Ejercicios de Matemáticas Financieras Para desarrollar en ...555 ANEXO 5 Ejercicios de Matemáticas...

555

ANEXO 5

Ejercicios de Matemáticas Financieras

Para desarrollar en clase

Instructor:

Dr. Arturo García Santillán

Aportación del equipo conformado por:

Aguilar Carmona Denisse Barradas García Edna A. Coria Kavanagh Marisol Terán Gutiérrez Irma E.

556

GRADIENTES

Se refiere a una serie abonos o pagos que aumentan o disminuyen (en $ o %), sea para liquidar una deuda o en su defecto para acumular un determinado fondo de ahorro que puede ser a corto, mediano o largo plazo, incluso a perpetuidad.

La cantidad constante de aumento de aumento o disminución

recibe el nombre de gradiente y la cantidad usada como inicio de

la serie recibe el nombre de cantidad base o simplemente base.

Se consideran tres tipos de gradientes:

Gradiente Aritmético

Gradiente Geométrico

Gradiente Aritmético- Geométrico

557

GRADIENTES ARITMÉTICOS El gradiente aritmético (Ga) o uniforme es una serie de cuotas periódicas o flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en la misma cantidad entre cada periodo. A esto se le llama gradiente aritmético. PROBLEMA 1.- Juan Carlos pide prestada cierta cantidad de dinero y firma un contrato-pagaré en el que se estipula la obligación de pagar en un año con pagos mensuales vencidos y una tasa del interés del 30% anual con capitalización mensual. Si el primer pago mensual es por $1,300.00 y los pagos sucesivos aumentaran $200.00 cada mes, encuentre la cantidad de dinero que Juan Carlos pidió prestada.

VALOR FUTURO Los pagos forman una sucesión aritmética, en donde la cantidad base es $1,300.00 y el gradiente es igual a $200.00. Datos: RP=$1,300.00 Ga=$200.00 n=12 i=30% anual =30/12=2.5% mensual

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Monto del

conjunto

1,300 1,500 1,700 1,900 2,100 2,300 2,500 2,700 2,900……….. Sucesivamente hasta 3,500

558

( ⁄) [( ⁄ )

⁄

] ⁄

Sustitución de Valores en la Formula:

(

) *( )

+

( ) *( )

+

( ) [

]

( ) [

]

( )[ ]

VALOR ACTUAL

Datos: RP=$1,300.00 Ga=$200.00 n=12 i=30% anual =30/12=2.5% mensual

[( ⁄) [( ⁄ )

⁄

] ⁄] ( ⁄ )

*(

) *( )

+

+ ( )

*( ) *( )

+

+ ( )

[( ) [

] ] ( )

559

[( ) [

] ] ( )

[( )[ ] ]( )

[ ]( )

( )( )

Problema 2.- El señor Martínez desea conocer el importe total de unos equipos de cómputo que

pagara en 6 pagos, siendo el primer depósito de $80,000 y que cada mes crecen en

forma aritmética si se realiza a una tasa de interés del 24%

capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto final del señor Martínez?

VALOR FUTURO

Datos:

i/m = 0.02( tasa de interés capitalizable en m periodos por año)

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6

Monto del

conjunto

80,000 80,200 80,400 80,600 80,800 81,000

560

Para resolverlo se ocupa la fórmula del Monto de un conjunto de rentas variables

vencidas con gradiente aritmético, la cual es la siguiente:

( ⁄) [( ⁄ )

⁄

] ⁄

Así tenemos:

(

⁄) [( ⁄ )

⁄

]

⁄

(

) *( )

+

( ) [( )

]

( )[ ]

VALOR ACTUAL

Datos:

i/m =0.02(tasa de interés capitalizable en m periodos por año)

[( ⁄) [( ⁄ )

⁄

] ⁄] ( ⁄ )

[(

⁄) [( ⁄ )

⁄

]

⁄

]( ⁄ )

561

*(

) *( )

+

+ ( )

*( ) *( )

+

+ ( )

[( )[ ] ]( )

[ ]( )

PROBLEMA 3.-

Ricky Rincón desea conocer el monto de 30 cuotas vencidas, las que crecen en forma aritmética a razón Ga=$1,500.00; con una tasa nominal del 35% capitalizable mensualmente, con pagos de $4,200.00. ¿Cuál sería el monto de esas cuotas al terminar el plazo?

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …………………………..…. 30

Monto

del

conjunto

4,200 5,700 7,200 8,700 10,200 11,700 13,200 14,700 16,200…………………….. Sucesivamente hasta 47,700

562

VALOR FUTURO

Datos:

n = 30 mensualidades Mga=?

i= 35% nominal con cap. mensual Rp=$4,200.00 ga = $1,500.00

1

(1 / ) 1 *( )

/ / /

nga i m n gaMga Rp

i m i m i m

30$1,500.00 (1 .35/12) 1 30 *$1,500.00($4,200.00 )

.35/12 .35/12 .35/12Mga

30$1,500.00 (1 .029166666) 1 $45,000.00($4,200.00 )

.029166666 .029166666 .029166666Mga

30(1.029166666) 1($4,200.00 $51,428.5726) $1,542,857.178

.029166666Mga

1.369034242($4,200.00 $51,428.5726) $1,542,857.178

.029166666Mga

$55,628.5726 46.93831794 $1,542,857.178Mga

$2,611,111.627 $1,542,857.178Mga

$1,068,254.449Mga

VALOR ACTUAL

Datos: n = 30 mensualidades Mga= $1’068,254.45

i= 35% nominal con cap. mensual Rp=$4,200.00 ga = $1,500.00

563

1

(1 / ) 1 *( ) (1 / )

/ / /

nnga i m n ga

VA Rp i mi m i m i m

(1 / ) nVA Mga i m

3030$1,500.00 (1 .35/12) 1 30*$1,500.00

($4,200.00 ) (1 .35/12).35/12 .35/12 .35/12

VA

301.369034242 $45,000.00($4,200.00 $51,428.5726) (1.029166666)

.029166666 .029166666VA

30($55,628.5726) 46.93831794 $1,542,857.18 (1.029166666)VA

$2,611,111.63 $1,542,857.18 (.422112936)VA

$1,068,254.45 (.422112936)VA

$450,924.02VA

PROBLEMA 4.-

La compañía Alfa & Omega, S.A. pide un préstamo y para ello firma un contrato con su

respectivo pagare en el que se estipula la obligación de pagar en 10 meses con pagos

mensuales vencidos y una tasa de interés del 20% anual con capitalización mensual. Si

el primer pago mensual es de $35,000 y los pagos sucesivos aumentarán $600.00 cada

mes, encuentre la cantidad de dinero que la compañía Alfa &Omega pagará.

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Monto

del

conjunto

$35,000.00 35,600 36,200 36,800 37,400 38,000 38,600……….….. Sucesivamente hasta

564

VALOR FUTURO

Datos:

RP1: $35,000.00

Ga: $600.00

n: 10

i/m: 20% capitalizable: .20/12: .016666

( ⁄) [( ⁄ )

⁄

] ⁄

( (

)) [

]

( ) *

+

[ ]

VALOR ACTUAL

Datos:

RP: $35,000.00

Ga: $600.00

n: 10

i/m: 20% capitalizable: .20/12: .0166666

⌈

⌉ ⌈(

)

⌉ ⌈

⌉ (

)

565

[( (

))[

]

]

( )

*( ) *

+

+

( )

[ [ ] ] ( )

[ ] ( )

[ ] 0.847645847

566

GRADIENTES GEOMÉTRICOS

Serie de cuotas (rentas) periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada periodo. A esto se le llama gradiente geométrico. PROBLEMA 1.-

Catalina Creel desea conocer el monto acumulado de una inversión de 18 mensualidades (cuotas anticipadas), las que crecen en forma aritmética a razón Gg=4.3%; con una tasa nominal del 27% capitalizable mensualmente, siendo su primer deposito de $2,700.00 ¿Cuál sería el monto de la inversión al terminar el plazo?

Cuotas Anticipadas (Prepagables) con Gg:

Datos: n = 18 mensualidades Mgg=?

i= 27% cap. mensual = 0.00225 mensual Rp=$2,700.00 Gg = 4.3%

Depósitos a

inicio de mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …………….. 18

Monto del

conjunto

depósitos del

fondo de

inversión

567

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

18 18(1 .27 /12) (1 .043)$2,700.00(1 .27 /12)

(.27 /12) .043g

Mg

18 18(1.0225) (1.043)$2,700.00(1.0225)

(.0225) .043g

Mg

1.492587156 2.133622348$2,760.75

.0205g

Mg

.641035192$2,760.75

.0205g

Mg

$2,760.75 31.27000937gMg

$86,328.68gMg

TABLA DE DESPEJES

Valor Actual del Rp

Valor de “n” plazo

Fórmula original:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

Despeje:

1(1 / ) (1 )

(1 / )( / )

g

n n

MgRp

i m Ggi m

i m Gg

Datos: n = 18 mensualidades Mgg=$86,328.68 i= 27% cap. mensual Rp=? Gg = 4.3%

Fórmula:

1

1 1 / *( / ) 01 /

x x MgaGg i m i m Gg

Rp i m

Se tiene que satisfacer la fórmula:

$86,328.678361 .043 1 .27 /12 *(.27 /12 .043) 0

$2,700.00 1 .27 /12

x x

A prueba y error utilizamos para “x”= 17, 19 respectivamente y obtenemos:

17 17 $86,328.678361 .043 1 .27 /12 *(.27 /12 .043) 0

$2,700.00 1 .27 /12

(2.045659011) 1.45974294 31.27000937*( .0205) 0

(2.045659011) 1.45974294 .641035192 .055119121

568

118 18

$86,328.67836

(1 .27 /12) (1 .043)(1 .27 /12)

(.27 /12) .043

Rp

118 18

$86,328.67836

(1.0225) (1.043)(1.0225)

(.0225) .043

Rp

1

$86,328.67836

1.492587156 2.133622348(1.0225)

.0205

Rp

1

$86,328.67836

.641035192(1.0225)

.0205

Rp

1

$86,328.67836

(1.0225) 31.27000937Rp

1

$86,328.67836

31.97358458Rp

1

$2,700.00 Rp

19 19 $86,328.678361 .043 1 .27 /12 *(.27 /12 .043) 0

$2,700.00 1 .27 /12

$86,328.67836

2.225368109 1.526170367 *( .0205) 02,760.75

2.225368109 1.526170367 31.27000764*( .0205) 0

2.225368109 1.526170367 .641035156 .058162586

“n” está entre 17 y 19

Cuotas Pospagables (vencidas) con Gg:

Datos:

n = 18 mensualidades Mgg=?

i= 27% cap. mensual = 0.0225 mensual Rp=$2,700.00 Gg = 4.3%

569

De la Fórmula:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

Se Modifica:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp

i m Gg

18 18(1 .27 /12) (1 .043)$2,700.00

(.27 /12) .043g

Mg

18 18(1.0225) (1.043)$2,700.00

(.0225) .043g

Mg

(1.492587156 2.133622348$2,700.00

.0205g

Mg

.641035192$2,700.00

.0205g

Mg

$2,700.00 31.27000937gMg

$84,429.02529g

Mg

TABLA DE DESPEJES

Valor Actual Rp1


Fórmula original:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp

i m Gg

Despeje:

1(1 / ) (1 )

( / )

g

n n

MgRp

i m Gg

i m Gg

Fórmula Original:

1

1 1 / *( / ) 0x x Mga

Gg i m i m GgRp


$84, 429.02529

1 .043 1 .27 /12 *(.27 /12 .043) 0$2,700.00

x x


570

Datos: n = 18 mensualidades

Mgg= 84,429.02529

i= 27% nominal con capitalización mensual = 0.0225 mensual Rp=? Gg = 4.3%

118 18

$84,429.02529

(1 .27 /12) (1 .043)

(.27 /12) .043

Rp

118 18

$84,429.02529

(1.0225) (1.043)

(.0225) .043

Rp

1

$84,429.02529

1.492587156 2.133622348

.0205

Rp

1

$84,429.02529

.641035192

.0205

Rp

1

$84,429.02529

31.27000937Rp

1

$2,700.00 Rp

17 17 $84, 429.02529

1 .043 1 .27 /12 *(.27 /12 .043) 0$2,700.00

(2.045659011) 1.45974294 31.27000948*( .0205) 0

(2.045659011) 1.45974294 .641035194 .055119123

19 19 $84,429.02529

1 .043 1 .27 /12 *(.27 /12 .043) 0$2,700.00

$84,429.02529

2.225368109 1.526170367 *( .0205) 02,700.00

2.225368109 1.526170367 31.27000948*( .0205) 0

2.225368109 1.526170367 .641035194 .062629245


571

PROBLEMA 2.-

Un padre de familia ha destinado cierta cantidad de dinero para que su hijo estudie

una carrera universitaria que dura 9 semestres y debido a la inflación, la colegiatura

aumenta el 3.5% semestral. Si el padre deposita el dinero en una cuenta bancaria que

paga el 10% semestral capitalizable cada semestre, ¿qué cantidad de dinero

acumulará y que será similar a lo que tenga que pagar por el estudio de su bebe? Lo

anterior, considerando que la colegiatura correspondiente al primer semestre es de

$24,870.00

Cuotas Anticipadas (Prepagables) con Gg:

Datos: n = 9 Mgg=?

i= 10% semestral Rp=$24,870.00 Gg = 3.5% semestral

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

Depósitos a

inicio de mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Monto del conjunto

depósitos del fondo

de inversión

572

9 9(1 0.10) (1 0.035)$24,870(1 0.10)

(0.10) 0.035gMg

(2.35794769) (1.36289735)$24,870.00(1.10)

(0.10) .035gMg

0.99505034$27,357.00

0.065gMg

$27,357.00 15.30846677gMg

$418,793.73gMg

TABLA DE DESPEJES

Valor Actual del Rp


Fórmula original:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

Despeje:

1(1 / ) (1 )

(1 / )( / )

g

n n

MgRp

i m Ggi m

i m Gg

Datos: n = 9 Mgg= $418,793.73 i= 10% semestral Rp=? Gg = 3.5% semestral

19 9

$418,793.73

(1 0.10) (1 0.035)(1 0.10)

(0.10) 0.035

Rp

Fórmula original:

1

1 1 / *( / ) 01 /

x x MggGg i m i m Gg

Rp i m


$418,793.731 .035 1 .10 *(.10 .035) 0

$24,870.00 1 .10

x x


8 8 $418,793.731 .035 1 .10 *(.10 .035) 0

$24,870.00 1 .10

(1.316809037) 2.14358881 15.30846694*(0.065) 0

(1.316809037) 2.14358881 0.995050351 0

(1.316809037) 2.14358881 0.995050351 1.821830124

573

1

$418,793.73

(2.35794769) (1.36289735)(1.10)

(0.10) .035

Rp

1

$418,793.73

0.99505034(1.10)

0.065

Rp

1

$418,793.73

(1.10)(15.30846677)Rp

1

$418,793.73

(16.83931345)Rp

10 10 $418,793.731 .035 1 .10 *(.10 .035) 0

$24,870.00 1 .10

$418,793.73

1.410598761 2.59374246 *(.10 .035) 0$27,357.00

1.410598761 2.59374246 15.30846694*(0.065) 0

1.410598761 2.59374246 0.995050351 0 1.410598761 2.59374246 0.995050351 2.17819405 COMPROBACIÓN

9 9 $418,793.731 .035 1 .10 *(.10 .035) 0

$24,870.00 1 .10

(1.362897353) 2.357947691 15.30846694*(0.065) 0

(1.3628977353) 2.357947691 0.9950503338 0

0.995049956 0.9950503338 0


Datos:

n = 9 Mgg=?

i= 10% semestral Rp=$24,870.00 Gg = 3.5% semestral

De la Fórmula:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

574

Se Modifica:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp

i m Gg

9 9(1 .10) (1 0.035)$24,870.00

(.10) 0.035gMg

(2.35794769) (1.36289735)$24,870.00

(0.10) .035gMg

0.99505034$24,870.00

0.065gMg

$24,870.00 15.30846677gMg

$380,721.57gMg

TABLA DE DESPEJES

Valor Actual Rp1


Fórmula original:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp

i m Gg

Despeje:

1(1 / ) (1 )

( / )

g

n n

MgRp

i m Gg

i m Gg

Datos: n = 9 Mgg=$380,721.57

i= 10% semestral Rp=? Gg = 3.5%

Fórmula Original :

1

1 1 / *( / ) 0x x Mgg

Gg i m i m GgRp


$380,721.57

1 .035 1 .10 *(.10 .035) 0$24,870.00

x x


8 8 $380,721.57

1 .035 1 .10 *(.10 .035) 0$24,870.00

1.316809037 2.14358881 15.30846683*(0.065) 0

0.826779773 0.995050344 0.168270571

575

19 9

$380,721.57

(1 .10) (1 .035)

(.10) .035

Rp

1

$380,721.57

(2.357947691) (1.362897353)

0.065

Rp

1

$380,721.57

(0.995050338)

0.065

Rp

1

$380,721.57

15.30846674Rp

1

$380,721.57

15.30846674Rp

1$24,870.00 Rp

10 10 $380,721.57

1 .035 1 .10 *(.10 .035) 0$24,870.00

(1.410508761) 2.59374246 15.38046683*(0.065) 0

1.183233699 0.999730344) 0.183503355


576

PROBLEMA 3.-

Grupo Apolo creó un fondo de inversión el cual esta constituido por 15

depósitos mensuales que crecen a una tasa de Gg: 7.6%, siendo el importe

del primer depósito de $2,000.00. Dichos depósitos tiene una tasa de

interés del 15% nominal capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto

acumulado que obtendrá Grupo Apolo?

Cuotas Anticipadas (Prepagables) con Gg: Datos: n = 15 depósitos Mgg=?

“i”= 15% nominal que es igual a: i/m= ⁄ (Tasa de interés mensual

capitalizable en m periodos por año)

Rp=$2,000.00

Gg = 7.6%

Depósitos

a inicio

de mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …………….. 15

Monto del

conjunto

depósitos del

fondo de

inversión

577

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

(

⁄ ) [( ⁄ ) ( )

⁄

]

( ) *( ) ( )

+

( ) [( )

]

( ) [

]

( )[ ]

( )

TABLA DE DESPEJES

Valor Actual del Rp


Fórmula original:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

Despeje:

1(1 / ) (1 )

(1 / )( / )

g

n n

MgRp

i m Ggi m

i m Gg

Datos:

Fórmula Original:

1

1 1 / *( / ) 01 /

x x MggGg i m i m Gg

Rp i m


$57,261.411 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0

$2,000 1 .15 /12

x x


14 14 $57,261.411 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0

$2,000 1 .15 /12

(2.78850738) 1.18995474 28.27723951*( .0635) 0

578

⁄ ⁄ (Tasa de interés nominal

capitalizable en m periodos por año)

( ⁄ ) [( ⁄ ) ( )

⁄

]

( ) *( ) ( )

+

( ) *( )

+

( ) *

+

( )[ ]

(2.78850738) 1.18995474 1.795604709 0.197052069

1.59855264 1.795604709 0.197052069

16 16 $57,261.411 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0

$2,000 1 .15 /12

(3.228466923) 1.219889548 28.27723951*( .0635) 0

2.008577375 (1.795604709) 0.212972666


COMPROBACIÓN

15 15 $57,261.411 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0

$2,000 1 .15 /12

(3.000433944) 1.204829183 28.27723951*( .0635) 0

(1.79560476) (1.79560471) 0.00000005

579


Datos:

Rp1= $2,000.00 Gg = 7.6% n = número de depósitos 15 m = capitalización mensual ⁄ ⁄ (Tasa de interés nominal capitalizable en m periodos por año)

De la Fórmula:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1 / )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp i m

i m Gg

Se Modifica:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp

i m Gg

[( ⁄ ) ( )

⁄

]

*( ) ( )

+

[( )

]

[

]

( )

TABLA DE DESPEJES

Valor Actual Rp1 Valor de “n” plazo Fórmula original:

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )

( / )

n n

g

i m GgMg Rp

i m Gg

Fórmula Original

1

1 1 / *( / ) 0x x Mgg

Gg i m i m GgRp


$56,554.48

1 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0$2,000

x x

580

Despeje:

1(1 / ) (1 )

( / )

g

n n

MgRp

i m Gg

i m Gg

Datos:

⁄ ⁄

[( ⁄ ) ( )

⁄

]

*( ) ( )

+

[( )

]

[

]

[ ]


14 14 $56,554.48

1 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0$2,000

(2.78850738) 1.18995474 28.27724*( .0635) 0

(2.78850738) 1.18995474 1.79560474 0.1970521

16 16 $56,554.48

1 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0$2,000

(3.228466923) (1.219889548) 28.27724*( .0635) 0

3.228466923 1.219889548 1.79560474 0.212972635


COMPROBACIÓN

15 15 $56,554.481 .076 1 .15 /12 *(.15 /12 .076) 0

$2,000 1 .15 /12

$56,554.48

3.000433944 1.204829183 *(0.0125 .076) 0$2,025

(3.000433944) 1.204829183 28.27723951*( .0635) 0

1.79560476 28.27723951*( .0635) 0

(1.79560476) (1.79560471) 0.00000005

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