 0.62 0.06 0 0 0 0

0 0 0.64 0.12 0 0 0

0 0 0 0.52 0.05 0 0

0 0 0 0 0.72 0.05 0

0.33 0.33 0.33 0.36 0.23 0.95 0

Al hacer cambio de variables tenemos:


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matriz = A*

(2000,1500,1250,1050,850,700) = VT

(2200, 300, 200,150,130,130) = VT+1

Las relaciones que se tienes son: si multiplicamos (VT) * (A*) + (VT+1) = Estado probable del sistema para 1975.

1.9.Empleando un diagrma similar al de la fig.1.3.31 e introduciendo un estado 0 agrupar a todos los estudiantes que no son del municipio, muestre los cambios de estado de la fig.1.4.2.

Solución 0.6 0.62 0.64 0.52 0.72 0.05 0.05 0.06 0.12 0.05 0.05 0.33 0.3 0.36 0.23 0.95 0.35

Modelado de Sistemas

Pag 81

Ejercicios Resueltos del Capítulo IV


V. Gerez, M. Grijalva


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4.1 Construya una matriz como la de la fig. 4.2.5 llenando los elementos con ejemplos de

tipos de modelos, que pertenezcan a una clase.

Solución.

Materiales Formales

Replica Cuasi. Rep.

Analogia Descrip. Simul. Formal

Esta

ticos

Determinístico Maqueta Pintura Maniqui Normas de Etica

Tablas de verdad

Ley de Kirchof

Probabilistico Análisis de diabetes

Mapa carretero

Cartas para jugar pokar

Noticiero Mathcad Ecuación del péndulo

Din

amic

os

Determinístico Auto a control remoto

Pecera Circuito de matematico

Acta de nacimiento

Algoritmo del camino mas corto

Ley de Maxwell

Probabilistico Clonación Sonido de la radio

Generador de ruido

Libro de estadistica

Modelo de una pala y dos camiones

Modelo de inventarios

4.2 De ejemplos de modelos de: Descripción, Comportamiento, Tiempo, Confiabilidad, Costo

Solución.

Descripción: Sistema de Producción de calzados Materia calzado Prima terminado Comportamiento: MP Prod. Ter.

2000 c. 20 docenas

Lavado y secado

Refinado Cortar plantillas

Costura

Proceso de fabricación


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Tiempo: Cant. 30 doc 20 doc 10doc Tiempo 1 mes 2 meses n meses Confiabilidad: La confiabilidad podemos medir, 1 menos la desconfiabilidad. En nuestro caso podemos suponer que la desconfiabilidad es la minima por lo tanto desc.=0.20 . Por lo tanto la: confi.= 1 – desc. = 1-0.2 = 0.8 lo que se transforma es 80% de confiabilidad del producto Costo: Cant. 3 doc 2 doc 1doc Costo 10 Bs 20 Bs n Bs

Cantidad Costo 1 docena 10 Bs. 2 docenas 20 Bs. 3 docenas 30 Bs. 4 docenas 35 Bs.

4.3 Suponiendo que existe una sexta clase de modelos (clasificados por funciones) llamada

modelos de decisión. Qué ejemplos de modelos dentro de esta clase.

Solución.

a) el proyecto de la instalación de una nueva unidad universitaria.

Objetivos del modelo. Instalar una nueva unidad universitaria. Análisis del sistema.


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Variables D = Numero de docente a contratar. U =Numero de universitarios que se inscriben. C = Costo de contratación por docente I = Inscripción por universitario. G (D,C) =Ganancia G (D, U, C, I ) = U*I - D*C Criterio de evaluación

El presupuesto que se va a gastar debe ser menor que la Inversión. Síntesis del sistema. Si C = 100 ; I = 50 son constantes

Verificación del modelo. G (D, U) = U*I - D*C El modelo esta adecuado para saber si las ganancias favorece al inversionista. Validación del modelo. Según los resultados de la síntesis del sistema se ve que los docentes se contrataran respecto a la cantidad de alumnos que se inscriban en la dicha universidad, el modelo es directamente proporcional, es decir, a mayor cantidad de universitarios mayor será el numero de docentes a contratar. Inferencias. El proyecto de la instalación de una nueva unidad universitaria es apto ya que no se encuentran problemas para la instalación.

b) la adición de una nueva línea a un sistema de transporte colectivo. Objetivos del modelo. Adicionar una nueva línea de transporte. Análisis del sistema.

Variables. N = Numero de coches para la nueva línea C = Costo de legalizar el coche para trabajar Cap = Capacidad de coche. T = Tarifa o pasaje G (Cap,N) = Ganancia de la compañía.

G(Cap,N) = Cap*N*T – C

Criterio de evaluación

D U F(D,U) 5 40 1500 10 50 1500 15 70 2000 20 50 500


Pag 85

El presupuesto que se va a gastar debe ser menor que la Inversión.

Síntesis del sistema. Si T = 2 ; C = 100

N Cap G(Cap,N) 10 20 30020 15 50040 10 70050 4 300

Verificación del modelo. G(Cap,N) = Cap*N*T - C

El modelo representa lo que queremos demostrar por ello el modelo esta acorde a nuestras necesidades. Validación del modelo. Viendo la síntesis del sistema, los resultados son considerados buenos ya que no nos muestra déficit en el proyecto y las ganancias son positivas, pero si la capacidad del coche es muy pequeña tendría que elevarse los pasajes. Inferencias. Adicionar una nueva línea de transporte será muy favorable para el que inversione en el proyecto ya que el uso de la nueva línea no trae problemas.

c) la instalación de una fabrica. Objetivos del modelo. Instalar una fabrica. Análisis del sistema. Variables. Cap = Capacidad de la fabrica

N = Numero de trabajadores C = Costo por trabajador P = Numero de productos a vender

CP = Costo por producto MP = Materia prima G(Cap,N,MP) = Ganancias G(Cap,N,MP,P) = Cap*P*CP - N*C-MP

Criterio de evaluación El presupuesto que se va a gastar debe ser menor que la Inversión.

Síntesis del sistema. Si CP = 20 ; C = 50

Cap N MP P G(Cap,N,MP,P) 50 30 150 50 48350 70 50 200 80 109300 90 70 250 100 176250


Pag. 86

100 90 300 150 295200

Verificación del modelo. G(Cap,N,MP,P) = Cap*P*CP - N*C-MP

El modelo se acomoda a las exigencias que requiere la fabrica. Validación del modelo. Observando los resultados de la síntesis del sistema se ve que la capacidad de la fabrica es primordial para una mejor ganancia. Inferencias. La instalación de una fabrica según su capacidad es muy favorable al inversionista mientras la capacidad de la fabrica sea mas grande para que su uso sea optimo.

4.4 Establesca los pasos mostrados en la fig.4.4.3 para:

a) El proyecto de la instalcion de una nueva unidad universitaria. b) La adición de una nueva linea a un sistema de transporte colectivo. c) La instalación de una fabrica.

Solución

a) Proyecto de la instalación de una nueva unidad universitaria.

Objetivos del modelo.

Instalar una nueva unidad universitaria.

Análisis del sistema.

Variables

Numero de docente a contratar. D

Numero de universitarios que se inscriben. U

Costo de contratación por docente C

Inscripción por universitario. I

Ganancia G (D, C)

G (D, U, C, I ) = U*I - D*C




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Síntesis del sistema.

Si C = 100 ; I = 50 son constantes

Verificación del modelo.

G (D, U) = U*I - D*C

El modelo esta adecuado para saber si las ganancias favorece al inversionista.

Validación del modelo.

Según los resultados de la síntesis del sistema se ve que los docentes se contrataran

respecto a la cantidad de alumnos que se inscriban en la dicha universidad, el modelo es

directamente proporcional, es decir, a mayor cantidad de universitarios mayor será el

numero de docentes a contratar.

Inferencias.

El proyecto de la instalación de una nueva unidad universitaria es apto ya que no se

encuentran problemas para la instalación.

b) la adición de una nueva línea a un sistema de transporte colectivo.


Adicionar una nueva línea de transporte.


Variables.

Numero de coches para la nueva línea N

D U F(D,U) 5 40 1500 10 50 1500 15 70 2000 20 50 500


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Costo de legalizar el coche para trabajar C

Capacidad de coche. Cap

Tarifa o pasaje T

Ganancia de la compañía. G(Cap,N)

G(Cap,N) = Cap*N*T – C




Si T = 2 ; C = 100

N Cap G(Cap,N) 10 20 30020 15 50040 10 70050 4 300


G(Cap,N) = Cap*N*T - C

El modelo representa lo que queremos demostrar por ello el modelo esta acorde a nuestras

necesidades.


Viendo la síntesis del sistema, los resultados son considerados buenos ya que no nos

muestra déficit en el proyecto y las ganancias son positivas, pero si la capacidad del coche

es muy pequeña tendría que elevarse los pasajes.

Inferencias.

Adicionar una nueva línea de transporte será muy favorable para el que inversione en el

proyecto ya que el uso de la nueva línea no trae problemas.

c) Instalación de una fabrica.


Pag 89


Instalar una fabrica.


Variables.

Capacidad de la fabrica Cap

Numero de trabajadores N

Costo por trabajador C

Numero de productos a vender P

Costo por producto CP

Materia prima MP

Ganancias G(Cap,N,MP) G(Cap,N,MP,P) = Cap*P*CP - N*C-MP




Si CP = 20 ; C = 50

Cap N MP P G(Cap,N,MP,P) 50 30 150 50 48350 70 50 200 80 109300 90 70 250 100 176250

100 90 300 150 295200


G(Cap,N,MP,P) = Cap*P*CP - N*C-MP

El modelo se acomoda a las exigencias que requiere la fabrica.


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Observando los resultados de la síntesis del sistema se ve que la capacidad de la fabrica es

primordial para una mejor ganancia.

Inferencias.

La instalación de una fabrica según su capacidad es muy favorable al inversionista mientras la capacidad de la fabrica sea mas grande para que su uso sea optimo.

4.5 Determine cuales son variables endógenas y exógenas en una maquina de combustión

interna. Solución

Se puede tomar como ejemplo de una maquina de combustión interna el sistema regulador de

temperatura de un horno industrial que tiene combustión interna.

Variables endógenas o variables internas del grafico serán:

Medidor de presión.

Control.

Accionador.

Válvula.

Variables exógenas o variables externas del grafico serán:

Aire.

Chimenea.

Combustible.


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Regulador.

4.6 Establesca un modelo formal (matemático) del péndulo de la Fig. 4.6.1 Solución

Figura 4.6.1

FM = M

FD = (D1 + D2)

FK = Kθ

El modelo (formal) matemático del péndulo será:

M + (D1 + D2) + Kθ = f (t)

4.7_La función de producción de una transformación es del tipo Cobb-Douglas y está dada por: P= 2 L0.3 K0.8

Determine las eficiencias marginales de los insumos, la relación técnica de sustitución y el factor de escala del proceso.

Solución

Productos marginales de los insumos:

LP∂∂ = 0.6 L-0.7 K0.8


Pag. 92

KP

∂∂ = 2 L0.3(0.8)K-0.2 = 1.6 L0.3 K-0.2

La relación técnica de suministros:

PLPK = 2.03.0

8.07.0

6.16.0

−

−

KLKL

PLPK =0.375 L-1 K

PLPK =0.375

LK

Factor de escala del proyecto:

λk P = 2(λ L)0.3 (λK)0.8

λk P = 2λ1.1 L0.3 K0.8

Introducción a los Sistemas de Control

Pag. 93


Introducción a los

Sistemas de Control

Richard Dorf

Problemas Resueltos de Richard Dorf

Pag. 94

1.1. Dibuje un diagrama esquemático de bloques para un sistema de calefacción doméstica. Identifique la función de cada elemento de sistema controlado termostáticamente.

SOLUCIÓN.- 1.2. En el pasado, los sistemas de control han usado un humano como parte de un sistema

de controlde red cerrada. Dibuje el diagrama de bloques para el sistema de control por válvula mostrado en la siguiente figura.

SOLUCIÓN.- 1.3. En un sistema de control de un proceso químico es de gran utilidad controlar la

composición química del producto. Para controlar la composición puede obtenerse una medida de ésta usando un analizador infrarrojo del flujo como se muestra en la siguiente figura. Puede controlarse la válvula del flujo del aditivo. Complete la red de

Domicilio

TermómetroTermostato

Temperaturaambiente

Temperaturareal en domicilio Temperatura

Lectura detemperatura

Aire calienteo frio

-

+

Medidor

Operadorhumano

Fluido

Cantidad realde fluido

Apertura deválvula

-

+


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retroalimentación de control y dibuje un diagrama de bloques que describa la operación de la red de control.

SOLUCIÓN.- 1.4. El control exacto de un reactor nuclear es importante para los generadores de

sistemas de potencia. Suponiendo que el número de neutrones presente es proporcional al nivel de potencia se usa una cámara de ionización para medir ducho nivel. La corriente i, es proporcional al nivel de potencia. La posición de las varillas de grafito del control moderan este nivel. Complete el sistema de control del reactor nuclear mostrado en la siguiente figura y dibuje el diagrama de bloques que describa la operación del a red de control.

SOLUCIÓN.-

+

+

Válvula-

+

+

Tubo deprueba

Analizadorinfrarrojo

-

Flujo desalida

Aditivo

Flujo principal

Nivel depotencia

+Cámara deionización Corriente

Varilla decontrol

Nivel desalida

-


Pag. 96

1.5. En la siguiente figura se muestra un sistema de control mediante una luz. El eje de salida esta controlado por el motor a través de un engranaje de reducción, tiene un freno unido a ella sobre el cual se montan dos fotocélulas. Complete el sistema de red cerrada a fin de que sistema siga la fuente de luz.

Engranajes Fotocélulas Motor

Campo Fuente de luz Corriente constante de inducido SOLUCION.- 1.6. Un sistema con retroalimentación no siempre es de retroalimentación negativa. La

inflación económica, que se caracteriza por una elevación continua de precios, es un sistema con retroalimentación positiva. Un sistema como este según se muestra en la próxima figura; agrega una retroalimentación a la señal de entrada y la señal resultante se usa como entrada del proceso. En la próxima figura se muestra un modelo simple de la espiral inflacionaria de los precios. Agregue redes adicionales de retroalimentación, tales que el control legislativo o el control de la relación de impuestos, a fin de estabilizar el sistema. Se supone que un aumento en el salario de los trabajadores, después de transcurrido algún tiempo, da como resultado un aumento de precios. Bajo estas condiciones ¿podrán estabilizarse los precios falsificando o modificando los datos sobre el valor del costo de la vida? ¿en que forma afecta el programa de control económico sobre precios y salarios, al sistema de retroalimentación?

Campo Constante delmotor Carga Engranaje Fotocélulas

Mecanismode dirección

Voltaje

Fuente de luz

Industria

Aumentoaumomático en el

costo de la vidaK1

ProcesoPrecios

SalriosRealesSalrios

iniciales

Aumento desalarios Costo

de vida


Pag. 97

SOLUCIÓN.- 1.7. Un sargento se detenía en una joyería cada mañana a las nueve y comparando el

cronómetro situado en uno de los escaparates a justaba su reloj. Un día el sargento entró al almacén y preguntó al dueño por la exactitud del cronómetro. ¿Está de acuerdo con las señales de la hora de Arlington?, preguntó el sargento. No, contestó el dueño. Lo ajusto según el disparo del cañón a las cinco en el fuerte; dígame, sargento, ¿porqué se detiene todos los días y comprueba la hora de su reloj? El sargento contesto: yo soy quien dispara el cañón. ¿Es la retroalimentación predominante en este caso positiva o negativa?. El cronómetro del almacén se atrasa un minuto cada 24 horas y el reloj del sargento se atrasa un minuto cada 8 horas. ¿Cuál será el error total en la hora del cañón en el fuerte después de 15 días?.

SOLUCIÓN.-

Salariosiniciales

+Cámara deionización

Aumentoautomático delcosto de vida

+

Salariosreales Precios

Controllegislativo

+

Aumento desalarios

Costo devida

k1

Impuestos

-

+

++

Aumento ensalario

Cronómetrohora enalmacén

+Cronómetro

sargento

Cañón

-

Hora encronómetro

sargentoHoraoficial


Pag. 98

1.8. El proceso de aprendizaje profesor - alumno es inherentemente un proceso con retroalimentación, tendiente a reducir a un mínimo el error del sistema. La salida deseada es el conocimiento que se estudia y el estudiante puede ser considerado como el proceso. Con la ayuda de esto, construya un modelo de retroalimentación para el proceso de aprendizaje e identifique cada bloque del sistema.

SOLUCIÓN.- 1.9. Los modelos de control fisiológicos son de gran ayuda para la profesión de medicina.

En la siguiente figura se muestra un modelo del sistema de control del ritmo cardíaco. Este sistema incluye el procesamiento por parte del cerebro de las señales nerviosas. El sistema de control del ritmo cardíaco es, de hecho, un sistema de múltiples variables, en donde x, y, w, v, u, z son variables vectoriales. En otras palabras, la variable x representa muchas variables x1, x2, . . ., xn del corazón. Examine el modelo del sistema de control del ritmo cardíaco y agregue o suprima bloques , si es necesario. Determine un modelo del sistema de control de tal manera que tome en cuenta los siguientes sistemas de control fisiológico:

- Respiratorio. - Adrenalina. - Brazo humano. - Ojo. - Páncreas y nivel de azúcar en la sangre. - Circulatorio.

Cronómetrohora enalmacén

+Cronómetro

sargento

ExamenPrueba

+

Enseñanza Cronómetrosargento

Resultado deaprendizaje

Conocimiento


Pag. 99

SOLUCIÓN.- 1.10. Las reacciones bioquímicas se regulan y controlan por medio de procesos controlados

con retroalimentación. Una célula es análoga a una factoría y las enzimas a sus máquinas de sistemas de retroalimentación controlan la producción. Uno regula la síntesis de la célula y el otro controla su actividad. La célula puede considerarse como un centro que mantiene por ejemplo, proteínas por medio de reacciones bioquímicas. En la siguiente figura se muestra la estructura de un modelo de retroalimentación para la síntesis del aminoácido L isoclina de la bacteria Escherichia coli. Complete el modelo de este sistema con retroalimentación. Obtenga un modelo para un proceso bioquímico semejante, tal como el crecimiento de las células de levadura.

Receptores de laexpansión del pulmón

Médulacerebral Corazón

Receptores depresión

Sistemavascular

Frecuencianerviosa Frecuencia

nerviosaRitmo

cardíaco

Presion

Frecuencianerviosa

u r w s

y

x

Entrada deL treonina

Salida deL isolenina- - -

-

+

Aire AparatoRespiratorio

+ ExpansiónPulmonar

OxígenoCorazón Corazón

Presión

+

Adrenalina

+

Impulsos

Frecuencianerviosa

VistaOjo

ImagenBrazo

Impulsosnerviosos

++

-


Pag. 100

SOLUCIÓN.- 1.11. El control automático del nivel mediante un flotador, se usó en el medio para

relojes de agua .El reloj de agua mostrado en la Fig. P1 – 11, se uso desde antes de cristo hasta el siglo XVII. Analice la operación del reloj de agua y establezca en que el flotador proporciona u control con retroalimentación para conservar la exactitud.

SOLUCION:

Escala de tiempo

Flotador

Orificio

Cantidadlevadura

inicial + Procesotermico Agua

Calor+

humedad Proceso decrecimiento

Cantidadde levadura

total

-

+- -


Pag. 101

Agua 1.12. Hacia 1750 Merkle inventó un engranaje de giro automático para molinos de viento.

El engranaje de cola en abanico que aparece en la siguiente figura, giraba automáticamente al actuar el viento sobre el molino. El molino de viento en forma de abanico, situado en ángulo recto con las aspas principales, servía para girar la torre. La relación del engranaje era de. Analice la operación del molino de viento y establezca la acción de retroalimentación para conservar las aspas principales dentro del viento.

SOLUCIÓN.- 1.13. La agencia de protección del medio ambiente esta desarrollando normas sobre

eminentes contaminantes, para aplicarlas alas centrales de energía a través de la nación con las normas establecidas sobre desperdicios al aire y al agua, una central de energía tendrá que ser verificada por censores del medio ambiente. Supóngase que la plata tiene dispositivos para medir la calidad del aire y del agua. Diseñe un sistema de control de una central de energía para verificar y mantener la operación de la planta

Recipiente

Recipiente

Flotador Orificio Recipiente 3

Control del Agua

Escala de tiempo

X

Viento+

Movimientode aspas

Giro detorre

Movimiento deengranaje

-

Movimiento

Energía paramovimiento


Pag. 102

dentro de las normas de calidad. Se puede suponer que la central vea un combustible fósil para generar electricidad.

SOLUCIÓN.- 1.14. Adam Smith (1723 - 1790) analizó el tema de la libre competencia entre los

participantes de una economía en su libro "La riqueza de las naciones". Puede decirse que Smith empleó mecanismos de retroalimentación social para explicar sus teorías. Smith sugirió que los participantes disponibles como un todo, comparan los diferentes posibles empleos y toman decisiones que ofrecen la mayor remuneración; y en cualquier empleo el pago disminuye según aumente el número de trabajadores solicitantes. Supongamos que r = total promedio de pagos de las actividades; c = total de pagos en una actividad particular; q = afluencia de trabajadores dentro de una actividad específica. Dibuje una red de retroalimentación que represente este tema.

SOLUCIÓN.- 1.15. La ley de la oferta y la demanda es básica en una economía libre. Esta ley básica

puede darse como un sistema con retroalimentación en el que la salida es el mercado real o el proceso de venta de un producto específico. La ley establece que la demanda del mercado para el producto disminuye conforme aumenta su precio. Asimismo, la ley establece que se obtiene un punto estable de mercado si y solo si la oferta es igual a la demanda. Dibuje un diagrama que tenga los cuatro bloques siguientes: proveedor,

EnergíaNormas Sensor de

medio ambiente

Proceso decontrol

++

Combustiblefósil

Aire Agua

Emisión decontaminantes

Electricidad

+++

+

Pago deactividades

Total depromedio pagode actividades

ActividadesAfluencia deTrabajadores

Numero detrabajadores

Numero deactividadesRemuneración

+ ++

-


Pag. 103

demandante, valuador y mercado. La entrada de mando es un cambio de precio de mercado igual a cero (r = 0).

SOLUCIÓN.-

- -

Demandante

ProductosProveedorValuador Mercado

PreciosPreciosreales

+

Demanda delproducto+

+

Consumo delproducto

Modelos Matemáticos de los Sistemas

Pag. 105

Ejercicios Resueltos del Capítulo II

Modelos Matemáticos

de los Sistemas

Richard Dorf


Pag 106

2-1.- En la Fig. P2-1 se muestra un circuito eléctrico. Obtenga un conjunto de ecuaciones diferenciales simultáneas que representan la red. Fig. P2-1 SOLUCION

222

112111)( iR

dtdiLiR

dtdiLdti

cRtV i −−++∫+=

dtdqR

dtqdL

dtdqR

dtqdLq

cRtV 2

222

2

11

1221

2

111

11)( −−+++=

11)()( 222

22

111

2121

2

1 Ecuaciondt

dqRdt

qdLqcdt

dqRRdt

qdLtV −−+++=

11

12

12

2

222

10 RidtdiL

dtdiL

dtidLdti

c+−++∫=

21)(0 22

12

222

22

122

2

21 Ecuaciónqcdt

dqRdt

dqRdt

qdLdt

qdLL +−+−+=

ENTIDADES ATRIBUTOS ACTIVIDADES Reostato Coef. Resistencia Relacion I Condensador Coef. Capacitor Ley de Ohm Bobinas Coef. Inductancia Ley de Kirchof Generador Voltaje i = dq / dt Electrones Intensidad de tiempo

I1 I2

C2

L2C1

R2

L1

R1


Pag. 107

2-2.- En la Fig. P2-2 se muestra un absorbedor de vibraciones dinámicas. Este sistema representativo de muchas situaciones en que se presenta vibracion de maquinas que contienen componentes desbalanceados, los parámetros M2 y K1 2 pueden elegirse de tal forma que la masa principal M1 no vibre cuando F(t) = a sen w0t a) Obtenga la ecuación diferencial que describe el sistema. b) Dibuje el circuito eléctrico análogo basado en la analogía fuerza-corriente. Fig. P2-2 SOLUCION a)

22112212

1121212111)(yMykyk

yMykykyfyktF&&

&&&

=+−=+−+−

)()()(

)()()()()()(

221

122

12

112

121

1211

1

ssVMssVk

ssVk

ssVMssVk

ssVksfV

ssVksF

=+−

=+−+−

0)()()(

)()()()(

2212

112

212

121

1

=+−

=++−+

sVsMs

ksVs

k

sFsVs

ksVskf

sksM

M1

M2

f k1

k12

y1(t)

y1(t)

F(t)


Pag 108

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−+

0)(

)()(

2

1

21212

121211 sF

sVsV

sMs

ks

ks

ks

kfsksM

2122

12111

212

1

2122

12111

212

1

)())((

)(

)()()(

:es ncia transferedefunción La

)())((

)()()(

sksM

sk

skf

sksM

sMs

k

sFsVsG

sksM

sk

skf

sksM

sFsMs

k

sV

−+−+−+

+−==

−+−+−+

+−=

b) 2-3.- En la fig. P2-3 se muestra un sistema acoplado de resortes y masas. Se supone que las masas y resortes son iguales (a) Obtenga la ecuación diferencial que describe el sistema. (b) Dibuje un circuito eléctrico análogo basado en la analogía fuerza-corriente. Fig. P2-3 SOLUCION

L12 L1

C2

C1

R

V(t)

V1

V12

M1

M2

K K

F(t) X1(t) X2(t)

f B


Pag. 109

Para M1 ∑ F= m*a -k x1 – k x2 - k x1 = M d2x1

dt2

M d2x1 + 2k x1 - k x2 = 0……………(1) dt2

Para M2 ∑ F= m*a -k x2 - k x1+ B d2x1 + f = M d2x1

dt dt2

M d2x1 + B d x2 +k x2 + k x1 =f……………(2)

dt2 dt

CIRCUITO 2-4.- Un amplificador no lineal puede describirse por las siguientes característica:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥

0

02

2

enen

enen

vv

vv

K

K

El amplificador operará un rango para ven de –2 volts a 2 Volts. Describa el amplificador dentro de una aproximación lineal: (a) cuando el punto de operación es ven = 0 (b) cuando el punto de operación es ven = 1 Obtenga un bosquejo de la función no lineal y la aproximación para cada caso.

SOLUCION

-2 -1 0 1 2

AMPLIFICADOR

L1

I1 I2C1

R2R1 VDC VDC

I3

V(t)


Pag 110

V1 = h11I1 + h12V2 I2 = h21I1 + h22V2 h11I1 =Resistencia

h12V2 = Fuente de Tensión h21I1 = Corriente

h22V2 = Corriente

2-5.- El fluido que pasa por un orificio puede representarse mediante la ecuación no lineal

,)( 2/121 PPKQ −= donde las variables se muestran en la Fig. P2-5 y K es una constante (a)

Determine una aproximación lineal para la ecuación del paso del fluido (b) ¿Qué le sucede a la aproximación obtenida en (a) si el punto de operación es P1 – P2 =0? Fig. P2-5 SOLUCION

.......)(!3

)()(!2

)()(!1

)()()( 3'''

2'''

+−+−+−+= axafaxafaxafafxf Con a=0

Red de dos puertos

I2I1

V1 V2

V2

I2

h22

h21I1

V

^

Q P1 P2


Pag. 111

.......!2

)(!1

)0()()( 2'''

xafxfafxf ++=

xydxdy

fdydydfx

dxdffyxf

2)0,0(),( +++=

1

21

1

21

11

1

2212

2

221

1

1211

1

2

21

1

12

21

21

2(

2

2221

21

02

1

0...........2

1

02

1

)0,(),0()0,0(

),(

PPPKQ

PPKPKQ

PK

dPdQ

conPPP

KdPdQ

PP

KdPdQ

conPPP

KdPdQ

dPPPdQ

dPPPdQQQ

PPQPPKQ

−=

==

−=

=−

−=

<−

=

=−

=

++=

−=

2-6.- Usando La transformación De La Place, Obtenga La corriente I2(s) De la figura que se muestra. Suponga que todas las corrientes iniciales son cero, el voltaje inicial a través del capacitor es cero, v(t).

I1 I2

C2

L2C1

R2

L1

R1


Pag 112

2-7.- Obtenga la función de transferencia del circuito diferenciador mostrado en la Fig. P2-7 Fig. P2-7 SOLUCION

cRRRRscRs

VV

2121

1

1

2

)(/1+++

+=

2-8.- Una red de puente en T frecuentemente se usa en sistemas de control de cd compuesto de filtro. En la fig.P2-8 se muestra el circuito de una red de puente en T. Demuestre que la función de transferencia de la red es:

222121

22211

)2(121

)()(

sCRRCsRRsCRRCsR

sVsV

en

sal

+++++

=

Dibuje el diagrama de polos-cero cuando R1 = 0.5, R2 = 1 y C = 0.5. Fig.P2-8 SOLUCION

222121

22211

)2(121

)()(

sCRRCsRRsCRRCsR

sVsV

en

sal

+++++

=

CEROS 021 22

211 =++ sCRRCsR 01)2()( 122

21 =++ sCRsCRR 01)5.0*5.0*2()5.0*1*5.0( 22 =++ ss

01*5.0*125.0 2 =++ ss

acabb

*2**4.

2 −±−

R1

V2(s) C

R2 V1(s)


Pag. 113

125.0*2

1*125.0*45.05.0.2

1−+−

=s 2111.0.1 −=s

125.0*2

1*125.0*45.05.0.2

2−−−

=s 7888.32 −=s

POLOS

0)2(1 222121 =+++ sCRRCsRR 01))2(()( 21

2221 =+++ sCRRsCRR

01)5.0*)15.0*2(()5.0*1*5.0( 22 =+++ ss 01*125.0 2 =++ ss

125.0*2

1*125.0*411.2

1−+−

=s 1012.0.1 −=s

125.0*2

1*125.0*411.2

2−−−

=s 8987.72 −=s

Jw

6j

4j

2j

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Como algunas de las constantes son imaginarias, entonces no se encuentra en el lugar geométrico. 2.9 Determine la función de transferencia X1(S)/F(S) para el sistema acoplado resorte-

masa del problema 2-3. Dibuje el diagrama de polos ceros en el plano s para baja amortiguación cuando M= 1, f/k=1 y


Pag 114

0256.00512.048.0016.016.016.0sG(s)

16.0/f 1,m 1,f/k: valoreslosCon

)()(

)(

:)2)((

:

0)(

)()(2

: tenemosmatriz laen oescribiendy ecuaciones lascon Laplace de ada transformla Tomando

0)(xM)()(xM

34

2

2

21

222

2

12

2

2122

2111

+++++

=

===

Δ++

==

−+++=Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−−+

=+−+=−++

sssss

Mk

kFsMssFsX

sG

TambienkkMskFsMs

donde

sFsKsK

kFsMskkkMs

xfxxktFxxkkx

&&&

&&


Pag. 115

2.10 Determine la función de transferencia Y1(s)/F(s) para el sistema absorbedor de vibración del problema 2-2. Determine los parámetros necesarios M2 y K12 de tal forma que la masa M1 no vibre cuando F(T) = a sen wot.

2

12222212

2

22212

22

1

0

122

122

21212

1

1212

112

12122

2

2

1

2

1

122

212

121212

1

2122

2111

o )()/(

)()()/(

)(

: tenemos wf(t)a(sin) ))((

:

1)()(

0

)()()(

: tenemosmatriz laen oescribiendy ecuaciones lascon Laplace de ada transformla Tomando

0)(xM)()(xM

Mk

wwsMks

swsMkswaM

sY

dadotTambienkksMkkfssM

dondekkfssMk

kksMsYsY

ósF

sYsY

ksMkkkkfssM

xfxxktFxxkkx

oo

o

o

=+=+

Δ+

+=

−++++=Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++

Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−+++

=+−+=−++

&&&

&&

2.11.- Para los sistemas electromecánicos que requieren una grn amplificación de potencia frecuentemente se usan amplificadores rotacionales. Una amplidina es un amplificador de potencia rotacional. En la fig. P2-11 se muestra una amplidina y un servomotor. Obtenga la función de transferencia θ(s) V0(s) y dibuje el diagrama de bloques del sistema. Fig. P2-11 Solución

3

21

32

21

)))(()(()((

)(/)()(/)(

)(/)(:

)))((()(/)(

))(()(/)(

KkRRsLLfJsRsLRsLskkk

sVsVsVs

sVsueramadebloqparaeldiag

sKKRRsLLfsJsK

sVs

RsLRsLkk

sVsV

madadqqcc

m

cd

dd

madad

md

ccqqcd

+++++++=

=

+++++=

++=

θθ

θ


Pag 116

Rf

Lf

GENERADOR

Lg RfRg

Ljvg

2-12.- En la siguiente figura se muestra un sistema de control electromecánico en red abierta con un generador, que se mueve a una velocidad constante, proporciona el voltaje del campo para el motor. El motor tiene una inercia Jm y soporta un rozamiento fm. Obtenga la función de transferencia y dibuje un diagrama de bloques. El voltaje del generador puede ponerse proporcional a la corriente del campo. Fig. P2-12

Rf Lg Rg Rf Vf Lf vg Lj

SOLUCION

GENERADOR MOTOR ENGRANAJES

CARGA

Proporcionael voltaje

Mueve losengranajes

Gira la carga

Energía parael generador

Movimientodel sistema

1/Ls+Rc

K1

1/Lqs+Rq

K2

1/(Ld+La)s+Rd+Ra

Km

1/Js+f

1/s

K3

Vc

Ic

Vq

Iq

Vd +

Vb

ω Tm

Id θ

__


Pag. 117

2.13 En la fig. P2-13 se muestra el sistema de paso de un fluido donde un fluido incomprensible pasa hacia un tanque abierto. Suponga que el flujo es laminar; podemos suponer que el cambio de flujo de salida es proporcional al cambio en la cabeza .En el estado estacionario Q1=Q2 y Q2=Kh . Usando una aproximación lineal, obtenga la función de transferencia del tanque, Q2(s)/ Q1(s). Solución.

sLRRRsLLnsfsJsfsJnKK

sVs

sVsLR

KsIKsV

sVRRsLL

sI

sIKspero

ssndonde

ssfsJnsfsJnsnsfsJssfsJs

fffgfgmmLL

mg

f

L

fff

gfgg

gfgfg

g

gm

mL

LmmmmLLLmmm

))()((/)(()()(

:obtenidas sexpresione algumas combinando

)()()(

)()(

1)(

);()(T

)(/)(:

)()/)(()()()()()(T:por dado esta Toruqe El

222

m

2222m

+++++++=

+==

+++=

=

=

+++=+++=

θ

θθ

θθθ

2-14.-Una carga giratoria se conecta a un motor eléctrico de cd controlado por campo a través de un sistema de engranajes. Se supone que el motor es lineal. En una prueba se obtiene que en la carga de salida se alcanza una velocidad de 1 rad/seg en ½ seg cuando se aplica un voltaje constante de 100 v a las terminales del motor. La velocidad de salida en el estado estacionario es de 2 rad / seg. Determine la función de transferencia del motor,

)()(svfsθ en rad / vi . Puede suponerse que la inductancia del campo es despreciable Fig. 2-15,

Asimismo, observese que la aplicación de los 100 y a las terminales del motor es una entrada de escalón con una magnitud de 100 v. Fig. 2-15 Motor eléctrico de cd controlado


Pag 118

Carga de salida

v.100deentradasegrad2velocidad

100v. ctte voltaje

)21(

segrad1 velocidad

=

=

= seg

SOLUCION - Función de transferencia

Km=constante del motor =100v

1))(1()()(

)()*)(()(

)(

++=

+++

=

sfssfRfkm

svfs

sdRffsLfjs

Kmsvfs

L

s

ττθ

τθ

LfsRf +1 Km

xfJs +

1

S1


Pag. 119

segrad

svfs

v

segrad

vsvfs

segrad

fJsS

segradsegradsegradvsve

entradacorrienteLfsRf

5.0)()(

100)100)(2(

100)()(

2)(

1

22

/2)2(/1

100 de 1

=

+=

=+

=+

=+

==+

θ

θ

2-15.- Un conjunto algebraico de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

32

102410013

32

xxx1

xxx1

Dibuje la gráfica del flujo de señal para la ecuación matricial. Calcule el determinante de la matriz con las f´ormulas algebraicas de Cramer y la de ganancia de la red. SOLUCION

X1 = 3x1 – x2

X2 = x2 +4 x3

X1 = 3x1 – x2


Pag 120

X1

X3

X1

X2

X2

x3

calculando la matriz por el método de cramer se tiene

Determinante=

Determinante de la Matriz = 3(1.1-0)-(-1)(0-8)+0 Determinante de la Matriz = -5

2-16.- Obtenga

X1 + 2x2 =A/B

2X1 + 3x2 =13/B

X1 =A –2 x2

3 -1 0

0 1 4

2 0 1

3

2

1

4


Pag. 121

X1 = Bx1 –3 x2/2

R/V

X2 = 2A – B

X1 = 2B –3ª

A=8

X1 X2

B=13

DE ACUERDO AL GAFICO

X1 =8*3*(-1)+13*2; X1 = 2

X1 =8*2+13(-1) ; X1 = 2

2.17

K1(X1-X2) K2(X2-X3)

F1 F1 F2 F2

M1 g M2 g

a)

las dos ecuaciones seran>

M1 g =k1)(x1-x2)+2f1 ---------------- 1211121

2

1 2)()( ftxKtxKdt

xDM +−=

M2 g =k2(x2-x3)+2f2 ---------------- 2322222

2

2 2)()( ftxKtxKdt

xDM +−=

3 2

2

M1 M2


Pag 122

b)

L )2)()(( 1211121

2

1 ftxKtxKLdt

xDM +−=

POR TANTO

12112

12 2)()(()( fsxsxsKsxMs +−=

23222

22 2)()(()( fsxsxsKsxMs +−=

C)

X2(S) X1(S)

d) DE UNO Y DOS SE TIENE

SKMS

SKMSSKSKsxsx

113

223

122

2

1

)()(

−−+−

=

2.16 Obtenga una grafica de señal para representar el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas donde x1 y x2 se consideran variables dependientes y 8 y 13 son las entrada:

x1 +2x2=8 2x1 +3x2=13

determine el valor de cada variable dependiente usándola formula de la ganancia. Depuse resuelva para x1 por la formula de Masson verifique la solución usando la regla de Cramer Solución.

(S3M1-K1S)-1 M2S3+S(K22-K1-

K2)


Pag. 123

)()(1)()()()()(

)()(

:)()( xde ciaTransferen defuncion La d)2.17 Fig. laen muestra es flechas de diagrama El

)(

)(:

)()(/1)()(/1)(

)(:

)()()())((

)()()()M:Laplace de ada transformla Tomando )

0)()()(M0)()(M

: tenemos2y 1 masa la Para )

322

1

343211

3

1

13

1112

21222

14

3

2

221

32222122

211

31211112

1

12123232222

13121111

sGsGKsGsGsGsGsGK

sxsx

essaxs

ksfMssq

kksfMsspDodne

sfsGsqsGspsG

sfKsGLuego

sxsKfsXKKsfsMsXK

ssxfsxKsxKsfsb

xxKxxfxxKxxxfxxKx

a

−+

=

++=

+++=

===

+=

=+++−

=−++

=−+−+−+=−+−+

&&&&

&&&&

2.17 En la fig. P2.17 se muestra un sistema mecánico sujeto a un desplazamiento conocido x3(t) con respecto a la referencia. (a) determine las dos ecuaciones independientes de movimiento (b) Obtenga las ecuaciones de movimiento n ermins de la transformada de Laplace suponiendo que las condiciones iniciales son iguales a cero (c) Dibuje una grafica del flujo de señal que represente el sistema de ecuaciones (d)Obtenga la relación entre x1(s)y x3(s) T13 (s) empleando la formula de la ganancia de Masson Compare el Trabajo necesario para obtener T13 (s)Por métodos matriciales utilizando la formula de la ganancia de Masson. Solución.

432143212321

4321

1

2

1)()(

:es ciaTransferen defuncion La

ZYZYZYZYZYZYZYZY

sVsV

+++++=

2.18 En la Fig. P2,18 se muestra una red LC en escalera Podemos describir las ecuaciones la red como sigue:

l1 =(V1 -Va) Y1, Va = ( l1 - la ) Z2 la =(Va -V2) Y3, V2 = la Z4


Pag 124

Construya una gráfica del flujo a partir de las ecuaciones y determine la función de transferencia V1 (s) y V2(s) Solución. La ecuación del voltaje es:

fin

f

in

fini

RRR

kev

kakAluegodondeA

RRR

k

dondekA

Aev

arasolviendop

vRR

RevAvv

+==

≈+≥

+=

+=

+−==

1

10

1

1

0

01

110

1/

,1,1

:1

/

:Re

,

2.19 En la Fig. P2.19 se muestra un amplificador electrónico con retroalimentación placa a rejilla. Dibuje una grafica del flujo de señal que represente este circuito amplificador y muestre Determine la función de transferencia del amplificador con retroalimentación suponiendo que este tiene una alta ganancia y por tanto que gmRL es mucho mayor que los otros términos Finalmente determine la función de transferencia (a) cuando Zf(s)= RL (b) Zf(s)=1/C f(s) Solución.

flechas de diagrama el muestra se Fig.P2.20 laEn )

95.02120

: 20con )1

o )(

v

y RRRR Luego ;RRy RR asume Se )

gs

221s1ssg

cee

tenemosRgbRg

Rgee

eegvgRe

ee

a

in

o

sm

sm

sm

in

ooinmgsm

s

o

oin

==

=+

=−==

−=

≈+=≥≥


Pag. 125

2-20.- En la Fig. P2-20 se muestra el diagrama del circuito y la gráfica del flujo de señal para un amplificador acoplado por cátodo. Este circuito es básicamente un seguidor de cátodo que excita a un amplificador en cascada con rejilla a tierra. Determine la ganancia del amplificador. Fig. P2-20

Ven

e1

g1u

1rp1

i1R

v2 u2 +1

1rp2 +RL

i2RL Vsal

-1

-1

-R

SOLUCIÓN

Ven

e1

g1u

1rp1

i1R

v2 u2 +1

1rp2 +RL

i2RL Vsal

-1

-1

-R

L 2L 1

L 3

Hallamos la ganancia o función de transferencia:

∑ ΔΔ

=k

kkPP 1

Donde: Pk = ganancia o transmitancía de la k-esiana trayectoria de recta. Δ = determinante del gráfico. Δ k = cofactor de determinante de la k-esiana trayectoria de recta, eliminando los lazos que toca la trayectoria. Para K = 1 por ser una sola trayectoria.

RLiRLr

uvRir

uePPpp

igk **1*)1(****1***1 22

2211

1 ++==

3211 lll−=Δ Como todos los lazos tocan la trayectoria entonces tenemos:

11 =Δ=Δ k Cada uno de los lazos tiene el siguiente valor:

211

11 ***1* vRir

ulp

−=


Pag 126

211

2 ***1 vRir

lp

−=

RiRLr

uvlp

**1)1(* 22

223 ++−=

Entonces la ganancia o función de transferencia es:

)1)1()(1)(1(1

1)1(1

22

22221

211

1

22

2211

RiRLr

uvRvir

Rvir

u

RLiRLr

uRvir

ueP

ppp

ppig

++−

++

=

Simplificando:

)1)1()1((1

1)1(1

22

23

232

12

11

22

2211

iRLr

uvRir

u

RLiRLr

uRvir

ueP

VV

pp

ppig

ent

sal

++−

++

==

2-21.- En la fig. P2-21 se muestra un servomecanismo hidráulico con retroalimentación mecánica[12]. El pistón de mando tiene un área igual a a. Cuando se mueve la válvula una pequeña cantidad Δz , entonces el aceite fluirá a través del cilindro a una tasa p*Δz, donde p es el coeficiente de la obstrucción. Se supone que la presión de entrada del aceite es constante. (a) Determine la gráfica del flujo de señas de red cerrada para este sistema mecánico. (b) Obtenga la función de transferencia de red cerrada Y(s)/ X(s). Fig. P2-21 SOLUCION FUNCION DE TRANSFERENCIA

14314321

)()(

HGGGGGG

SxSy

+=

Acciona

G1

X(S) Presion de

Entrada

Control de Aceite

H1

Fuerza de Entrada

-

Y(S) Piston Cilindro

de Mando

G3 G4 G2

+ -


Pag. 127

2.22 Un modelo del cuerpo humano para el estudio de las vibraciones considera diversas secciones del cuerpo como sistemas amortiguadores masa-resorte. En la Fig. P2.22se muestra una analogía sencilla de tres masas del cuerpo humano se han mostrado excelentes comparaciones entre el modelo y los resultados experimentales. (a) Obtenga una grafica del flujo de señal que represente ese sistema. (b) Escriba las ecuaciones que describan la dinámica del sistema. (c) Determine la función de transferencia x4 (s) / x5(s) Solución

)((()1(

vv

saliday entrada ain

ce

foeier

fie

RhhhRhR

L+−+−

+−=

ββββ

2.23 En la Fig. P2.23 se muestra el circuito equivalente para la señal pequeña para un amplificador para transistores con emisor común. El amplificador de transistores incluye una resistencia de retroalimentación Rf. Obtenga un modelo de grafica de flujo de señal para el amplificador con retroalimentación y determine la relación entrada y salida Vce/Vent Solución. El nuevo voltaje obtenido es

2111211121

2121

)1)(())(()(

βββββ

LicY

L

RRRRRhRRRRRR

eineout

+++++++

=

La corriente nueva encontrada es

211

2 ββ=b

c

ii

La salida de inductancia es

21

2111211121

1

)1)(())((RR

RRRRRhRRRiCin LicG

b +++++++

=βββ

Cuando es muy largo tenemos aproximadamente

21

211

1 RRRR

ic L

b

in

+≈

ββ

2-24.- En la fig.(a) se muestra un amplificador de dos transistores en serie con retroalimentación por voltaje. Este circuito equivalente de ca excluye a las resistencias de polarización y los �apacitares en paralelo. En la fig. (b) se muestra la figura del flujo del flujo de señal que representa al circuito. Esta gráfica desprecia los efectos de hre lo cual es generalmente una aproximación adecuada y supone que (R2 + RL) > R1. a) Determine la ganancia de voltaje. Esal / eEn.

Fig. P2-24


Pag 128

ie2

ie1 ib

Rg

R2

Een V e1 i2

R1 RL esal

il

een 1 1/Rg+hic1 B1B2 RL esal l2 l1 -1 (1+B1)R1 R1+hi R1+R2 SOLUCION K =1

Δ = 1 – (l1 + l2) + 0 – 0 ΔK = Δ1 = 1

1

21

1 211

1 1 hicRRBB

hicRk ggRBBpp ++ ⇒••==

)(1211

1 11

1121

1

1

1)1( hicRhicR

RRBBhicR

RhicR gggg

RBBl ++++ −⇒−•••=

1

11

1

)1(11

12 )1()1( hicR

RBhicR gg

RBl ++

+ −⇒−•+•=

)(1 21

121

11ll

P HiCGRRBB

P +−ΔΔ +⇒=


Pag. 129

2.25 La ecuación de movimiento de masas en el modelo del robo son: Mx + (x-y)+k (x-y) = F (t)

my + f (y-x)+k (y-x) = 0

Tomando la transformada de Laplace se escribe en la matriz de la siguiente forma

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++−

+−++0

)()()(

)( 2

2 sFsYsX

kfsmskfskfskfsMs

Resolviendo Y(s) encontramos:

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+=

mks

mf

Mmss

kfsmM

sFsY

1

1

)()(

22

2-26.- Los sistemas de gasoductos son componentes de un sistema nacional de distribución de energía a industrias y residencias. En la fig. P2-26 se muestra un modelo de dos cámaras

de un gasoducto. Las ecuaciones linealizadas son:

CQppp 132

2 ++−

=ττ

CQppp 332

3 +−=ττ

)(111)11(

)21(1121

121

HiCGRRB

RRHiCGRRlRBB

HiCGRRBB

P+

+++

+

−−−=

11)11(

)21(1121

121

1 HiCGRRB

RRHiCGRRlRBB

HiCGRRBB

P++

++

+

++=


Pag 130

2334

1121

RQpp

RQpp

+=

+=

Donde τ = R2C y C=capacitancia de cada cámara de la línea. Desarrolle un diagrama de flujo de señal para el sistema usando un integrador (1/s) entre p y p. Entonces determine la presión P4(S) como una función de Q1(S) y Q3(S). El propósito de introducir después un regulador entre Q3(S) y Q1(S) es para mantener una respuesta de presión deseada p4(t), en el tubo de salida. Fig. P2-26 SOLUCION

Q2 = Flujo interno P1 = Presión de entrada P2 * P3 = Presión interna P4 = Presión de salida R1* RL* R2 = Resistencias

P2 Flujo de entrada Q1 P1 Q2 P3 P4

Q3

Flujo de Salida

R1 RL R2

Flujo de entrada P2+Q1

R1 12

213

+CRRQP

1

34 )(

QQtP =

s1

Integrador

Presión de entrada

Presión Interna

12

232

++CR

RQP

Presión Interna

Q2

+ -

Una Panorámica del Enfoque de Sistemas

Pag. 1



George J. Klir

Problemas Resueltos de George Klir

Pag. 2

1.1.Hallar un sistema del campo de su interés para cada una de las cinco definiciones

básicas de sistemas. Mostrar para cada ejemplo una correspondencia biunívoca entre todos los rasgos que se mencionan en la definición y la interpretación de los mismos en su ejemplo particular.

Definición 1.- Sistema: Calificaciones Pruebas parciales (0..30) Practicas (0..15) Proyecto (0..25) Final (0..30) Definición 2.- Sistema: Temperatura en Oruro. t= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Temp. º C 5 5 8 5 3 4 9 10 13 4 Definición 3.- Sistema: Demanda de un bien. QD=1/P Definición 4.- Sistema: Industria Minera. 2 consume 1 consume 5 3 exporta vende 6 vende 4 7 exporta 8 consume consume Definición 5.- Sistema: Puerta automática.

Industria Minera

10 %

30 %

60 %

45 %

30 %

20 %

5 %


Pag. 3

1.2.Algunas relaciones entre variables reales están dadas en forma de las siguientes ecuaciones. Determinar para cada relación si es causal o no.

(a) y = 1 - x2

(b) y = 1 - x

(c) y2 = 1 - x2

(d) y =⏐1 - x⏐

(e) y = e-2x cos x

(f) y = tan x

(g) y = 1/x + x/y

(h) y = x2 + z2 + 1

(i) y = x + z2 + 1

(j) p V = R T (Ley de Boyle y Mariotte para los gases perfectos). Solución.- (a) Relación causal.y=f(x), ya que y depende de modo único de 'x'. (b) No es relación causal, ya que las dos variables se pueden expresar como función una de la

otra. x = 1-y. (c) No es relación causal, ya que las dos variables se pueden expresar como función una de la

otra. x2 = 1 - y2 (d) Relación causal y=f(x), ya que y depende de modo único de 'x'. (e) Relación causal y=f(x), ya que y depende de modo único de 'x'. (f) Relación causal y=f(x), ya que y depende de modo único de 'x'. (g) No es relación causal, ya que las dos variables se pueden expresar como función una de la

otra. (h) Relación causal y=f(x,z), ya que y depende de modo único de 'x' y 'y'. (i) No es relación causal, ya que dos variables se pueden expresar como función una de la otra. x

= y - z2 - 1 (j) No es relación causal, ya que las cuatro variables se pueden expresar como función una de la

otra. p=RT/V V=RT/p R=pV/T T=pV/R

Estado Actual EstadoDe la puerta

Control de lapuerta

PersonasCerca

PersonasLejos

Abrirpuerta

Mantenercerrada


Pag. 4

1.3.Algunas relaciones entre variables discretas están dadas en forma de las siguientes tablas. Determinar para cada relación si es causal o no.

(a) (b) (c)

x y z x y z x y z 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 0 0 2 0 0 2 1 0 1 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 2 0 0 2 1 0 2 1 0 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 0 2

Solución.- (a) Relación causal z=f(x,y) ya que z depende de modo único de x y y. (b) No es relación causal ya que toda variable puede expresarse como una función de las otras

dos. (c) Relación causal y=f(x,z) ya que y depende de modo único de x y z. 1.4.Determinar si la relación atemporal de la siguiente actividad es causal si

(a) sólo se consideran valores instantáneos de las cantidades; (b) se consideran dos valores consecutivos de cada cantidad.

t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15x = 0 1 1 2 1 0 0 0 2 0 1 1 1 0 2 2 y = 0 0 1 1 2 1 0 0 2 1 0 1 1 2 2 2

Solución.- (a) No es causal ya que tanto 'x' como 'y' pueden expresarse una como función de la otra. (b) Causal y(t)=f(x(t),x(t-1),y(t-1)) ya que el 'y' actual depende de modo único tanto del 'x' actual

como del 'x' y del 'y' pasado. 1.5.Un historiador se interesó particularmente en tres culturas antiguas C1, C2 y C3.

Investigó más de 100 lugares donde esperaba descubrir algún resto de aquellas culturas. Descubrió o bien ninguna de las tres culturas, o la C1 sola, o las C2 y C3 juntas, o las C1 y C2 mezcladas. Por tanto, descubrió que existía relación entre las existencias de las tres culturas. ¿Es esta relación causal si no se conoce nada más sobre C1, C2 y C3?

Solución.- Sí, la relación es causal. Sea C1, C2 y C3 igual a cero si la cultura no estaba presente e igual a 1 si es que estaba. Entonces la relación puede expresarse de la siguiente manera:


Pag. 5

C1 C2 C3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 La relación causal será C3=f(C1,C2). 1.5.1. Sea un sistema definido por las siguientes cantidades bivalentes: Las cantidades a y

b representan posiciones de los interruptores A y B respectivamente. Se distinguen dos posiciones para cada uno de los interruptores, representados por 0 y 1 (a,b=0,1). La cantidad m representa los recursos eléctricos. Se distinguen dos valores, es decir, o está presente un voltaje de 110 voltios (m=1) o no (m=0). La cantidad l representa la luz de una lámpara. Se distinguen dos valores según que la lámpara esté encendida (l=1) o no (l=0). Si la luz de la lámpara pueden encenderse y apagarse por cualquiera de los dos interruptores, y l = 0 para a = b = 0, determinar: (a) El comportamiento permanente del sistema. (b) Una actividad del sistema que contenga todas las relaciones locales entre las

cantidades dadas. (c) La estructura ST del sistema. (d) Una estructura UC mediante la cual se produzca el comportamiento del sistema

(los elementos del sistema son los dos interruptores, la lámpara y los recursos). Solución.- (a) a b m l 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 (b) t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 b = 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 m = 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 l = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1


Pag. 6

(c)

(d)

1.6.¿Cuántos niveles de resolución estructural diferentes existen para un sistema: (a) Que contiene tres elementos cuyos comportamientos no son descomponibles? (b) Que contiene dos elementos cuyos comportamientos pueden descomponerse

unívocamente? Solución.- (a) 5(número de particiones en a1,a2,a3) (b) 18(número de particiones del conjunto de todas las descomposiciones de los elementos). 1.7.¿Cuáles de las siguientes actividades que contienen una sola variable son consistentes

con el comportamiento

(x(t) - x(t-1))2 = 1 ? (a) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (b) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 (c) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 1 (d) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 (e) 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 (f) 4 3 2 3 4 5 6 7 6 5 6 7 8 (g) 0 2 4 6 8 6 8 6 4 2 0 2 4 (h) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0

Solución.-

INTERRUPTOR1

INTERRUPTOR2

RECURSO

LAMPARA 0/10/1

0/1

0/1

1 2

3 4

5

7 8

6


Pag. 7

(a) t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 1 0 12 0 1 13 1 0 14 0 1 15 1 0 16 0 1 17 1 0 18 0 1 19 1 0 110 0 1 111 1 0 112 0 1 1

consistente (b)

t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 0 1 12 1 0 13 0 1 14 1 0 15 0 1 16 1 0 17 0 1 18 1 0 19 0 1 110 1 0 111 0 1 112 1 0 1

consistente (c)

t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 8 9 12 7 8 13 6 7 14 5 6 15 4 5 16 3 4 17 2 3 18 1 2 19 0 1 110 1 0 111 0 1 112 1 0 1

consistente (d)


Pag. 8

t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 1 0 12 2 1 13 3 2 14 4 3 15 5 4 16 6 5 17 7 6 18 8 7 19 9 8 110 8 9 111 7 8 112 6 7 1

consistente (e)

t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 -1 0 12 0 -1 13 -1 0 14 0 -1 15 -1 0 16 0 -1 17 -1 0 18 0 -1 19 -1 0 110 0 -1 111 -1 0 112 0 -1 1

consistente (f)

t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 3 4 12 2 3 13 3 2 14 4 3 15 5 4 16 6 5 17 7 6 18 6 7 19 5 6 110 6 5 111 7 6 112 8 7 1

(g)


Pag. 9

t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 2 0 42 4 2 43 6 4 44 8 6 45 6 8 46 8 6 47 6 8 48 4 6 49 2 4 410 0 2 411 2 0 412 4 2 4

No es consistente (h)

t x(t) x(t-1) (x(t)-x(t-1))^21 0 0 02 0 0 03 1 0 14 1 1 05 1 1 06 0 1 17 0 0 08 0 0 09 1 0 110 1 1 011 1 1 012 0 1 1

No es consistente. (a) (b) (c) (d) (e) (f) son consistentes. 1.8.¿Cuáles de los comportamientos sugeridos son consistentes con la siguiente actividad? t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x = 0 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 0 y = 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2 z = 0 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0

(a) x(t-1)+x(t)+y(t-1)-y(t)-z(t-1)-z(t) = 0 (b) x(t)+x(t+1) +y((t) -y(t+1)-z(t)-z(t+1)=0 (c) x(t)+y(t)+z(t)≡0(mod2).


Pag. 10

(d) x(t-1) x(t) y(t) z(t) 0 2 0 2

2 1 1 0 1 0 0 2 0 2 0 0 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 1 2 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0

(e) x(t) y(t) z(t) 0 0 0 2 0 2 1 1 0 0 0 2 2 0 0 1 2 1 2 2 2 0 2 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 (f) x(t) y(t) z(t) 0 0 0 2 0 2 1 1 0 Solución.- (a) t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x = 0 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 0y = 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2z = 0 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0f =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 consistente (b)


Pag. 11

t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x = 0 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 0y = 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2z = 0 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0f =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 consistente (c) t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x = 0 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 0y = 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2z = 0 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0mod2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0consistente (d) t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x = 0 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 0y = 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2z = 0 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0corresp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 11 12 12 12 13 6 7 9 consistente (e) t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x = 0 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 0y = 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2z = 0 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0corr. 1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 6 4 5 9 1 1 1 3 6 7 8 No consistente,falta [0 0 1] (f) t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x = 0 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 0y = 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2z = 0 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0corr. 1 2 3 1 1 1 3 No consistente. Comportamiento temporal. 1.9.¿ Cuáles de los siguientes comportamientos son consistentes con la estructura UC

especificada en el Ejemplo 1.13 (Figura 1.7)?

(a) H y C no son ambos no nulos. (b) Si H=C=0, entonces la temperatura es constante. (c) Si H=C=0, entonces V1=0. En otro caso, V1=110 voltios. (d) T V1 H C Cualquier valor 0 0 0 T<63ºF 110V 1kW 0 63ºF≤T<70ºF 110V 0 0 T≥70ºF 110V 0 -1kW


Pag. 12

Solución.- (a) Consistente (b) No consistente (c) No consistente (d) Consistente 1.10. ¿Cuál es el número de:

(a) Estímulos diferentes de un sistema con n cantidades de entrada que adoptan k1,k2,...,kn valores respectivamente?

(b) Todas las posibles clasificaciones E/S de n cantidades externas? (c) Todas las posibles estructuras ST diferentes para n estados? (d) Estados externos diferentes de un sistema con p estímulos y q respuestas cuyo

comportamiento no es combinatorio? Solución.- (a) k1·k2·...·kn o menor. (b) 2n (c) 2n2 (d) Mayor que p, pero menor o igual que p·q. 1.11. De acuerdo con el esquema de la figura 1.10, clasificar el sistema definido por:

(a) La actividad de la Figura 1.1.a. (b) La actividad de la Figura 1.1.b. (c) La estructura UC del Ejemplo 1.8 (Figura 1.5). (d) La estructura UC del Ejemplo 1.13 (Figura 1.7). (e) El comportamiento permanente especificado en el ejemplo 1.12. (f) El conjunto de cantidades y el nivel de resolución del Ejemplo 1.15. (g) La estructura UC obtenida como resultado en el problema 1.16.

Solución.- (a) Físico, real, continuo, repetido, neutral. (b) Físico, real, discreto, repetido, neutral (c) Físico, real, discreto, repetido, controlado, combinatorio. (d) Físico, real, híbrido, repetido, controlado, combinatorio. (e) Físico, conceptual, limitado, discreto, repetido, neutral.

REFRIGERADOR

CALENTADORINTERRUPTORTERMÓMETRO

AMBIENTE

F V3

V1

V2

C

H

T


Pag. 13

1.12. Consideramos el sistema especificado por la estructura ST de la Figura 1.14 (Ejemplo 1.7). Si no se conoce la clasificación de las cantidades externas, existen algunos estados para los que el sistema muestra ambigüedad en las transacciones. Si, por otra parte, se sabe que el voltaje es la cantidad de entrada, entonces para cada cambio, de voltaje, el sistema cambia unívocamente su estado sin considerar el estado inicial. ¡Explicitar esta ilusoria inconsecuencia!

Solución.- Si la clasificación de las cantidades externas no es conocida, el comportamiento del sistema no puede separarse de su ambiente. El comportamiento del ambiente fue considerado a priori como estadístico. 1.13. Sea S un sistema con dos variables de entrada x e y y una de salida z tales que x(t),

y(t) y z(t) son dígitos decimales en cualquier instante del tiempo t=1,2,3,... Una secuencia x(t) para t= 1,2,...,n se considera como un número decimal cuyo dígito menos significativo es x(1) y el más significativo es x(n). Una secuencia y(t) para t=1,2,...,n se considera como un número decimal similar. La secuencia z(t) para t = 1,2,...,n representa los primeros p decimales de la suma de x(t) e y(t).

(a) ¿El comportamiento de S es combinatorio, secuencial o probabilístico? (b) Describir el comportamiento en término de las cantidades principales. (c) Mostrar una posible actividad del sistema y para cada t dentro de la actividad

especificar el estado respectivo del sistema. Solución.- (a) El comportamiento de S es secuencial (b) Z(t)={x(t)+y(t)+[x(t-1)+y(t-1)+[z(t-1)-x(t-1)-y(t-1)](mod10)-z(t-1)]/10}(mod 10) (c) Actividad T= 0 1 2 3 X(t)= 0 5 8 4 Y(t)= 0 7 2 2 Z(t)= 0 3 1 7 Estados: X(t-1) y(t-1) z(t-1) x(t) y(t) z(t) t 0 0 0 5 7 3 1 5 7 3 8 2 1 2 8 2 1 4 2 7 3 1.14. Empleando tres elementos, es decir, la cámara, el flotador y el eje, determinar la

estructura UC del carburador de un motor de combustión interna mediante el cual el nivel de gasolina en la cámara se mantiene a una altura constante.

Solución.- Carburador de un motor de combustión.


Pag. 14

1.15. El comportamiento de un sistema determinista está expresado en forma de la

ecuación x2(t)=1-x1(t)+x1(t)x2(t-1) donde todas las variables son bivalentes. Determinar al menos: (a) Dos estructuras ST diferentes consistentes con el comportamiento. (b) Dos actividades diferentes consistentes con el comportamiento. (c) Dos estructuras UC diferentes consistentes con el comportamiento.

Solución.- (a)

(b) t 0 1 2 3

x1 0 1 0 1x2 2 2 1 1

t 0 1 2 3 4 5 6 7

x1 0 1 2 1 1 2 2 1x2 0 0 -1 -1 -1 -3 -7 -7

(c)

1.16. Los clasificadores de pautas son sistemas controlados que agrupan las muestras de variables de entrada en varias categorías expresadas por valores de sus variables de salida. Por ejemplo, un clasificador de pautas para la predicción del tiempo consiste en varias variables discretas cuyos valores identifican las categorías como "Lloverá mañana", "No lloverá mañana", "No puede decirse si lloverá o no mañana", etc.

Descubrir tantas áreas de aplicación de clasificadores de pautas como pueda y especificar para cada una de ellas el tipo de variables de entrada y salida. Algunas sugerencias: (a) Diagnóstico médico. (b) Reconocimiento de caracteres de escritura manual. (c) Reconocimiento del habla.

CAMARA FLOTADOR EJENIVEL

1 2

3 4

1 2

3 4

x2(t-1)

x2(t)1

-x1(t)


Pag. 15

(d) Reconocimiento de la armonía (en música). Solución.- (a) E - Síntomas / S - enfermedades (b) E - Señales ópticas/ S - Caracteres (c) E - Señales de sonido / S - Palabras. (d) E - Señales de sonido / S- Notas musicales. (e) Evaluación E - Pruebas/ S – Aprobación 1.17. Un voltaje aplicado a través del contacto de un relais produce una corriente por el

mismo siempre que esté cerrado. La posición del contacto depende de otro voltaje aplicado en la bobina del relais. La corriente es, por tanto, una función de estos dos voltajes. Aunque un sistema definido por ambos voltajes, la corriente y un nivel de resolución adecuado pueda ser determinista, es necesariamente probabilista. Por lo tanto, un sistema probabílistico puede transformarse a veces en determinista sin más que añadir nuevas cantidades. Demostrar esta propiedad mediante ejemplos tomados del campo de su interés.

Solución.-

El sistema de calificaciones es un sitema determinista, teniendo en cuenta que las calificaciones de las pruebas, practicas y proyectos se realiza por separado, pero desde el punto de vista de que si se aprueban las pruebas parciales, practicas y proyectos, la posibilidad de aprobar la materia son mayores, se transforma en un sistema probabilístico.

1.18. Un sistema se define por los voltajes de entrada y salida de un amplificador a un

nivel de resolución. Si éste es demasiado elevado, el sistema es probabilístico debido al ruido térmico. Si disminuimos el nivel de resolución para las mismas cantidades, el nuevo sistema puede ser determinista. Mostrar esta propiedad con otros ejemplos.

Solución.-

Un sistema de comunicación a larga distancia es un sistema probabilístico de bido al ruido de transmisión, pero en una llamada local el sistema se puede transformar en determinista.

1.19. Seleccionar un objeto y definir diferentes sistemas sobre el mismo. Determinar para

cada uno de los sistemas cuáles de las especificaciones espacio - tiempo son relevantes y cuales no.

Solución.- Objeto: Videograbadora Sistema1 : Sistema de reproducción. Sistema2 : Sistema de rebobinado. Sistema3 : Sistema de grabado.

Teoría General de Sistemas

Pag. 17

Ejercicios Resueltos del Capítulo II


George J. Klir


Pag. 18

2.1 Los comportamientos de dos sistemas controlados combinatorios S1 y S2 se expresan

en las siguientes tablas: S1 S2

V11 V12 W1 V21 V22 W2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

a) Puede emplearse el sistema S2 como un modelo de comportamiento del sistema S1. b) Si la respuesta a (a) es afirmativa, especificar las correspondencias de entrada y salida. c) Puede utilizarse también el sistema S! como modelo de comportamiento del sistema S2.

Solución: a) K1 K2 U11 ↔ U21 0↔0 U12 ↔ U22 1↔1

U11 U12 W2 W1 ↔ W2 0↔0 1↔1 1↔1 0↔1 Si se puede emplearse S2 como modelo de comportamiento del sistema S1 b) Las correspondencias de entrada es: U21 = 1-U11 U22 = U12

S2 V21 V22 W2

1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 Las correspondencias de salida es: W1 = 1-W2 W2 = 1-W1

S1 V11 V12 W1

0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 1 0 c) Sí, el S1 puede ser utilizado como modelo de S2.


Pag. 19

2.2 Se observo que sucesos mutuamente excluyentes e1, e2,…, en ocurren con

probabilidades P(e1), P(e2), …, P(en) respectivamente y análogamente los sucesos mutuamente excluyentes E1, E2,…, Em ocurren con probabilidades P(E1), P(E2), …, P(Em), respectivamente.

a) Expresar cada uno de los conjuntos de sucesos junto con las probabilidades como un

sistema. b) Especificar todas las condiciones que tiene que cumplir uno de los sistemas para

expresarse como modelo de otro. Solución: a)

Se tiene un primer sistema que consta de una sola cantidad principal. Esta cantidad tiene a ei P(Ei) con i = 1, 2, …, n como elementos de su comportamiento.

Como los sucesos o acontecimientos e1, e2,…, en son mutuamente excluyentes, se cumple:

1)(1

=∑=

n

iieP

Igualmente E1, E2,…, Em con P(E1), P(E2), …, P(Em) son elementos del comportamiento para el segundo sistema.

b)

Para que exista una correspondencia biunívoca entre los elementos de ambos sistemas, se deben cumplir n = m.

=> ∃ la correspondencia biunívoca: ei Ej con P(ei) = P(Ej).


Pag. 20

2.3 Explicar el principio de la transformada de Laplace en términos de un modelo de

comportamiento. Solución: Se aplica la 2da derivada de la transformada de Laplace:

0**

)(***

11112

2

1

211112

2

2

=−+−+

=+−+−+

dtdx

dtdyxkyk

dtydM

tfxkdtdy

dtdxykxk

dtxdM

ββ

ββ

Aplicando la transformada de Laplace:

)(**)(*)(*)(**)(*)(**

)(**)(*)(**)(*)(**

112112

2

11112

1

syssyksxksxssxksxsM

sxssxksyssyksysM

ββ

ββ

−−−++

−−++

En la transformada:

{ }{ }{ } )()(

)0()(*)(')0()0(*)(*)(" 2

sftFLfsfstFL

fpssfstFL

=+=

−−=

{M1, k1, 1β , k2} son constantes.

{ } { } { } { } { }{ } { } { } { } { })('*)(*)(*)(*)("*

)(*)(*)(*)('*)("*

112112

11111

tyLtyLktxlkktxLtxLMtxLtxLktylktyLtyLM

ββββ−−+++

−−++

M1

M2

y

x

Β1 K1

K2


Pag. 21

2.4 Cada uno de los siguientes pares de forma algebraica representa el comportamiento de

los sistemas combinatorios controlados. Para cada par, hallar las correspondencias de entrada y salida tales que el segundo sistema junto con las correspondencias, puede emplearse como el modelo de comportamiento del primero (las variables de salida están en los miembros izquierdos de las ecuaciones).

a) Z = x*y ; w = (u + v)2 - (u - v)2 b) z = 2*cos2(x); w = 1/(1+u)

c) z1 = a*x1 + b*x2; w1 = e*u1 + f*v1

z2 = c* x1; w2 = g* u1

d) z = sen(x); w = u + v Solución:

a) w = u2 + 2*u*v + v2 - u2 + 2*u*v - v2 w = 4*u*v Luego debe ser: u = v; v = y i z = w/4

b) De la identidad: sen2(x) + cos2(x) = 1 1/cos2(x) = 1 + tg2(x)

cos2(x) = 1/(1 + tg2(x)) u = tg2(x) i z = 2*w

c) a*x1 = e*u1 u1 = (a/e)*x1 b*x2 = f*v1 v1 = (b/f)*x2 z1 = w1 también w2 = g*(a/e)*x1 z2= = [(c*e)/(a*g)]*w2

d) sen(x) = -i*s*h*i*x = (1/2*i)*(ei*x – e-i*x) debe ser: u = ei*x; v = – e-i*x; z = (1/2*i)*w

2.5 Esta dado un conjunto de sistemas definidos por las estructuras ST de la Figura 2.11.

Determinar los pares de sistemas que pueden utilizarse como modelos mutuos. Solución: S3 y S5

K1 K2 i ↔ u (i,i) ↔ (u,u) k ↔ t (I,k) ↔ (u,t) l ↔ s (k,i)↔ (t,u) j ↔ r (k,l)↔ (t,s) (l,j)↔ (s,r) (j,j)↔ (r,r) (j,i)↔ (r,u)

S3 y S5 son modelos mutuos.


Pag. 22

2.6 Definir un modelo de: a) La Actividad. b) El conjunto de cantidades consideradas en

un cierto nivel de resolución espacio – tiempo. Respuesta:

a) Un modelo es una representación simplificada de la realidad, que incluye solo los aspectos más importantes de un sistema real.

Una actividad es un conjunto de variaciones es el tiempo de todas las cantidades en consideración. Es todo proceso que provoca cambios en el sistema.

b) En un sistema son las cantidades externas observadas en un objeto elegido.

Se mide un atributo o propiedad en un estado y tiempo determinado, tomando una precisión y frecuencia en su registro. Además de la especificación espacial, la cantidad observada y medida debe estar referida al tiempo, el cual debe ser considerado ya sea de manera continua o discreta y desde luego a partir de un punto inicial.

c) Un programa es un estado instantáneo del sistema, un conjunto de otros estados y un conjunto de transiciones.

2.7 Cambiar los valores de w2 en el problema 2.1 para obtener un sistema que no pueda

emplearse como un modelo de comportamiento para S1. ¿Cuántos cambios hay? Solución: S1 S2 U11 U12 W1 U21 U22 W2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 k1 U11 U21 U12 U22 W1 W2

U21 U22 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 1 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1

Se observa que hay 8 cambios posibles.


Pag. 23

2.8 Dos sistemas S1 y S2 se definen sobre circuitos eléctricos simples, como se muestra en

las figuras (a) y (b).

Figura (a)

Figura (b)

a) Considerando las resistencias como elementos de los sistemas, determinar las estructuturas UC de S1 y S2.

b) Empleando S2, determinar un modelo de la estructura UC de S1 y viceversa.

Nota: Suponga que 0<=i<=0,1 Amperios y 0<=V<=10 voltios.

Solución: a)

El sistema S1 tiene 2 elementos a1 y a2, cuyos comportamientos están dados por las ecuaciones:

V1 = R1i; V2 = R2i

R1 R2 V

S1 i1

i2

V

i1

i2

V

i

R1 R2 V1 V2

S1 V1

V2

i


Pag. 24

Asimismo, el sistema S2 también tiene dos elementos a3 y a4, cuyos comportamientos están dados por:

i1 = V/R1 ; i2 = V/R2

b) La correspondencia de entrada debe ser V = 100 y la de salida será:

V1 = R1*(V/100) = (R1/100)*(R1*i1) = (R1

2/100)*i1 V2 = R2*(V/100) = (R2/100)*(R2*i2) = (R2

2/100)*i2

a3

a4

S2

V i1

i2

a1

a2

S1

i V1

V2


Pag. 25

2.9 El teorema de Thevenin empleado en ingeniería eléctrica establece que una fuente

imperfecta de energía eléctrica puede sustituirse por una fuente

Perfecta (ideal) de voltaje y por las resistencias internas (o mas generalmente, impedancias) R1 en serie. Se define un sistema S1 sobre la fuente imperfecta mediante la variable de entrada R (una resistencia conectada a la fuente) y las variables de salida i (corriente eléctrica a través de la fuente) y v (voltaje de la

a b c

d

f

e h

i

g

lk

j

S3S2

n

m p

q

r s t u

y

x

v w

S1

S4 S6S5

i

S1

v

S2

v2

v1 v2 i1 i2

i v

R1 R2

v1


Pag. 26

misma). Empleando diferentes resistencias R’ como variable de entrada y diferentes voltajes v’ y corriente i’ como variable de salida, se define un sistema similar S2 sobre la fuente perfecta. Todas las variables son continuas y mayores o iguales a cero.

a) Empleando el teorema de Thevenin y S2 fuente perfecta especificar un modelo de comportamiento de S1 fuente imperfecta.

b) ¿Es único el modelo anterior? Solución:

i

R1

R2

R3 V1 V3

V2

S1

v1 v2 v3

i

V1=i*R1 V3=i*R3 V2=i*R2

v1 v2 v3

iv

V

i

i

i

R1

R2

R3

i1=v/R1 i3=v/R3 i2=v/R2

i1 i2 i3

v

S2

v

i1 i2 i3


Pag. 27

S1 S2 k1 k2 k3 R1 R1’ I V (0..10) (0..100) R2 R2’ i1 v1 R3 R3’ i2 v2 I3 v3 S1 es modelo de S2 como S2 es modelo de S1.

2.10 Una vasija cilíndrica esta conectada con una cónica mediante un tubo muy fino cuyo volumen es despreciable (vease la figura). Se define un sistema continuo sobre este objeto hidráulico mediante las variables: x = cantidad de agua añadida (en cm3), y = altura a la cuál quedará el agua. Sean el radio del cilindro y el cociente del radio y la altura del cono, respectivamente, a y b. determinar valores tales de a y b para los cuales pueda emplearse el sistema como un modelo de comportamiento para un sistema matemático y = f(x), cuyo comportamiento se expresa por la ecuación:

p y3 + q y = x

y

Solución: x = cantidad de agua añadida (cm3) y = altura a la cuál quedará el agua (cm)

a = radio – cilindro b = r/y = alturaconoradiocono

Hallamos a y b para los cuales el sistema sea un modelo de comportamiento para: un sistema matemático dado por la ecuación: p y3 + q y = x De las ecuaciones del volumen del cono y el cilindro:


Pag. 28

yrVA2

31π= ; yaVA ⋅⋅= 2π

3222

31)(

31 ybyybVA ⋅⋅=⋅= ππ

Comparando con x = p y3 + q y será:

2

31 bp ⋅= π y 2aq ⋅= π

∴ πqa = ; π

pb 3=

2.11 Se define un sistema controlado mostrado en la Fig. a sobre el circuito eléctrico que

contiene una fuente perfecta de corriente y 3 resistencias en serie (ver Fig. b).El comportamiento del sistema puede descomponerse como aparece en la Fig. c. Determinar cuales de los sistemas caracterizados por:

a) Fig. a, sistema S1. b) Fig. b, sistema S2. c) Fig. c, sistema S3.

Puede emplearse como modelo de la estructura UC del sistema de la Fig. c (Sistema S0). Si un sistema puede utilizarse, especificar la correspondencia.

d) Determinar pares de los sistemas caracterizados en la figura tales que cada uno de ellos pueda emplearse como un modelo de la estructura UC del otro y viceversa.

Solución: a)

S1

a1 a2

i1

a3

i1=v / R1 i2=v / R2 i3=v / R3

i = i1 + i2 + i3

i v =1.2 i = v/R


Pag. 29

S0 y S1 k2

S0 k1 S1 V1 i1 R1i V/R1 i V V2 i2 R2i V/R2 R1 V1 V3 i3 R3i V/R3 R2 V2 R1 1/R1 R3 V3 R2 1/R2

R3 1/R3 La relación no procede S1 no es modelo de S0. b)

S0 y S2 k2

S0 k1 S1 V1 V1 R1i i1R1 i i V2 V2 R2i i2R2 R1 R1 V3 V3 R3i i3R3 R2 R2 R1 R1 R3 R3 R2 R2

R3 R3 S2 es modelo de S0. c)

S2

a1 a2

i1

a3

v1=i * R1 v2=i * R2 v3=i * R3

v = v1 +vi2 +vi3

v

i


Pag. 30

S0 y S3 k2 k3 S0 k1 S1 V1 i1 R1i V/R1 i V V2 i2 R2i V/R2 R1 R1 V3 i3 R3i V/R3 R2 R2 R1 1/R1 R3 R3 R2 1/R2

R3 1/R3 La relación no procede S3 no es modelo de S0. d) S1 y S2 k2 k3 k1 i1 V1 V/R1 i1R1 V i i2 V2 V/R2 i2R2 R1 R1 i3 V3 V/R3 i3R3 R2 R2 1/R1 R1 R3 R3 1/R2 R2

1/R3 R3 La relación no procede S2 no es modelo de S1. S2 y S3 k2 k3

k1 V1 i1 R1i V/R1 i V V2 i2 R2i V/R2 R1 V1 V3 i3 R3i V/R3 R2 V2 R1 1/R1 R3 V3 R2 1/R2

R3 1/R3 La relación no procede S3 no es modelo de S2.

S1 y S2 k2 k3

S3

c1 c2

i1

c3

i1=v / R1 i2=v / R2 i3=v / R3

i = i1 + i2 + i3

i i = v/R

v = v1 + v2 + v3


Pag. 31

k1 i1 i1 V/R1 V/R1 V V i2 i2 V/R2 V/R2 R1 R1 i3 i3 V/R3 V/R3 R2 R2 1/R1 1/R1 R3 R3 1/R2 1/R2

1/R3 1/R3 S3 es modelo de S1

2.12 Los sistemas eléctricos que representan relaciones entre voltajes, corrientes, cargas x sus derivadas temporales pueden emplearse, generalmente como modelos de estructura UC de sistemas mecánicos que representan relaciones entre fuerzas, velocidades, aceleraciones y desplazamientos y viceversa. Solo una de dos posibles correspondencias biunívocas K2 entre cantidades mecánicas y eléctricas puede emplearse. En la primera, la fuerza se asigna al voltaje y en la segunda la fuerza se asigna a la corriente eléctrica. Determinar, para cada uno de los correspondientes, las cantidades eléctricos asignados al desplazamiento, la velocidad y la aceleración, respectivamente.

Solución: Los resultados los tenemos en la siguiente tabla:

Cantidad Mecánica Cantidad Eléctrica

Fuerza Voltaje I Voltaje II

Desplazamiento Carga I Integral de Voltaje II

Velocidad Corriente I Voltaje II

Aceleración Derivada de la corriente I Derivada del voltaje II

Demostraremos las correspondencias con un ejemplo:


Pag. 32

M

B

K

f (t) = i = dq/dt

q = v(t) =

δ1 k1 δ2 δ1 k1 δ2 f(t) v(t) M L B R K 1/c

x q conclusión: Las relaciones biunívocas entre los elementos y cantidades de sistemas

mecánicos y sistemas eléctricos es: Capacitancia = Resorte Resistencia = amoritiguador Masa = inductancia x q donde x es el desplazamiento y que la carga

M d2 x

dt2. B dx

dt. K·x

v(t)

f(t)

R

L

C

i

R dqdt. L d2 q

dt2

1c

q.

tid

d2 x

dt2

d2 q

dt2

dxdt

dqdt

d2 x

dt2

d2 q

dt2

dxdt

dqdt

Sistemas Discretos

Pag. 33

Ejercicios Resueltos del Capítulo III

Sistemas Discretos

George J. Klir


Pag. 34

3.1. Definir un sistema discreto en el campo de su interés para cada una de las cinco

definiciones básicas. Solución. Para realizar el estudio de un sistema en la t. g. s. se debe formalizar los conceptos anteriormente desarrollados.

- Cantidades Externas x1, x2, x3, .....xn - Conjunto de Cantidades X1, X2, X3, .....Xn - Denotar el tiempo t - Todo el tiempo de estudio del sistema T - Cantidad externa i en un t. X (t) actividad - Nivel de Resolución L - Conjunto de estados del sistema S - Estado de un sistema Si - Conjunto de transiciones entre estados R(s × s) - Para Si → SJ ∈ R(s × s) → P( Ji SS ) en un t - Pi Conjunto de posibles valores de PJ : PJ(t) = xi(t+α) - Comportamiento ∑ Pi - Universo del discurso

A={Conjunto de todas las cantidades del sistema } B={Conjunto de todas las cantidades del sistema que

Pertenecen al comportamiento permanente del sistema }

Ci, J={Conjunto de acoplamientos }

§= { B, Ci,J } Se puede definir un sistema de las siguientes formas.

- Conjunto de cantidades externas y el nivel de resolución - Una actividad dada - Comportamiento permanente - Estructura UC Real - Estructura ST Real

Definición N° 1.- Se puede definir un sistema en base al conjunto de cantidades externas y al nivel de resolución. Terna X, T, L.

§={x1, x2, x3, ..., xn, t, x1, x2, x3, ... xn, T }

Sistemas Discretos

Pag. 35

Definición N° 2.- Se puede definir un sistema en base a una actividad dada, es decir, en base al conjunto de variaciones en el tiempo de algunas cantidades en consideración.

§={ x1(t), x2(t), x3(t), ..., xn(t); t∈T ; xi(t) ∈ Xi ;¥i=1…n}

Definición N° 3.- Se puede definir un sistema en base al Comportamiento permanente del mismo, es decir, en base al conjunto de relaciones atemporales entre los valores actuales, pasados y/o futuros de las cantidades externas asociadas a una probabilidad de ocurrencia.

§={ Ri≤J≤m*(⊗PJ)⊆ m

JX 1= PJ; a→P(a):p∈�;P(a)≤1;∑a

P(a)=1 }

donde PJ = Xi si (i, α)↔J para cualquier α PJ(t) = xi(t+α)

Donde PJ(t) es el valor de la cantidad Pi en el tiempo t, (t+α) ∈ Xi ⇔ Pi(t) ∈ Xi

si α = ∅ Instantáneo α > ∅ Futuro

Definición N° 4.- Se puede definir un sistema en base a su Estructura UC real, es decir, en base al conjunto de elementos que pertenecen al comportamiento permanente y los acoplamientos entre estos elementos.

A = { a1, a2, a3, ..., an } B = { b1, b2, b3, …, bn } ai → b1 componentes permanentes del sistema. CiJ = { CiJ, ¥i,J ; 1 ≠ J } ; CiJ = CJi = (ai , aJ ) = Ai ∩ AJ § = { b1, b2, b3, ... bn ; CiJ : i,J = 0 ... n ; i ≠ J }

Definición N° 5.- Se puede definer un sistema en base a la Estructura ST Real, es decir, en base al conjunto de estados y transiciones entre estados.

§ = { S, R(s, s), (si, sJ) → P( iJ SS ) : (si, sJ) ∈ R (s, s), P( iJ SS ) ≤ 1 ; ∑

J

P( iJ SS ) = 1 para un si fijo }


Pag. 36

Definición 1.- Cantidades Externas y Nivel de resolución § = { y1, y2, y3, ... yn, з1, з2, з3, ... зq; t ; y1, y2, ... yn, Z1, Z2, ... Zn, T } § = { Y, Z, T, L } Definición 2.- Actividad dada § = { Yi(t), Zt(t) ; Yi(t) ∈ Yi ; i = 1, 2, … n ; зJ ∈ ZJ ; J = 1, 2, … q t, t ∈ T } Definición 3.- Comportamiento Permanente § = { RK (⊗(WK, WK)) ∀ k = 1 .. q ; (i, αi)→k ; WK(t) = x ° (t+α)} Definición 4.- Estructura UC Real § = { B, diJ; i,J = 0 .. u ; i ≠ J } § = { B, DiJ } Definición 5.- Estructura ST Real § = { S, R(⊗ M⊗s,s) } 3.2. Determinar el comportamiento del sistema definido por la matriz de actividades de

la figura 3, 4b para la mascara.

a) dada en la figura 3.4c b) dada en la Figura 3.5 c) especificada por elementos maestrales (-1,2);(0,1);(0,2);(1,2);(1,3);(2,3)

Solución. a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.2 0 1 1 0 2 2 3 0 0 0 4 4 4 1.1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 3 3 3 1.2 1 1 0 2 2 3 0 0 0 4 4 4 0 2.2 1 0 2 2 3 0 0 0 4 4 4 0 0 2.3 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3.3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 0

Sistemas Discretos

Pag. 37

X20 X1

1 X21 X2

2 X32 X3

3

S1 0 0 1 1 0 1 S2 1 1 1 0 1 1 S3 1 1 0 2 1 1 S4 0 2 2 2 1 2 S5 2 2 2 3 2 2 S6 2 2 3 0 2 2 S7 3 0 0 0 2 3 S8 0 0 0 0 3 3 S9 0 1 0 4 3 3 S10 0 1 4 4 3 4 S1 4 3 4 4 4 4 S12 4 3 4 0 4 4 S13 4 3 0 0 4 0 b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.2 0 1 1 0 2 2 3 0 0 0 4 4 0.3 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1.1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 3 3 2.1 1 1 2 2 2 0 0 1 1 3 3 3 2.3 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4.1 2 2 2 0 0 1 1 3 3 3 3 3 4.3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 0 X2

0 X11 X2

1 X22 X3

2 X33 X4

1

S1 0 0 0 1 0 2 1 S2 1 0 1 1 1 2 1 S3 1 0 1 2 1 2 2 S4 0 1 2 2 1 0 2 S5 2 1 2 2 2 0 2 S6 2 1 2 0 2 1 3 S7 3 2 0 0 2 1 3 S8 0 2 0 1 3 3 3 S9 0 2 1 1 3 3 4 S10 0 3 1 3 3 3 4 S11 4 3 3 3 4 3 4


Pag. 38

S12 4 3 3 3 4 3 0 c)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0.1 0 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 3 3 3 0.2 0 1 1 0 2 2 3 0 0 0 4 4 4 0 1.2 1 1 0 2 2 3 0 0 0 4 4 4 0 0 1.3 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2.3 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 0 X2

0 X11 X2

1 X22 X3

2

S1 0 0 1 0 0 S2 0 1 1 0 1 S3 1 1 0 1 1 S4 1 0 2 1 1 S5 2 2 2 1 2 S6 2 2 3 2 2 S7 2 3 0 2 2 S8 0 0 0 2 3 S9 0 0 0 3 3 S10 1 0 4 3 3 S1 1 4 4 3 4 S12 3 4 4 4 4 S13 3 4 0 4 4 S14 3 0 0 4 0

3.3. Determinar la estructura ST para la matriz de actividades de la Fig. 3.4 y para cada

una de las mascaras del problema anterior. Solución.

{(S1,S2)(S2,S3)(S3,S4)(S4,S5)(S5,S5)(S5,S6)(S6,S7)(S7,S7)(S7,S8)(S8,S9)(S9,S10)(S10,S11)(S11,S12)(S12,S12)(S12,S13)}

Sistemas Discretos

Pag. 39

S1

S8

S11 S12S10

S5

S9

S13

S4S3S2

S7 S6

a)

S1

S8

S11 S12S10

S5

S9

S4S3S2

S7 S6

b)

S1

S8

S11S10

S5

S9

S4S3S2

S7 S6

c)


Pag. 40

S1

S8

S11 S12S10

S5

S9

S13

S4S3S2

S7 S6

3.4. Suponga que cuatro muestras s1, s2, s3, s4, aparecen en una matriz de actividad con

respecto a una mascara dada. Los números de apariciones se muestran en la tabulación:

si N(si) N(si, s1) N(si, s2) N(si, s3) N(si, s4) s1 s2 s3 s4

2.732 1.167 1.230 230

565 1.166 1.000 0

937 0 0 230

1.230 0 7 0

0 0 230 0

Determinar:

a) La primera y la ultima muestra de la actividad. b) Las probabilidades de todas las transiciones con la presicion de dos decimales

validos. c) El numero de todas las simplificaciones posibles de la estructura ST. d) La simplificación en que s1 se combina con s4, y s2 con s3.

Solución.

a) La primera y la última muestra de la actividad

565 1.166 937 1.230 1000 230 230 7

S1 S2

S3 S4

Sistemas Discretos

Pag. 41

S1 Entrada S2 Salida

La primera muestra es S1 ; la última S2 .

b) Las probabilidades de todas las transiciones con la precisión de dos decimales válidos

)(

)*()/(

i

jiji SN

SSNSSP =

81.0230.1000.1

)()*(

)/(3

1313 ===

SNSSN

SSP

34.0732.2

937)(

)*()/(

2

2121 ===

SNSSN

SSP

1230.1000.1

)()*()/(

4

2424 ===

SNSSNSSP

45.0230.1000.1

)()*(

)/(3

3131 ===

SNSSN

SSP

166.116.1

)()*(

)/(2

1212 ===

SNSSN

SSP

21.0732.2

565)(

)*()/(1

1111 ===

SNSSNSSP

19.0230.1

230)(

)*()/(

3

4343 ===

SNSSN

SSP

τ (Si, Sj) 1 2 3 4 i = 1 0.21 034 0.45 0 2 1 0 0 0 3 0.81 0 0 0.19 4 0 1 0 0


Pag. 42

c) El número de todas las simplificaciones posibles de la estructura ST.

d.) La simplificación en que S1 se combina con S4 , y S2 con S3

S1,S4 S2 , s3

S1 S2

S3

S4

S1S2S3

S4

Sistemas Discretos

Pag. 43

3.5. ¿Cuáles de las siguientes propiedades son inconsistentes con la estructura ST?

a) Actividad: 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 b) Actividad: 0 1 2 1 2 3 0 2 1 3 1 2. c) Comportamiento con 4 muestras. d) Comportamiento con 6 muestras.

Solución.

a) Actividad: 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

Son propiedades inconsistentes de la estructura ST. b) Actividad: 0 1 2 1 2 3 0 2 1 3 1 2.

Esta actividad también es inconsistente. c) Este comportamiento es consistente debido a que tiene 4 muestras d) Este comportamiento es inconsistente debido a que tiene 6 muestras 3.6. Todo sistema neutral por su estructura ST junto con las probabilidades de las

transiciones puede describirse unívocamente mediante una sola matriz. Definir esta y determinar todas sus propiedades.

Solución.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)/(.............)........./()/(...

)/(...............)........./()/(

)/(................)........./()/(

21

22212

12111

nnnn

n

n

sspsspssp

sspsspssp

sspssPssp

S1,S4 S2 , s3


Pag. 44

p(si , sj ) = 1)/( =∑ ij

jssp

Matriz estocástica cuyos elementos son las probabilidades τ (si , sj ) 3.7. Un sistema esta definido por su estructura ST junto con las probabilidades P(si,sj) de

las transiciones (si,sj),donde i,j,=1,2,…,n. Derivar una fórmula general para la probabilidad Pk(si,sj) del cambio de si a sj a través de k transiciones.

Solución.

Las probabilidades Pk(si,sj) son elementos de la matriz obtenida elevando la matriz estocástica que describe el sistema (ver problema anterior) a la potencia k.

3.8. En base a la figura 3.16, determinar la actividad de:

(a) El ciclo menstrual normal. (b) El ciclo menstrual durante el cual se han aplicado las píldoras

anticonceptivas. Solución. Nota: Considerar solo las cantidades de la Figura 3.16; cada una de ellas es una cantidad discreta como se vio en el Ejemplo 3.14. Considerar w cambio de tiempo discreta si, y solo si, al menos, una de las cantidades: cambia su valor discreto. 3.9. La cantidad I (en bits) de información sobre un fenómeno se considera en la teoría

de la información [BR1,BR2] como

,log1

02 P

PI =

Donde P0 y P1 son, respectivamente, el número de posibilidades con probabilidades a priori iguales relativas al fenómeno antes de su investigación y después de ella (P1

≤P0). Sea x una cantidad periódica continua que toma todos los valores reales de x1 y x2 dentro de un período T. Cada medida x(tm) = xm se interpreta (debido a inexactitudes conocidas de los instrumentos empleados) como

21 ∂+≤≤∂− mm xxx en

21 εε +≤≤− mm ttt Determinar: a) La cantidad de información obtenida sobre la cantidad x por una sola

medicación (en un particular instante del tiempo). b) La cantidad de información obtenida sobre la cantidad x midiéndola sobre el

intervalo completo de tiempo de periodo T. Solución.

Sistemas Discretos

Pag. 45

a) ( ) ( )

( ) TXX **

12

2121

−++ εεδδ

b) ( )( )12

21

XX −+ δδ

3.10. Sea el objeto investigado un interruptor de relais simple en el que una bobina y un

contacto del mismo relais, una fuente de energía eléctrica, y un contacto de operación manual forman un circuito simple (véase la figura 3.24). Definamos un sistema sobre el interruptor mediante las tres sentencias siguientes:

x = “El contacto de relais está cerrado”. y = ”La armadura de relais es atraída al núcleo”. z = “El interruptor manual está cerrado”. Cada una de las sentencias representa una variable bivalente. Puede ser verdadera (V) o falsa (F). El tiempo es discreto (t = 0,1,2,…) y se define por aquellos intervalos de tiempo durante los cuales los valores de verdad (V,F) de todas las sentencias no cambian. Suponiendo que las intervenciones manuales son más lentas que el tiempo de respuesta del relais, determinar: a) Una actividad que contenga todas las muestras posibles. b) El comportamiento permanente. c) La estructura ST.

Solución. 3.11. Considerar un sistema cuya estructura UC aparece en la figura 3.25.

Determinar, si es posible: a) Una actividad que contenga todas las muestras posibles. b) El comportamiento permanente. c) La estructura ST. Nota: Todas las variables son bivalentes (0,1). GATILLO es un elemento cuya variable de salida (z) no cambia si la variable de entrada es igual a 0 (x = 0) y cambia si está última es igual a 1 (x = 1).

Solución:


Pag. 46

(a) y (b) no pueden determinarse si no se conoce el valor de z c)

3.12. La matriz de conductividad de Steinbuch se muestra en la Figura 3.26. Esta formada por conductores horizontales nhhh ,.......,, 21 y conductores verticales nuuu ,.......,, 21 . Cada conductor horizontal nhhh ,.......,, 21 se conecta con cada conductor vertical u i (j=1…q) mediante una conductancia variable Gij. Cada una de estas conductancias cumple en todo tiempo las desigualdades:

max0 GGij ≤≤

Los valores iniciales de todas las conductancias son cero, de modo que al principio no hay conexión entre los conductores. Se aplican los voltajes Xt, x-i, .... Xp e >-i, >)•(, (las variables de entrada), respectivarnente, a los correspondientes conductores horizontales y verticales en los tiempos discretos especificados por pulsaciones sincronizadas. Cada uno-de los voltajes Xi e y^ efectuan la conductancia G,j (la variable de salida) de a cuerdo con la siguiente tabla:

Xi y, Gij

0 0 No Cambia 0 \ Disminuye en d1

1 0 No cambia 1 1 Disminuye en d2

Z=0 Z=1

X = 0

X = 1

X = 1

X = 0

Sistemas Discretos

Pag. 47

Determinar la estructura ST de una sola terma x,, y,, G,, en el caso de que:

Gmax = 1 MHO y (a) d1 =d2=0,2 MHO, (b) d1 = 0,3 MHO, d2 = 0,5 MHO.

Sistemas Controlados

Pag. 49



George J. Klir


Pag. 50

4.1. Hallar todas las clases posibles de acoplamientos (en el mismo sentido que en la figura

4.6) entre 3 elementos. Solución:


Pag. 51


Pag. 52

4.2. Un sistema controlado tiene n variables de entrada y m de salida. Todas las variables

son k-valoradas. ¿Cuántos comportamientos diferentes existen para tal sistema si éste es:

(a) Combinatorio y todos los estados de las variables de entrada se aplican como

estímulos? (b) Combinatorio y todos o algunos de los estados de las variables de entrada no se

aplican como estímulos? (c) Secuencial? (d) Secuencial sin variables de realimentación y con una memoria finita M? (e) Probabilista simple?

Solución.

a) nn kmmkk .2)( =

b) nkmk )1( +

c) numero ilimitado d)

))1(.(

)1(−+

+MmMnkmk

e) numero ilimitado 4.3. Considerando diferentes subconjuntos de los acoplamientos mostrados en las figuras

4.8 y 4.12, determinar todos los posibles enfoques a: a) Sistemas secuénciales. b) Sistemas probabilistas complejos.

Solución:

a) Para el problema 0 = el acoplamiento no se emplea, y 1 = el acoplamiento se emplea. La tabla de los enfoques posibles a sistemas secuénciales son:


Pag. 53

S Z1(t) Z2(t)

1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 5 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 5 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Los acoplamientos 9 y 10 pueden seleccionarse de 3 maneras distintas (9, 10, ambos) para

cada selección de los acoplamientos del 1 al 8 especificados en a). Finalmente hay 132 enfoques distintos.

4.4. Suponga que un sistema secuencial se considera en el tiempo t≥0. Entonces, la

condición inicial se representa por el contenido de su memoria en el instante t = 0. ¿Cuál es el efecto sobre el programa del sistema si la condición inicial no está especificada y el sistema se basa en los siguientes acoplamientos:

(a) 1,2,3,6. (b) 2,3,6.

Generador Funcional

Memoria M


Pag. 54

(c) 1,3,6,7. (d) 1,2,3,6,8.

Solución:

(a) y (b) Hay una ambigüedad en el programa debido a la ambigüedad en la condición inicial. La ambigüedad dura hasta el tiempo en que se sustituye todo el contenido a la memoria por nuevos estímulos suministrados a través del acoplamiento 2. Entonces el programa esta especificado unívocamente (c) y (d) Hay una ambigüedad permanente en el programa debido a la ambigüedad en la condición inicial que causa una ambigüedad permanente en el contenido de la memoria suministradas a través de los acoplamientos 7 y 8 respectivamente.

4.5. El autómata (o máquina) determinista de estado finito se define como un sistema

discreto con un conjunto finito de estímulos Y, un conjunto finito de respuestas Z, un conjunto finito de estados internos S, y un par de funciones características fz y fs, dadas por

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ),,1,,)(tstyfts

tstyftz

s

z

=+=

Donde ( ) ( ) ( ) ( ) StstsZtzYty ∈+∈∈ 1,,, y t = 1,2,… Especificar: a) ¿Qué clase de definición se emplea en este caso? b) ¿Cuáles de los acoplamientos de la Fig. 4.8 se consideran?

Solución:

a) Se utiliza una definición por la estructura ST.

Generador Funcional F

Memoria M

x1(t) x2(t)

S

z1(t) z2(t)


Pag. 55

b) Se consideran los acoplamientos 1,3,6 y 7.

4.6. El autómata (o máquina) determinista de memoria finita se define como un sistema

discreto con un conjunto finito de estímulos Y, un conjunto finito de respuestas Z, y una función:

)),(),...,(),(),(),...,(),(()( 2121 uu tztztztytytyFtz βββααα −−−−−−= donde: ,...2,1__)(),(,)( =∈−∈− tyZtztzYty ji βα Especificar: a) ¿Qué clase de definición se emplea en este caso? b) ¿Cuáles de los acoplamientos de la figura 4.8. se consideran? Solución:

a) Se utiliza una definición por la estructura ST.

b) Se consideran los acoplamientos 1, 2, 3,6 y 8. 4.7. Considérese el paradigma Gral. de los sistemas secuénciales que aparece en la Fig. 4.8.

a) ¿Puede tener el acoplamiento 3 el mismo número de variables que los acoplamientos 2, 7 y 8 juntos? Si es así especificar.

b) Responder a la cuestión anterior para los sistemas probabilistas complejos. c) ¿Es la respuesta a la cuestión a) afirmativa para cualquier autómata determinista

de estado finito? d) ¿Es la respuesta a la cuestión a) afirmativa para cualquier autómata determinista

de memoria finita? Solución:

a) Sí puede tener, ya que para cada variable xi en la entrada de la memoria existe una, y solo una variable wj en la salida de la misma

Wj (t) = xi (t + �) , � �si xi es variable de entrada y salida

Generador Funcional F

Memoria M

x1(t) x2(t)

S

z1(t) z2(t)


Pag. 56

b) En algunos casos solamente. c) Es afirmativa para cualquier autómata determinista de estado finito.

c) No, en este caso solo seria para algunos de ellos. 4.8. Explicar por qué los identificadores temporales de variables maestrales dependientes de salida ( jβmax ) no pueden ser menores que 0. Solución.

Las variables libres de salida que se requieren todas ellas, se representan por variables maestrales Z0

j )0( =jβ . Por tanto ( jβmax )>0. Las variables maestrales dependientes de salida son Zmax jβ

j.

4.9. Explicar porqué no se impone ninguna limitación a los identificadores temporales de variables maestrales de realimentación Vk.

Solución. No se limita a los identificadores temporales porque no se necesita a priori ninguna variable maestral de realimentación Vk. 4.11. Determinar cuáles de las máscaras de la figura tienen significado. Suponga que las yi

son variables de entrada, las zj de salida, y las vk de realimentación. Solución. 1

1−Y 0

1Y 01Y 1

1−Y

12−Y 0

2Y 02Y 0

2Y 12−Y

2−Z 1−Z 0Z 1Z 1−Z 1−Z 0Z (a) (b) (c) (d)

11−Y 1−Y 0Y 1Y

12−Y 2

1−Z 1

1−Z 0Z 1Z

2−Z 1−Z 12−Z 0

2Z 01V 1

1V 2−V 1−V 0V 1

3−Z 0

2V 12V

(e) (f) (g) 2−Y 2−Y

1−Y 0Y 12−Y 0

2Y 4

1−V 3

1−V 0

1Z 11Z

12−V 0

2V 12Z 2

2Z (h) (i) Figura 4.19. ilustración para los problemas 4.11 y 4.12.

b); d); h); i) tiene significado.

Análisis de Sistemas

Pag. 57



George J. Klir


Pag. 58

5.1. Sea un sistema especificado por la definición (3) (Estructura UC). El universo del discurso del sistema consiste de dos elementos a1, a2 cuyos comportamientos permanentes están dados en forma de las sgtes. tablas:

a1: x y v a2: z v w 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1

Determinar (si es posible): a) Las variables externas; b) el comportamiento del sistema; d) la estructura ST.

Solución:

a) Las variables externas son x, y, z, w. b) El control se muestra:

c) El comportamiento sería:

x z w y 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1

1 2 1 2 0 0 1 2

5.2. Determinar cuales de los diagramas UC de la Fig. 5.14 (Ver pagina 260 de Klir) son

adecuadas. Solución: d)

a1 a2


Pag. 59

f)

Los diagramas adecuados para la estructura UC de la Fig. 5.14 son (d) y (f).

5.3. Efectuar el análisis para las estructuras UC determinadas en el prob. 5.2 como adecuadas, sabiendo que todas las variables participantes son bivalentes y el comportamiento de cada uno de los 3 elementos se representa por la función NI.

Solución:

R1 R2

R3

R1 R2

R3

R1 R2

R3


Pag. 60

R1 R2

R3

d) x1 x3 x5 x6 x2 x4 x7 f) x1 x2 x5 x6 x4 x7 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0

f) Las adecuadas son (d) y (f). 5.5. Determinar (si es posible) el control de los sistemas dados por: Solución:

a) El diagrama UC de las figuras.


Pag. 61

R1*R2 =

Entonces solo hay 2 dependientes unívocos x1, x4 de x2, x7, x5, x6 Por tanto x1, x4 son salidas y x2, x5, x6, x7 son entradas


Pag. 62

X1 X2 X4 X7 X5 X6 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

(R1*R2)*R3

Entonces solo hay 2 dependientes unívocos x1, x4 de x2, x7, x5, x6 Por tanto x1, x4 son salidas y x2, x5, x6, x7 son entradas


Pag. 63

5.6. Considerar la estructura UC de la figura donde z = x y, y = w/z, w = y v (vease la

Tabla 5.3) ¿Hay algunas inconsistencias que hacen impropias la estructura UC?

Solución: Si se requiere simultáneamente que y = 0 e Y = 1 (análogamente w = 0 y w = 1). 5.7. Determinar el comportamiento de un sistema probabilista cuya estructura UC aparece

en la figura y cuyos elementos tienen los sgtes. Comportamientos:

x1 x3 x5 P1 x4 x5 x2 P2 x5 x6 x7 P3 0 0 0 0.4 0 0 0 1 0 0 0 0.2

0 0 1 0.6 0 1 0 1 0 0 1 0.8 0 1 0 1 1 0 0 0.5 0 1 0 0.9 1 0 1 1 1 0 1 0.5 0 1 1 0.1 1 1 0 0.7 1 1 1 1 1 0 0 0.2 1 1 1 0.3 1 0 1 0.8 1 1 0 1

R1

R3

R2

X4

X7

X2

X1

X5

X6

R1 R2 R3

v

x w

y z

y


Pag. 64

Solución:

f) x1, x3, x2, x4, x6, x7 son variables externas, x5 es interna, la cual para descubrir su comportamiento debe excluirse. Si x5 es controlada por el 1er elemento, P1(x5=0) = 2.1, P1(x5=1) = 1.9, respectivamente. Si x5 es controlada por el 2do elemento, P2(x5=0) = 1.5, P2(x5=1) = 2.5, respectivamente. Si x5 es controlada por el 1er elemento, P3(x5=0) = 1.2, P3(x5=1) = 2.8, respectivamente Las probabilidades P(x1, x3, x2, x4, x6, x7) de los componentes (x1, x3, x2, x4, x6, x7) del comportamiento R(x1, x3, x2, x4, x6, x7) del sistema pueden calcularse como la sgte suma de las probabilidades condicionales: P(x1, x3, x2, x4, x6, x7) = P((x1, x3, x2, x4, x6, x7)|x5=0) + P((x1, x3, x2, x4, x6, x7|x5=1)

)1(),,(*),,(*),,(

)0(),,(*),,(*),,(

),,,,(51

765264531

51

765264531764211 =

+=

=xP

xxxPxxxPxxxPxP

xxxPxxxPxxxPxxxxxP

)1(),,(*),,(*),,(

)0(),,(*),,(*),,(

),,,,(512

765264531

52

765264531764212 =

+=

=xP

xxxPxxxPxxxPxP

xxxPxxxPxxxPxxxxxP

)1(),,(*),,(*),,(

)0(),,(*),,(*),,(

),,,,(53

765264531

53

765264531764213 =

+=

=xP

xxxPxxxPxxxPxP

xxxPxxxPxxxPxxxxxP

x1 x2 x4 x6 x7 ),,,,( 764211 xxxxxP ),,,,( 764212 xxxxxP ),,,,( 764213 xxxxxP 0 0 0 0 0 0.080 0.085 0.095 0 0 0 0 1 0.481 0.512 0.571 R = 0 0 1 1 0 0.451 0.480 0.536 1 1 1 1 1 0.050 0.053 0.060 1 1 1 0 0 0.140 0.149 0.167

R1 R2

R3


Pag. 65

1 1 0 0 1 0.000 0.000 0.000 0 0 0 1 0 0.000 0.000 0.000 5.8 Determinar cuales de las siguientes igualdades entre expresiones matemáticas se

cumplen: Solución: a) ( )( )yxxyx +=+ ( )yxx +⋅= yxxx += yx+= 0 yx += yx += Se cumple b) ( ) ( )zyxzyx →+=→+ No se cumple. c) ( )( )yxyx =+ yx += yx += Se cumple d) xy = (x|y)(x|y) xyxy += =xx+xy+xy+xx = x+xy+x xyx += yxx += yx += =xy Se cumple.


Pag. 66

5.9. Determinar los diagramas UC y los comportamientos de los sistemas que se definen por los siguientes conjuntos de ecuaciones algebraicas: a) ( ) ( )3211 yyyz →↓= ( ) ( ) ( )( )3113322 || yyyyyyz +↓→= b) 3213213211 yyyyyyyyyz ++= 32312 yyyyz +=

Solución. a) . ( ) ( )3211 yyyz →↓=

yy3

y1

y2

( ) ( ) ( )( )3113322 || yyyyyyz +↓→=

y

O

y

yy2 y3

y1

O

y1+y3

( ) ( )1332 | yyyy ↓→

( ) ( ) ( )( )3113322 || yyyyyyz +↓→=

13 yy ↓

b)

3213213211 yyyyyyyyyz ++=


Pag. 67

y y

NO NO NO

y

O

321 yyy 321 yyy 321 yyy

3213213211 yyyyyyyyyz ++=

y3y2y1

32312 yyyyz +=


Pag. 68

NO

y y

y1 y2 y3

O

31 yy 32 yy

32312 yyyyz +=

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