SECCIÓN 14.4 Centro de masa y momentos de inercia 1015

Ejercicios de la sección 14.4

En los ejercicios 1 a 4, hallar la masa de la lámina descrita porlas desigualdades, dado que su densidad es p(x,y) = xy. (Suge-rencia: Algunas de las integrales son más simples en coorde-nadas polares.)

1. O s x s 4, O s y s 3 2. x ;;, O, O s y s 9 - x2

3. x ;;, O, O s y s vi'4 - x2

4. x ;;,O, 3 s y s 3 + ~

En los ejercicios 5 a 8, hallar la masa y el centro de masa de lalámina con cada densidad.

5. R: rectángulo con vértices (O, O), (a, O), (O, b), (a, b)

a) p = k b) p = ky e) p = kx

6. R: rectángulo con vértices (O, O), (a, O), (O, b), (a, b)

a) p = kxy b) p = k(x2 + y2)

7. R: triángulo con vértices (O, O), (bI2, h), (b, O)

a) p = k b) p = ky e) p = kx

8. R: triángulo con vértices (O, O), (O, a), (a, O)

a) p = k b) p = x2 + y2

9. Traslaciones en el plano Trasladar la lámina del ejercicio 5cinco unidades a la derecha y determinar el centro de masaresultante.

10. Conjetura Utilizar el resultado del ejercicio 9 para formularuna conjetura acerca del cambio en el centro de masa cuandouna lámina de densidad constante se traslada h unidades hori-zontalmente o k unidades verticalmente. ¿Es la conjetura ver-dadera si la densidad no es constante? Explicar.

En los ejercicios 11 a 22, hallar la masa y el centro de masa dela lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuacionescon la densidad o densidades que se especifican. (Sugerencia:Algunas de las integrales son más sencillas en coordenadaspolares.)

11. y = vi'a2 - X2, y = O

a) p = k b) p = k(a - y)y

12. x2 + y2 = a2, O s x, O s y

a) p = k b) p = k(x2 + y2)

13. Y = ../X, y = O, x = 4, p = kxy

14. y = x3, y = O, x = 2, p = kx

115. Y = -1--2' Y = O, x = -1, x = 1,p = k+x16. xy = 4, x = 1, x = 4, p = kX2

17. x = 16 - y2, x = O, p = kx

18. y = 9 - X2, y = O, p = ky2

7TX19. Y = sen L' y = O, x = O, x = L, p = ky

7TX L20. Y = cos L' y = O, x = O, x = 2' p = k

21. Y = vi'a2 - X2, O s y s x, p = k

22. Y = vi'a2 - X2, y = O, Y = x, P ='kvi'x2 + y2

En los ejercicios 23 a 26, utilizando un sistema computacionalpara álgebra, hallar la masa y el centro de masa de la láminalimitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones con la den-sidad dada.23. y = e-x, y = O, x = O, x = 2, p = ky

24. Y = In x, y = O, x = 1, x = e, p = klx

7T 7T25. r = 2 cos 30, -6 s O s 6' p = k

26. r = 1 + cos O, P = k

En los ejercicios 27 a 32, verificar los momentos de inerciadados y hallar x y y. Suponer que la densidad de cada lámi-na es p = 1. (Estas regiones son formas de uso común usadas endiseño.)

27. Rectánguloy I = !bh3

x 3

I = ! b3hy 3

h

b-+----~--~----x

29. Círculoy

---1-----r~--t_~x

lo = tna4

31. Cuarto del círculoy

--4---~a~--~--~X

28. Triángulo rectángulo

y I = J... bh3x 12

I = J... b3hy 12

-+--~----~--~X

30. Semicírculoy

32. Elipsey

~----~-----=~x

En los ejercicios 33 a 40, hallar t.,t; lo, x y y para la lámina li-mitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.Utilizar un sis-tema computacional para álgebra a fin de evaluar las integralesdobles.

33. y = O, Y = b, x = O, x = a, p = ky34. Y = .Ja2 - X2, y = O, p = ky

35. Y = 4 - X2, y = O, x > O, p = kx

36. Y = x, y = X2, P = kxy

37. Y = ../X, y = O, x = 4, p = kxy

38. y = X2, y2 = x, P = x2 + y2

39. Y = X2, y2 = x, P = kx

40. y = x3, y = 4x, p = klyl

1016 CAPÍTULO 14 Integración múltiple

En los ejercicios 41 a 46, dar la integral doble requerida parahallar el momento de inercia 1,con respecto a la recta dada, dela lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.Utilizar un sistema computacional para álgebra y evaluar laintegral doble.

41. x2 + y2 = b2, P = k, recta:x = a (a > b)

42. Y = O, Y = 2, x = O, x = 4, p = k, recta:x = 6

43. Y = Jx, y = O, x = 4, p = kx, recta:x = 6

44. Y = ~ a2 - X2, y = O, p = ky, recta: y = a

45. y = ~a2 - x2, y = O, x« O, p = kia - y), recta:y = a

46. y = 4 - X2, y = O, p = k, recta: y = 2

Desarrollo de conceptos

51. Dar las fórmulas para hallar los momentos y el centro de 57.masa de una lámina plana de densidad variable.

52. Dar las fórmulas para hallar los momentos de inercia conrespecto a los ejes x y y de una lámina plana de densidadvariable.

53. Con sus propias palabras, describir qué mide el radio degiro.

El centro de masa de la lámina de densidad constantemostrado en la figura es (2, ~). En los ejercicios 47 aSO,hacer una conjetura acerca de cómo cambiará el centro demasa (x,y) si la densidad p(x,y). no es constante. Explicar.(Hacer la conjetura sin realizar cálculo alguno.)

y

32 4

47. p(x, y) = ky

49. p(x, y) = kxy

48. p(x, y) = kl2 - xl

50. p(x, y) = k(4 - x)(4 - y)

54. Demostrar el teorema de Pappus siguiente: Sea R una regiónplana y sea L una recta en el mismo plano tal que L no corta elinterior de R. Si r es la distancia entre el centroide de R y larecta, entonces el volumen V del sólido de revolución gene-rado por revolución de R en torno a la recta está dado porV = 27T rA, donde A es el área de R.

Hidráulica En los ejercicios 55 a 58, determinar la posición deleje horizontal Ya en el que debe situarse una compuerta vertical enuna presa para lograr que no haya momento que ocasione la rota-ción bajo la carga indicada (ver la figura). El modelo para Ya es

1-- yYa = Y - hA

donde )1 es la coordenada Y del centroide de la compuerta, ly esel momento de inercia de la compuerta con respecto a la rectaY =)1, h es la profundidad del centroide bajo la superficie, y Aes el área de la compuerta.

y

hL_§ ---.y=y 1_- y

- - - - - - - - - - - - - - - - - Ya = Y - hA

~===========-X56. y

y=L

~

a

xb

y 58.

55. y -t-------rt .z= L

d

t

xb

yy=L

d

xa

Proyecto de trabajo: Centro de presión sobre una vela

El centro de presión sobre una vela es aquel punto (xp, yp) en el cualpuede suponerse que actúa la fuerza aerodinámica total. Si la velase representa mediante una región plana R, el centro de presión es

yIRI y2 dA

v, = IRIydA·IRI xy dA

xl' = IRIydA

Considerar una vela triangular con vértices en (O, O), (2, 1) Y (O, 5).Verificar los valores de cada integral.

Calcular las coordenadas (xp' yp) del centro de presión. Dibujar unagráfica de la vela e indicar la localización del centro de presión.