Ejercicios Sudarlacamiseta Tecnica Colectiva 26. Ejercicios 2-5-05
EJERCICIOS ANALISIS3
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EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIF. ORDINARIAS METODO DE VARIABLES SEPARABLES
1.- (1+ y2 )dx+(1+x2 )dy=0 ÷ (1+ y2 ) (1+x2)
dx
(1+x2)+ dy
(1+ y2 )=0
∫ dx
(1+x2 )+∫ dy
(1+ y2 )=0
arctg (x )+arctg ( y )=C
2.- ( y2+x y2) y '+x2− y x2=0
( y2+x y2) dydx
+ x2− y x2=0 ×dx
( y2+x y2)dy+( x2− y x2 )dx=0
y2(1+x)dy+x2 (1− y )dx=0 ÷ (1+x ) (1− y )
∫ y2dy(1− y )
+∫ x2dx(1+x )
=0
( x+ y ) (x− y−2 )+2 ln (1+x )(1− y )
=C
3.- x √1+ y2+ y y '√1+x2=0
x √1+ y2+ ydydx
√1+x2=0 ÷dx
√1+ y2 ∙√1+x2
xdx
√1+x2+ ydy
√1+ y2=0
∫ xdx
√1+ x2+∫ ydy
√1+ y2=0
√1+x2+√1+ y2=C
4.- (1+ y2 )dx=xdy ÷ (1+ y2 ) x
t=1+e y
dt=ey dy
z=1+x2
dz=2xdx
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
∫ dxx
=∫ dy
(1+ y2 )
ln (x)−arct ( y)=C
ln (x)=arct ( y)+C
e ln ( x)=earct( y)eC
x=earct (y )C
5.- e y (1+ x2 )dy−2x (1+e y )dx=0 ÷ (1+x2 ) (1+e y)
∫ dy
(1+e y )−∫ 2 xdx
(1+x2)=0
∫ dtt
−∫ dzz
=0
ln (t )−ln ( z )=ln (C )
ln (1+ey )−ln (1+x2 )=ln (C)
ln(1+e y )(1+x2 )
=ln (C )
e y=C (1+ x2 )−1
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE ECUACIONES DIFIFERENCIALES
1. una bala atraviesa una pared de 20cm de ancho viajando a una velocidad de 320m/s. si la bala
sale de la pared con una velocidad de 160m/s, y la fuerza de resistencia de la pared al
movimiento de la bala es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad, determinar el
tiempo en que atraviesa la pared
h=0,2m
mdvdt
=−k v2
t=mk ( v1−v0
v0 v1 )mdvdt
=md2 vd t2
k v2=mdvdt
dxdx
dx=mkdvdv
h=mkdvdv
mk= h
ln (v1v0
)
t= h
ln (v1v0
)( v1−v0v0 v1 )
t=0,2m
ln( 120360 )( 120−360(120 ) (360 ) )
t=0.00101 s
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
2. Interés compuesto capitalizado continuamente significa que en un instante cualquiera la cantidad S de dinero aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante. A) si en una cuenta de ahorros se deposita $5 000 000 a un interés compuesto, que se capitaliza continuamente de 6%. Calcule la cantidad de dinero acumulado después de 5 años. B) ¿En cuantos años se duplicara la suma inicial?
S=cantidad dedinero
t=dinero
dsdt
=ks
∫ dss
=∫ kdt
lnS=kt+lnC
lnSC
=kt
S=Cekt
c (t o )=5000000
a) k=6%=0.06
t=5años
S=Cekt
S=5000000x e0.06 (5 )
S=$6749294 038
b) Cuando S=10000000
10000000=5000000ekt
ln 2=kt
t= ln20.06
t=11años552dias
ANALISIS MATEMATICO III
h=2m
L
a
xo
yo
y
x
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
3. Un depósito con paredes verticales tiene sección cuadrada de 4m2 de área. El agua sale del deposito por un orificio de 5/3 cm2. Si el nivel de agua esta 2 m por encima del orificio, halle el tiempo necesario para que descienda 1m.
4. Encuentre la curva para la cual, cualquier tangente a la curva al cortarse con el eje de las ordenadas forma un punto que equidista del punto de tangencia y del origen de coordenadas
ANALISIS MATEMATICO III
v1=−∆ v2
L2∆h=−Bu√2ghdt
∫2
1
4m2 dh√h
=−53∫√2gdt
8m2√h 1¿2
=−53
√2 g t
t=0.45 s
y− y0= y ' (x−x0 )⇒ x=o
y= y0− y ' x0=d1
d1=√x02+(d1− y0)2
x0( x0y ' x0
+ y0)=2¿x2+2x0 y0 y
'− y02=0÷ x2
z= yx
1+2 z ( z ' x+z )−¿0
−2 zdzz2+1
=dxx
−ln ( z2+1 )=lnx−lnC
xC
= 1
z2+1⇒ 1
y2
x2+1
x2+ y2=Cx
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
5. Se lanza un cohete desde una posición inicial (x0 , y0) con una velocidad inicial V 0 y un ángulo θ(0+90 °). Hallar las coordenadas horizontal y vertical x (t) Λ y (t) como funciones de tiempo, suponga que no hay resistencia del aire y que la fuerza de la gravedad es constante.
ANALISIS MATEMATICO III
Eje xa=0
∫ d vx=∫0dtV x=C1
Condiciones iniciales
t=0 seg;v x=v0cos (θ )
vx=v0cos (θ )
dxdt
=v0 cos (θ )
∫ dx=∫ v0 cos (θ )dtx=v0cos (θ ) t+C2
Condiciones inicialest=0 seg; x=x0
x=v0cos (θ )+x0
Eje ya=−g
dxdt
=v0 cos (θ )
∫ d v y=∫−gdt
v y=−¿+C1
Condiciones iniciales
t=0 seg;v y=v0 sen (θ )
v y=−¿+v0 sen (θ )
dydt
=−¿+v0 sen (θ )
∫ dy=∫ [−¿+v0 sen (θ ) ]dt
y=−g t 2
2+v 0 sen (θ ) t+C2
Condiciones inicialest=0 seg; y= y 0
y=−g t 2
2+v 0 sen (θ ) t+ y0
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS POR SUSTITUCION
1. (x2 y2+1 )dx+2 x2dy=0
z=xy y=z / x dy= xdz−zdx
x2
(x2 zx22
+1)dx+2 x2( xdz−zdxx2 )=0
z2dx+dx+2xdz−2 zdx=0
dx (z¿¿2+1−2 z )+2xdz=0¿ ÷2x (z¿¿2+1−2 z )¿
∫ dx2 x
+∫ dz(z¿¿2−2 z+1)=0
¿
12∫
dxx
+∫ dz
(z−1)2=0
12ln ( x )− 1
( z−1 )=C
ln (√x )− 1( xy−1 )
=C
2.dydx
=( x+ y+1 )2−2
z=x+ y+1 y=z / x dydx
=dzdx
−1
dzdx
−1=z2−2
dzdx
−( z2−1 )=0÷dx / (z2−1)
∫ dz
( z2−1 )+∫ dx=0
12ln ( z−1 )−1
2ln (z+1 )−x=C
12ln
( z−1 )( z+1 )
=x+C
√ ( x− y )( x− y+2 )
=exC
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
3. y '=ax+by+c
dy=(ax+by+c )dx
z=ax+by+c
dydx
=( dzdx−a)/bdz−adx
dx=bzdx
dz−adx−bzdx=0
dz−dx (a−bz)=0
∫ dza+bz
−∫ dx=0 t=a+bzdt=bdz
1b∫
bdza+bz
−∫ dx=0
1b∫
dtt
−∫ dx=0
1blnt−x=0
1bln (a+bz)−x=0
ln (a+b(ax+by+c))1 /b=C+x
4. (x+ y)2 y '=a2
(x+ y )2 dydx
=a2
z=x+ ydzdx
=1+ dydx
dydx
=dzdx
−1
z2( dzdx−1)=a2 z2dzdx
−z2=a2dx
z2dz−z2dx−a2dx=0
z2dz−dx ( z2+a2 )=0÷(z2+a2)
∫ z2dzz2+a2
−∫dx=0 z−aarctgza−x=C
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
x+ y−aarctgza−x=C y−aarctg
za=C
5. x2 ( xdx+ ydy )=(x¿¿2+ y2)dx ¿
z=x2+ y2
dz=2xdx+2 ydy
dz=2(xdx+ ydy)
x2
2dz=zdx
∫ dzz
=2∫ dx
x2
ln z ¿C− 2x
ln (x¿¿2+ y2)¿C−2x¿
ln (1¿¿2+22)¿C−21
¿
C=ln (5 )+2
ln (x¿¿2+ y2)¿2 ln (5)−2x¿
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS HOMOGENEAS
1. xdy= y+√ y2−x2dx
xdy= y+√ y2−x2dx
M (x , y )=x N ( x , y )= y+√ y2−x2
M ( λx , λy )=λx N ( λx , λy )=λy+√ λ2 y2−λ2 x2
M ( λx , λy )=λM ( x , y ) N ( λx , λy )=λN ( x , y )
Homogénea primer grado Homogénea primer grado
y=vx dy=vdx+ xdv
x (vdx+xdv )−(vx+√ v2 x2−x2)dx=0
x (vdx+xdv−vdx−√v2−1dx)=0÷x
xdv−√v2−1dx=0÷ x√v2−1
∫ dv
√v2−1−∫ dx
x=0
ln (v+√v2−1 )−lnx=ln (C )
ln(v+√v2−1)
x=ln (C)
(v+√v2−1)x
=C
yx+√ y
x2
2
−1=Cx
y+√ y2−x2
x=Cx
y+√ y2−x2=x2C
2. ycos (x )dx+(2 y−sen (x))dy=0
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
t=sen ( x )dt=cos ( x )dx
ydt+(2 y−t)dy=0
M (t , y )= y N ( t , y )=2 y−t
M ( λt , λy )=λy N ( λt , λy )=2 λy+λt
M ( λt , λy )=λM ( t , y ) N ( λt , λy )= λN ( x , y )
Homogénea primer grado Homogénea primer grado
y=vt dy=vdt+tdv
vtdt+ (2vt−t )(vdt+tdv)=0
vtdt+ t (2v−1 ) ( vdt+tdv )=0÷ t
vdt+(2v−1 ) (vdt+ tdv )=0
vdt+2v2dt+2vtdv−vdt−tdv=0
2v2dt+ tdv (2v−1 )=0÷2v2 t
∫ dtt
+∫ (2v−1 )dv2v2
=0
ln t+∫ 2 vdv2v2
−∫ dv
2v2=C
lnt+ln ( v )− 12v
=C
ln ( tv )− 12v
=C
ln ( sen (x) ysen(x ) )− sen (x)
2 y=C
lny−sen( x)2 y
=C
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
3. (x− ycosyx )dx+xcos ( yx )dy=0
M (x , y )=x− ycos ( yx) N ( x , y )=xcos ( yx )
M ( λx , λy )=λx−λycos ( λyλx ) N ( λx , λy )=λxcos( λyλx )M ( λx , λy )=λ (x− ycos ( λyλx )) N ( λx , λy )=λxcos( yx )M ( λx , λy )=λM (x , y) N ( λx , λy )=λN (x , y )
Homogénea primer grado Homogénea primer grado
y=vx dy=vdx+ xdv v= yx
( x−vxcosv )dx+xcos(v )(vdx+xdv )=0
xdx−vxcosvdx+xvcosvdx+ x2 cos (v )dv=0
x (dx+x cos (v )dv )=0÷ x
dx+x cos (v )dv=0÷x
∫ dxx
+∫ cosvdv=0
x+senv=C
lnx+sen( yx )=C
4. x y'=√ y2− x2
M (x , y )=x N ( x , y )=√ y2−x2
M ( λx , λy )=λx N ( λx , λy )=√ λ2 y2−λ2 x2
M ( λx , λy )=λM (x , y) N ( λx , λy )=√ λ2( y2−x2)
Homogénea primer grado N ( λx , λy )=λ√ y2−x2
N ( λx , λy )=λN (x , y )
Homogénea primer grado
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
y=vx dy=vdx+ xdv
xdy=√ y2−x2
xvdx+x2dv−(√v2 x2−x2) dx=0
xvdx+x2dv−x√v2−1dx=0
x (vdx+xdv−√v2−1dx )=0÷ x
vdx+xdv−√v2−1dx=0
dx (v−√v2−1 )+ xdv=0÷ (v−√v2−1 ) x
∫ dxx
+∫ dv
√v2−1=0
lnx+ ln (v+√v2−1 )=lnC
ln ( x (v+√v2−1 ))=lnC
x ( yx +√ yx
2
−1)=C
y+x (√ yx
2
−1)=C
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
5. 4 x2−xy+ y2+ y ' (x2−xy+4 y2)=0
(4 x2−xy+ y2 )dx+(x2−xy+4 y2)dy=0
M (x , y )=4 x2−xy+ y2 N ( x , y )=x2−xy+4 y2
M ( λx , λy )=4 λ2 x2−λxλy+λ2 y2 N ( λx , λy )=λ2 x2−λxλy+4 λ2 y2
M ( λx , λy )=λ2 (4 x2−xy+ y2 ) N ( λx , λy )=λ2 (x2−xy+4 y2 )
M ( λx , λy )=λ2M (x , y) N ( λx , λy )=λ2N (x , y )
Homogénea segundo grado Homogénea primer grado
y=vx dy=vdx+ xdv
(4 x2−x2 v+v2 x2 )dx+(x2−x2 v+4v2 x2)(vdx+ xdv)=0
x2 (4−v+v2 )dx+x2 (1−v+4 v2 ) (vdx+xdv )=0÷ x2
4 dx−vdx+v2dx+vdx+xdv−v2dx−vxdv+4 v3dx+4v2 xdx=0
4 dx+xdv−vxdv+4 v3dx+4 v2 xdx=0
dx (4+4 v3 )+xdv (1−v+4 v2 )=0÷ (4+4v3 ) x
∫ dxx
+∫ (1−v+4 v2)dv4+4 v3
=0
lnx+ 32ln ( v+1 )−3
2ln (v2−v+1 )=lnC
lnx (v+1 )
32
(v2−v+1 )32
=lnC
x ( v+1 )32
(v2−v+1 )32
=C
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
Integración por fracciones parciales
4+4v3= (v+1 ) (4 v2−4v+4 )
∫ (1−v+4 v2)dv(v+1 ) (4v2−4 v+4 )
= Av+1
+ Bv+C4 v2−4 v+4
4 v2−v+1=4v2 A−4 vA+4 A+Bv2+Cv+Bv+C
v2:4 A+B=4B=4−4 A
v1:4 A+B+C=−14 A+4−4 A+1−4 A=−1
v0: 4 A+C=1C=1−4 A
5−4 A=−1 4 ( 32 )+B=4 4 ( 32 )+C=1
−4 A=−6 6+B=4 6+C=1
A=32
B=−2 C=−5
∫ (1−v+4 v2)dv(v+1 ) (4v2−4 v+4 )
=∫ 3dv2 ( v+1 )
−∫ (2 v+5 )dv4 (v2−v+1)
¿ 32∫
dv(v+1 )
−14∫
(2 v+5 )dv(v2−v+1 )
z=v2−v+1
¿ 32∫
dv(v+1 )
−14∫
(2 v+5−1+1 )dv(v2−v+1 )
d z=(2v−1 )dv
¿ 32ln (v+1)−6
4∫dzz
¿ 32ln (v+1)−6
4lnz
¿ 32ln (v+1)−6
4ln (v2−v+1 )
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS
1. (2 x+2 y−1 )+ y ’ (x+ y−2 )=0(2 x+2 y−1 )dx+( x+ y−2 )dy=0
(2 x+2 y−1 )=0
( x+ y−2 )=0
|2 21 1|=2−2=0z=2 x+2 y ÷2
dz=2dx+2dy
dy=( dz−2dx2 )( z−1 )dx+( z2−2)( dz−2dx2 )=0( z−1 )dx+( z−42 )( dz−2dx2 )=0(4 z−4 )dx+(z−4 )(dz−2dx )=0
4 zdx−4dx+zdz−2 zdx−4dz+8dx=0
(2 z+4)dx+(z−4)dz=0
∫2dx+∫ z−4z+2
dz=0
z−4z+2
=∫ dz+∫ 6z+2
dz
2 x+z−6 ln(z+2)=C
4 x+2 y−6 ln(2 x+2 y+2)=C
2. (2 x+2 y−1 )+ y ’ (x+ y−2 )=0z=x+ y dz=dx+dydy=dz−dx
(2 z−1)dx+(z−2)(dz−dx )=0
2 zdx−dx+zdz−2dz−zdx+2dx=0
(z+1)dx+(z−2)dz=0
∫ dx+∫ z−2z+1
dz=0
z−2z+1
=∫ dz+∫ 3z+1
dz
2 x+ y−3 ln(x+ y+2)=C
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
3. (3 y−7 x+7)dx−(3x−7 y−3)dy=0
3 y−7 x+7=0 −7 3−3 x+7 y+3=0 −3 7
=−49+9=−40
3 y−7 x+7=0(3)−3 x+7 y+3=0 (−7)
−2 (x+9 y+2 )=02(x−49 y−2)=0
−40 y=0xo=0yo=1
[3 (k )−7 (h+1 )+7 ]dh−[3 (h+1 )−7 ( k )−3 ]dk=0
(3k−7h )dh− (3h−7k )dk=0
k=vh dk=vdh+hdv
h (3v−7 )dh−h (3−7 v ) ( vdh+hdv )=0÷h
7 (v2−1 )dh+h (7 v−3 )dv=0
7∫ dhh
+∫ (7 v−3 )(v2−1 )
dv=0
7v−3(v+1)
= A(v−1)
+ B(v+1)
7 v−3=A ( v+1 )+B ( v−1 )
v=1 4=2 A A=2v=−1 −10=−2B B=5
∫ 2dvv−1
+∫ 5dvv+1
7 lnh+2 ln ( v−1 )+5 ln ( v+1 )=lnC
( x−1 )7( yx−1
−1)2
( yx+1
−1)5
=C
( y−x+1 )2 ( y+x−1 )5=C
ANALISIS MATEMATICO III
x=xo+h y=0+k
x=1+h y=k
dx=dh dy=dk
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES EXACTAS
1. (seny+ ysenx+ 1x )dx+(xcosy−cosx+ 1
y )dy=0∂Mdy
=cosy+senx ∂ Ndx
=cosy+senx
∫x0
x
(seny+ ysenx+ 1x )dx+∫
y0
y
(xcosy−cosx+ 1y )dy
xseny− ycosx+lnx x¿ x0
+ x0 seny− ycos x0+ lnyy
¿ y0=C
seny− ycosx+ lnx+lny=C
seny− ycosx+ lnxy=C
2. ( xy
√1+x2+2xy−
yx )dx+(√1+x2+x2−lnx )dy=0
∂Mdy
= x
√1+¿+2 x−1x∂ Ndx
=x
√1+x2+2x−
1x¿
∫x0
x
( xy
√1+x2+2xy− y
x )dx+∫y0y
(√1+x02+x02−ln x0 )dy=0
y √1+x2+x2 y− ylnx x¿ x0
+ y√1+x02+ y x02−ln x0 y
y¿ y0
=C
y √1+x2+x2 y− ylnx=C
3. (3 x2−2 x− y )dx+(2 y−x+3 y2 )dy=0
∂Mdy
=−1 ∂Ndx
=−1
∫x0
x
(3x2−2 x− y )dx+∫y0
y
(2 y−x+3 y2 )dy=0
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
x3−x2− yx x¿ x0
+ y2+x0 y+ y3 y¿ y0
=C
x3−x2− yx+ y2+ y3=C
4. ( sen 2xy+x )dx+( y− sen2 x
y2 )dy=0∂Mdy
=−sen2xy2
∂ Ndx
=−se n2 xy2
∫x0
x
( sen2 xy+x )dx+∫
y0
y
( y− sen2 xy2 )dy=0
−cos2 x2 y
+ x2
2x
¿x0+ y2
2+se n2 x0
yy
¿ y0=C
−cos2 x2 y
+ x2
2+ y2
2=C
−cos2 x+ y x2+ y3=C
5. x (2x2+ y2 )+ y (x2+2 y2 ) y '=0
(2 x3+ y2 x )dx+(6 x2 y+4 y3)dy=0
∂Mdy
=2 yx ∂Ndx
=2 xy
∫x0
x
(2x3+ y2 x )dx+∫y0
y
(6 x2 y+4 y3 )dy=0
x4
2+ y2 x2
2x
¿ x0+x02 y2
2+ y4
2y
¿ y0=C
x4
2+ y2 x2
2+ y 4
2=C
x4+ y2 x2+ y4=C
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES CON FACTORES DE INTEGRACION
1. ( x+senx+seny )dx+cosydy=0
∂Mdy
=cosy∂ Ndx
=0
∂Mdy
−∂Ndx
N (x , y )=cosy−0cosy
=1FI=e∫dx=ex
ex [ ( x+senx+seny )dx+cosydy ]=0
(x ex+ex senx+ex seny )dx+ (ex cosy )dy=0
∂Mdy
=excosy∂ Ndx
=ex cosy
∫x0
x
(x ex+ex senx+ex seny )dx+∫y0
y
(ex0cosy )dy=0
u=x dv=ex dx u=senxdu=dx v=ex du=cosxdx
dv=ex dx u=cosx dv=ex dxv=ex du=−senxdx v=ex
x ex−ex+ex (senx−cosx ¿¿¿2 ) x¿ x0
+ex0 seny y¿ y0
=C
x ex∓ex (s¿¿¿2 )+ex seny=C
2 ( x−1 )+ex (s enx−cosx )+2 seny ex=C
2. xydx+(x2+ y2+1 )dy=0
∂Mdy
=x∂Ndx
=2 x
∂Mdy
−∂Ndx
N (x , y )=x−2 xxy
=−1y
FI=e∫ 1
ydy
=e lny= y
y [ xydx+(x2+ y2+1 )dy ]=0
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
x y2dx+ y (x2+ y2+1 )dy=0
∂Mdy
=2 xy ∂ Ndx
=2 xy
∫x0
x
x y2dx+∫y0
y
y (x2+ y2+1 )dy=0
∫x0
x
x y2dx+∫y0
y
( y x02+ y3+ y )dy=0
x2 y2
2x
¿ x0+ y 4
4+ y2
2y
¿ y0=C
x2 y2
2+ y4
4+ y2
2=C ×2
x2 y2+ y4
2+ y2=C
3. (1−x2 y )dx+x2 ( y−x )dy=0
(1−x2 y )dx+(x2 y−x3 )dy=0∂Mdy
=−x2∂Ndx
=2 xy−3 x2
∂Mdy
−∂Ndx
N (x , y )=
−x2−2xy+3 x2
1−x2 y=
−2x
FI=e∫−2
xdy
=e−2 lny=1
x2
1
x2[ (1−x2 y )dx+ (x2 y−x3 )dy ]=0
( 1x2− y)dx+( y−x)dy=0
∂Mdy
=−1 ∂Ndx
=−1
∫x0
x
( 1x2− y )dx−∫y0
y
( y−x0 )dy
−1x
− yx x¿ x0
+ y2
2y
¿ y0=C
x y2−x2 y−2=Cx
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
4. (x2+ y2+1 )dx−2 xydy=0
∂Mdy
=2 y ∂Ndx
=−2 y
∂Mdy
−∂Ndx
N (x , y )=2 y+2 y−xy
=−2x
FI=e∫−2
xdy
=e−2 lny=1
x2
1
x2[ (x2+ y2+1 )dx−2xydy ]=0
(1+ y2
x2+ 1x2 )dx−dy=0
∫x0
x
(1+ y2
x2+ 1x2 )dx−∫y0
y2 yx
dy
x− y2 x−1−x−1 x¿ x0
=C
x2− y2−1=Cx
5. (1−x2 y )dx+x2 ( y−x )dy=0
(1−x2 y )dx+(x2 y−x3 )dy=0∂Mdy
=−x2∂Ndx
=2 xy−3 x2
∂Mdy
−∂Ndx
N (x , y )=
−x2−2xy+3 x2
1−x2 y=
−2x
FI=e∫−2
xdy
=e−2 lny=1
x2
1
x2[ (1−x2 y )dx+ (x2 y−x3 )dy ]=0
( 1x2− y)dx+( y−x)dy=0
∂Mdy
=−1 ∂Ndx
=−1
∫x0
x
( 1x2− y )dx−∫y0
y
( y−x0 )dy
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
−1x
− yx x¿ x0
+ y2
2y
¿ y0=C
x y2−x2 y−2=Cx
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES LINEALES
1. 2 x y '− y=3x2
dydx
− 12 x
y=3 x2
y=e−∫−dx
2x [∫ e∫−dx2 x ( 3 x2 )dx+C]
y=e12lnx [∫ e
−12
lnxxdx+C ]
y=√x ( 32∫√ x dx+c)
y=√x (x32+C)
2. ( x+1 )dy−[2 y+( x+1 )4 ]dx
dydx
− 2(x+1 )
y=( x+1 )3
y=e−∫ −2
x +1 [∫e∫ −2
x+1 ( x+1 )3dx+C ]y=e2 ln ( x+1 ) [∫e−2 ln ( x+1 ) ( x+1 )3dx+C ]
y= (x+1 )2 [∫ ( x+1 )dx+C ]
y= (x+1 )2[ (x+1 )2
2+C]
y=( x+1 )4
2+C
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
3. y '= 1xseny+2 sen2 y
dydx
= 1xseny+2 sen2 y
dydx
−xseny=2 sen2 y
x=e−∫−senydy [∫ e∫−senydy (2 sen2 y )dy+C ]x=e−cosy [4∫ ecosy senycosydy+C ]x=e−cosy [ (4−4 cosy )+C ]x=4 (1−cosy )+C
x=8 sen2 y2
+C
4. x ( x3+1 ) y '+(2 x3−1 ) y= x3−2x
÷ x (x3+1 )
dydx
+(2 x3−1 ) yx (x3+1 )
=¿
y=e−∫ (2 x3−1 )
x (x3+1)dx[∫ e
∫ (2 x3−1 )x (x3+1)
dx( x3−2x2 (x3+1 ) )dx+C ]
y=e−ln
x3−1x
dx[∫ eln
x3−1x
dx( x3−2x2 (x3+1 ) )dx+C ]
y= xx3−1 [∫ x3−2
x3dx+C]
y=x
x3−1 (x+ 1x2+C )5.
dydx
− y=2 x ex2
y=e−∫ p( x)dx [∫e∫ p (x)dx q(x )dx+C ]y=ex2 [∫2 x dx+C ]
y=ex2 (x2+C )
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
6. y '+2 y=x2+2x
dydx
+2 y=0
∫ dyy
=∫2dx
lny=−2x+c
y=C e−2x
y=C (x)e−2x
dydx
=C '(x)e−2x+C ( x )e
−2 x(−2)
C '( x)=e2x (x2+2 x )
∫ dc(x)=∫ e2 x (x2+2x )dx
C(x )=12x2e2x+1
2xe2x−1
4e2x+C
y=12x2+ 1
2x−14+C e−2 x
7. y '− y=x
dydx
− y=0
∫ dyy
=∫dx
lny=x+C
y=C ex
y=C ( x ) ex
dydx
=C '(x)ex+C ( x )e
x
∫C '(x)=¿∫ x e−x dx¿
u=x dv=e− xdxdu=dx v=−e− x
C(x )=−x e−x+∫ e−x dx
C(x )=−x e−x−e− x+C
y=(C−xe− x−e−x )
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
y=C ex−x−1
8. x2 y '= y2 (1+2 x2)÷ x2
dydx
+2 xy= y2( 2 x2+1x2 )y=u v
dydx
=vdudx
+u dvdx
vdudx
+u dvdx
+2 xuv=u2 v2( 2x2+1x2 )vdudx
+2xuv=o÷v
dudx
+2xu=o
∫ duu
=−∫2 xdx
lnu=−x2
u=e−x2
udvdx
=u2 v2(2 x2+1x2 )dvdx
=( 2 x2+1x2 )∫ v−2dv=∫e−2 x2( 2 x2+1x2 )dx−v−1=∫(2+x−2)dx
u=e−x2 dv=x−2dx
dy=−2x e−x2 v=−x−1
−v−1=−x−1 e−x2(−1)
1v= 1
x1 ex2
v=x ex2+C
y=e−x2(x ex2
+C )
y=C e−x2+x
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
9. x2 y '+2 x3 y= y2 (1+2 x2)
dydx
+2 xy= y2( 1+2 x2x2 )÷ y2
y−2 dydx
+2 x y−1=( 1+2 x2x2 )z= y−1 dz
dx=− y−2 dy
dx
−dzdx
+2 zx=1+2 x2
x2(−1)
dzdx
−2 zx=−1+2 x2
x2
z=e−∫−2xdx [−∫ e∫
−2 xdx 1+2 x2
x2dx+C]
z=e x2[−∫e− x2 1+2x2
x2dx+C ]
z=[∫ d ( e−x2
x )dx+C]1y=1x+Cex2
10. y '= 3 x2
x2+ y+1
dydx
= 3x2
x2+ y+1dxdy
= x2+ y+13x2
dxdy
−13= y+1
3x−2(x2)
x2dxdy
−13x2= y+1
3
z=x2dzdy
=3 x2 dxdy
13dzdy
−13z= y+1
3(3)
x=e−∫−dy [∫ e∫−dy ( y+1 )dy+C ]x=e y [∫ ( y+1 )dy+C ]
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
x3=e y [−e− y ( y+1 )−e− y+C ]x3=− y−2+Cey
11. (1+x2 ) y '=xy+ x2 y2
y '− x1+x2
y= x2
1+x2y2 ( y−2 )
y−2 y '− x1+x2
y−1= x2
1+x2
z= y−1 dzdx
=− y−2 dydx
−dzdx
− x1+x2
z= x2
1+x2(−1)
z=e−∫ x
1+x2dx [∫ e
∫ x1+x2
dx( −x2
1+x2 )dx+C]z=e
−12ln (1+ x2)[−∫ e
12ln (1+x2) x2
1+x2dx+C ]
z= 1
√1+x2 [−∫ x2
√1+x2dx+C]
1y= 1
√1+x2 (−x2
√1+x2+ 12ln ( lnx+√1+ x2 )+C )
12. y '+ y1+x
=12
( x+1 )3 y2 ( y−2 )
y ' y−2+ y−1
1+x=12
( x+1 )3
z= y−1 dzdx
=− y−2 dydx
−dzdx
+ z1+x
=−12
( x+1 )3
dzdx
− z1+x
=12
( x+1 )3
z=e−∫−dx
1+ x [∫e∫−dx1+x 12
(x+1 )3dx+C ]z=e ln (1+ x)[−∫e−ln (1+x) 1
2( x+1 )3dx+C ]
z=(1+x)[∫e−ln (1+ x) 12
(x+1 )3dx+C]
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
z=(1+x )[∫ ( x+1 )2
2dx+C ]
1y2
=( x+1 )4
6+C(1+ x)
13. y '− ytg ( x )=sec ( x ) , y|¿ x=0=0
y=e−∫−tg ( x )dx [∫ e∫−tg ( x )dx sec (x )dx+C ]y=e−lncos(x)[−∫ e−ln sec (x)sec (x)dx+C ]
y=sec (x )[∫ sec (x )sec (x )
dx+C ]y=sec ( x ) ( x+C ) , para x=0 ,C=0
y=sec ( x ) ( x+0 )
y= xcos (x )
14. y ' cos ( y )+sen ( y )=x+1
z=sen( y) dzdx
=cos ( y) dydx
dzdx
+z=x+1
z=e−∫ dx [∫e∫ dx ( x+1 )dx+C ]z=e− x [∫ ex ( x+1 )dx+C ]sen ( y )=x+c e−x
15. y '+xsen (2 y )=x e−x2 cos2 y
y '+xsen (2 y )=x e−x2 cos2 y
sec2 ( y ) dydx
+2 xtg ( y )=x e− x2
z=tg( y ) dzdx
=sec2 xydydx
dzdx
+2 xz=x e−x2
z=e−∫ 2xdx [∫ e∫2xdx x e− x2dx+C ]tg ( y )=e− x2 [∫ x dx+C ]
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
tg ( y )= x e− x2
2+c e−x2
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
1. x=ln y '+sen y '
x=lnp+senp
dxdp
= 1p+cosp
dx= 1p+cospdp
dyp
=1p+cosp
∫ dy=∫(1+ pcosp)dp
u=p dv=cospdpdu=dp v=−senp
−psenp−cosp
y=p−psenp−cosp+C
2. y '=ey '
y
p=epy
lnp= py
y= plnp
dydp
= lnp−1ln2 p
dy=lnp−1ln2 p
dp
pdx=lnp−1ln2 p
dp
∫ dx=∫ lnp−1p ln2 p
dp
x=∫ dpplnp
−∫ dp
pl n2 p
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
x= ln ( lnp )− 1lnp
+C
x=ln ( ln2 p )+C
3. y=( y '−1 )e y'
y=pe p−ep
dydp
=pe pdp
pdx=pepdp
∫ dx=∫ e pdp
x=e p+C
4. −2 xp+ y=0
x=8 y p2+ y
2 p
dxdy
=( 8 p2+12 p )+( 16 yp (2 p )−(18 y p2+ y)(2)
4 p2 ) dpdy1p=( 8 p2+12 p )+( 32 y p2−16 y p2+2 y4 p2 ) dpdy1p=4 p+ 1
2 p+( 8 y p2− y
2 p2 ) dpdy( 1p−4 p)dy= y( 8 p2−12 p2 )dp∫ dy
y=−∫ dp
p
lny=lnC−lnp
y= cp
5. y= y ' ln y '
y=plnp
dy=lnp+1
pdx=lnp+1
∫ dx=∫( lnpp + 1p )dp
x=12ln 2 p+lnp
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1. y ' ' '=x ex y (0 )= y ' (0 )= y ' ' (0 )=0
y ' '=ex (x−1 )+C1
e0 (0−1 )+C1=0
C1=0
y ' '=xex−ex+1
y '=e x ( x−1 )−ex+x+C2
e0 (0−1 )−e0+0+C2=0
C2=2
y '=xex−2ex+x+2
y=ex ( x−1 )−2ex+ x2
2+2 x+C3
e0 (0−1 )−2e0+ 02+2 (0 )+C3=0
C3=3
y=ex ( x−3 )+ x2
2+2 x+C
2. y ' ' '=xln(x ) y (1 )= y ' (1 )= y ' ' (1 )=0
y ' ' '=xln(x ) y (1 )= y ' (1 )= y ' ' (1 )=0
12 ( ln (1 )−1
2 )C1=0
C1=14
y ' '= x2
2ln ( x )− x2
4+ 14
y '= x3
6 ( ln ( x )−13 )− x3
12+ 14x+C2
16 (ln (1 )−1
3 )− 112
+ 14x+C2=0
C2=−19
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
y '= x3
6ln ( x )− x3
18− x3
12+ 14x−19
y '= x3
6ln ( x )− 5
18x3+ 1
4x−19
y= x4
24 ( ln ( x )−14 )− 5
144x4+ x2
8−19x+C3
124 ( ln (1 )−1
4 )− 5144
(1 )4+ 18−19+C3=0
C3=132
y= x4
24 ( ln ( x )−14 )− 5
144x4+ x2
8−19x+ 132
3. y ' ' '= x
( x+2 )5y (1 )= y ' (1 )= y ' ' (1 )=0
y ' ' '=u−2(u )5
u=x+2 x=u−2,1=u−2 , u=3dx=dv
y ' '=−13u3
+ 1
2u4+C1
−13 (3 )3
+ 1
2 (3 )4+C1=0
C1=1162
y ' '= 1
2u4− 1
3u3+ 1162
y '= 1
6u2− 1
6u3+ u162
+C2
1
6(3)2− 1
6 (3 )3+ 3162
+C2=0
C2=5162
y '= 1
6u2− 1
6u3+ 1162
+ 5162
y=−16u
+ 112u2
+ u2
324+ 5162
u+C3
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
−118
+ 1108
+ 136
+ 554
+C3=0
C3=−227
y= 1
12 ( x+2 )2− 16 ( x+2 )
+( x+2 )2
324+5 (x+2 )162
− 227
4. (1+x2 ) y ' '+ y '2+1=0
y '=u
y ' '=u '
(1+x2 )u'+u2+1=0
(1+x2 ) dudx
=−u2−1
−du
1+u2= dx
1+x2
−t g−1u=t g−1 x+C1
−u=x+C1
y '=−x−C1
y=−x2
2−Cx+C2
5. x y' '= y ' lny '
x
y '=u z=ux
y ' '=u'u '=z+z ' x
xu '=ulnuxx=ln ( z )−1
u'=uxln
uxdx=1
z
z+z ' x=zlnz
z ' x=zlnz−z
dzz( lnz−1)
=dxx
ln ( lnz−1 )=lnx+lnC
ANALISIS MATEMATICO III
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO
lnz−1=Cx
lnz=Cx+1
z=eCx+1
y '
x=eCx+1
ANALISIS MATEMATICO III