EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA Construcciones Elementales.
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EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA
Construcciones Elementales
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Ejercicio Nº 1En cada uno de los puntos A, B, C hay un faro. Determinar la posición de un barco P teniendo en cuenta que las visuales desde dicho barco hacia los puntos A y B forman 45º y hacia B y C 60º
A
B
C
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Unimos los puntos A-B y B-C y construimos los ángulos de 45º y 60º respectivamente
A
B
C
60°
45°
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Trazamos por A y por B una perpendicular a los ángulos construidos, seguidamente trazamos las mediatrices de A-B y B-C que se cortan con las perpendiculares anteriores en los centros O1 y O2
A
B
C
60°
45°
90° 90°
O1 O2
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Trazamos las circunferencias de centros O1 y O2 que pasen por A, B y por C, D respectivamente que se cortan en el punto P que es el punto buscado.En realidad es una aplicación del arco capaz
A
B
C
60°
45°
90° 90°
P
O1 O2
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Ejercicio Nº 2Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo en A = 60º opuesto al lado a
Trazamos el lado a = 50m/m
C Ba
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Trazamos la mediatriz del lado a :CB, en un extremo el C construimos un ángulo dado del vértice opuesto de 60º
C Ba
60°
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Trazamos una perpendicular al ángulo de 60º antes trazado, que corta a la mediatriz del lado CB en el punto O1, centro del arco capaz del segmento CB
C Ba
O1
60°
90°
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Con centro en el extremo C y radio b = 25 m/m, hallamos el punto A .Aplicación del arco capaz el ángulo A tiene 60º
C Ba
O1
A
b c
60°
90°
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Ejercicio Nº 3Trazar la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa a = 86 m/m. y uno de los ángulos adyacentes B = 32º
Trazamos la hipotenusa BC = 86 m/m determinamos el punto medio y trazamos la semicircunferencia que pasa por B y C (no hace falta trazar el arco capaz por ser el ángulo de 90º, la perpendicular es el mismo lado BC
B Ca
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Construimos el ángulo de 32º en el vértice B que corta a la semicircunferencia en el punto A que es el otro vértice del triangulo buscado
B Ca32°
A
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Unimos el punto A con el vértice C y tenemos construido el triangulo rectángulo de ángulo recto en el vértice A
B Ca32°
A
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Trazamos las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en el punto O centro de la circunferencia inscrita buscada
B Ca32°
O
c
b
A
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Trazamos las perpendiculares a los lados que nos dan los puntos T de tangencia de la circunferencia inscrita, que trazamos de centro en O y radio OT
B Ca32°
O
c
b
A
TT
T
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Ejercicio Nº 4Dibujar un triángulo isósceles del que se conocen el lado desigual a = 45 m/m. y el ángulo desigual A = 50º
Trazamos el lado a = 45 m/m
B Ca
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Construimos la mediatriz del lado BC y el ángulo de 50º en el extremo B después trazamos el ángulo de 90º que corta a la mediatriz en el punto O, centro del arco capaz
B Ca
50°
90°
O
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Trazamos el arco de centro O y radio OB = OC que corta a la mediatriz en el punto A que es el otro vértice del triángulo
B Ca
50°
90°
O
A
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Unimos el vértice A con los B y C y tenemos el triángulo buscado
B Ca
50°
90°
O
A
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Ejercicio Nº 5Construcción de un triángulo conociendo un lado y sus ángulos adyacentesTrazamos el lado AB dado
A BA B
A Bc
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Se transportan los ángulos A y B dados sobre el segmento anteriorSe prolongan los lados de los ángulos, se cortan en el punto C y se completa el triángulo
A B
C
A B
A B
ba
c
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Ejercicio Nº 6Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo comprendido B = 60º Se lleva el segmento BC dado
B Ca
B Ac B
CaB
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Se transporta el ángulo B dado sobre el segmento anterior
CaB
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Traza un arco con centro en de radio 25mm. que corta en el punto A al lado del ángulo
CaB
A
R25
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Se completa el triángulo
CaB
A
c b
R25
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Ejercicio Nº 7Construir un triángulo rectángulo en A ,conociendo la Hipotenusa y la diferencia de los catetos b-c.
Se lleva el segmento b-c dado
aB C
b- c
b- c
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Se construye un ángulo de 45º sobre el segmento anterior
b- c45°
C
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Se traza un arco con centro en C de radio la hipotenusa a que corta en el punto B al lado del
ángulo
b- c45°
C
B
R50
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Desde B se traza un perpendicular la lado b-c donde corta a la prolongación es el vértice Ay tenemos el triángulo que se nos pide
b- c45°
C
B
A
R50
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Ejercicio Nº 8Construcción de un triángulo rectángulo en A, si se conoce un cateto c y la suma de la hipotenusa y el otro cateto a + b
Se lleva el segmento a + b dado
a+b
c
a+b
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Se construye un triángulo rectángulo de cateto mayor (a + b) y cateto menor c
a+b
c
A
B
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Traza la mediatriz de la hipotenusa del triángulo anterior que corta al cateto (a + b) en el
punto C que es el vértice del triángulo que se busca
a+b
c
A
B
C
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Unimos B con C y tenemos el triángulo rectángulo
a+b
c
b
a
A
B
C
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Ejercicio Nº 9Construcción de un cuadrado conociendo la suma de la diagonal mas el lado
Construimos un cuadrado cualquiera ABDE
D+L
A B
DE
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Trazamos la diagonal de este cuadrado y la prolongamos, haciendo centro en D y radio DB obtenemos el punto N que es la suma de la diagonal mas el lado de este cuadrado, unimos N y B
A B
DE
D'+L'
N
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Llevamos sobre esta diagonal la dada D + L , obteniendo el punto M por trazamos una paralela a la recta NB y tenemos el punto C que es el lado del cuadrado buscado
A B
DE
D'+L'
D+L
N
M
C
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Por C trazamos el lado del cuadrado y tenemos el cuadrado que nos piden
A B
DE
D'+L'
D+L
N
M
L C
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Ejercicio Nº 10Construir un rectángulo áureo
Se construye un cuadrado de lado igual al menor del rectángulo que queremos construir.
A B
CD
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Se determina la mitad del lado AB punto 1 se traza una circunferencia de centro en 1 y radio 1C hasta B'
A B
CD
1B'
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AB' es el lado del rectángulo buscado
A B
CD
1B'
C'
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Ejercicio Nº 11División de la circunferencia en nueve partes iguales Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD
C
B
A
D
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Con centro en A trazamos el arco O2 y con centro en B trazamos el arco O1
C
B
O
A
1
2
D
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3º Con centro en A trazamos el arco 1-3 y con centro en B el arco 2-3
C
B
A
1
2
3D
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Desde 3 se traza el arco de radio 3-A que corta al diámetro CD en al punto P, el segmento CP es la novena parte de la circunferencia
C
B
O
A
1
2
3DL9 P
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Se lleva el segmento CP sobre la circunferencia y obtenemos la división de la circunferencia en nueve partes o el eneágono
C
B
O
A
1
2
3DL9 P
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Ejercicio Nº 12Construcción de un heptágono regular dado el lado l = 20
Trazamos la mediatriz del lado dado AB
A B
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Se construye un ángulo de 30º grados, levantamos una perpendicular al lado por B
A B
1
30°
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Con centro en A trazamos el arco 1-O siendo O el centro de la circunferencia circunscrita al polígono
O
A B
1
30°
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Llevamos el lado AB sobre la circunferencia y tenemos la solución al problema
O
A B
1
30°
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Ejercicio Nº 13Construcción de un octógono regular conociendo el lado l = 20Trazamos la mediatriz del lado dado
A B
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2º Construimos un cuadrado auxiliar de lado dado l = 20
A B
CD
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Se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en el punto P se traza la circunferencia circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz al lado en el punto O, que es el centro de la circunferencia circunscrita del octógono .
A B
CD
O
P
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Se traza la circunferencia de centro O y radio OA y llevamos el lado del octógono sobre ella
A B
CD
O
P
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Ejercicio Nº 14Construir el eneágono regular a partir del lado dado l = 20
Construimos un triángulo equilátero de lado igual al lado dado, trazamos la altura
A B
M
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Trazamos la bisectriz del ángulo A que corta a la altura en el punto N.
A B
N
M b
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Se traza la circunferencia de centro M y radio MN que corta a las prolongaciones de los lados del triángulo en P y Q, unimos P y Q y donde esta recta corte a la prolongación de la altura punto O tenemos el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono.
A B
N
M b
P QO
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Trazamos la circunferencia de centro O y radio OA = OB
A B
N
M b
P QO
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Llevamos el lado sobre la circunferencia y trazamos el polígono.
A B
N
M b
P QO
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Ejercicio Nº 15
Construcción del decágono regular a partir del lado l = 20 Construimos el pentágono regular dado el lado l =20. trazamos por B la perpendicular, la mediatriz del lado AB, hacemos centro en B y con radio BA trazamos un arco que corta a la perpendicular por B en 1, con centro en el punto medio del lado AB se traza el arco 1-2, la distancia A-2 es el valor de la diagonal del pentágono, con centro en A y Radio A2 obtenemos el vértice superior del pentágono, hallamos los otros vértices
A B
1
2
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El vértice superior O es el centro de la circunferencia circunscrita del decágono
B
1
2
O
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Llevamos la medida del lado AB =20 m/m y construimos el decágono
A B
1
2
O
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Ejercicio Nº 16Rectificación de la semicircunferencia
Se lleva el lado del cuadrado y del triángulo inscritos en la circunferencia y la suma es el valor de la semicircunferencia
nrL4 L3
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Ejercicio Nº 16Rectificación de la semicircunferencia
Se construye un ángulo de 30º grados, llevamos tres veces el radio de la circunferencia punto BUnimos el punto anterior B con el C y esa es la longitud de la semicircunferencia
30°
3r
nr
A B
C