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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS PLANTILLA PARA DESARROLLO DE CONTENIDO
Ejemplo de distribución Muestral
Introducción
En una planta embotelladora de refrescos se llenan miles de latas
en cada turno de 8 horas. Un supervisor de calidad.se encarga de
corroborar la cantidad de líquido que contiene cada envase, la
media de llenado está indicada en la etiqueta del producto. Por la
rapidez del proceso, el volumen varía de una lata a otra,
provocando que algunas tengan excedente y otras faltantes. La información es
que la distribución del volumen sigue una distribución normal
Si el proceso no funciona adecuadamente, el volumen neto del contenido de las
latas podría diferir mucho de lo indicado en la etiqueta. Resulta difícil pesar cada
una de las latas y sería un proceso muy lento costoso e ineficaz.
De las miles de latas producidas en el turno se selecciona de manera aleatoria
una muestra sin reemplazos. La muestra actúa como una representación en
miniatura de la población, de tal manera que si la población tiene una distribución
normal, los valores de la muestra deben tener una distribución aproximadamente
normal, en otras palabras si la media de la población es de 368 ml. la media de la
muestra (media muestral) tiene buenas posibilidades de acercarse a 368 ml.
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Ejemplo 1
Queremos determinar la probabilidad de que al tomar la media muestral sea inferior
a 365 ml. Si 𝜇 = 368 𝜎𝑥 = 15 𝑛 = 25
Solución
𝜇 = 368 𝜎𝑥 = 15 𝑛 = 25 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 , �̅� = 365
𝑧 =�̅� − 𝜇
𝜎�̅�
Hallamos el error estándar de la media muestral 𝜎�̅� =𝜎𝑥
√𝑛
𝜎�̅� =15
√25= 3 Indica que la variación de las medias muestrales correspondientes
a la muestra n = 25 es mucho menor que la variación de las latas individuales
𝜎𝑥 = 15 𝜎�̅� = 3
Como la población tiene distribución normal la muestra se comportara así también
𝑁(𝜇,𝜎
√𝑛) 𝑁(368,3) Se asume 𝜇 = 𝜇𝑥
𝑧 =365−368
3= −1 En las tabla hallamos z = -1
( hallamos el área con 1 ya que son simétricas)
P(Z > a) = 0.5 - P(Z ≤ a)
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P(Z > 1) = 0.5 − P(Z ≤ 1) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587
Respuesta
Lo que significa que el 15.87 % de todas las muestras de 25 latas tienen una
media muestral inferior a 365 ml
Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad que la media de una muestra de 25 latas se
encuentre entre 365 y 368 ml?
En este caso se habla de una muestra de 25 latas, por lo tanto se utiliza la
desviación estándar de la distribución muestral 15
√25 = 3 para obtener el valor de z
que se va a utilizar en las tablas para la distribución normal.
𝑧 =�̅� − 𝜇
𝜎�̅�
�̅� = 365 𝜇 = 368
𝑧 =36−368
3= −1
P (365 < �̅� < 368) = 0.3413
Por lo tanto se puede decir que la probabilidad de que la media de una muestra de
25 latas se encuentre entre 365 y 368 ml. es 0.3413.
También se puede decir que el 34.13 % de las latas tiene una media entre 365 y
368 ml.
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Ejemplo 3: Hallar el intervalo dentro del cual el 95% de las medias de la
distribución muestral debe estar si la media de la población es 368. Visualmente
se busca el área bajo la curva que contiene el 95% del área total. En otras
palabras se desea obtener un área igual al 47.5% de cada lado de la media y
determinar la z que corresponde a dicha área.
El área de 0.4750 bajo la curva corresponde en la tabla a z = 1.96. Por lo tanto
z = 1.96 y z = -1.96
para z = 1.96
1.96 =�̅� − 368
3
5.88 = �̅� − 368
�̅� = 373.88
Para el otro caso z = -1.96
−1.96 =�̅� − 368
3
−5.88 = �̅� − 368
�̅� = 362.12
Entonces es posible decir que el 95% de las medias de las muestras de 25 latas
deben estar entre 362.12 y 373.88 ml.
362.12 < �̅� < 373.88