Ejercicios de Momentos

Mecánica Racional

CUERPOS RIGIDOS-SISTEMAS EQUIVALENTES FUERZAS/MOMENTO

3.1. En la figura, la masa de la clavadista en de 80 kg y la masa del trampolín es de 45 kg.

(a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del trampolín.(b) Determine las 5 reacciones en los soportes A y B.

Solución: Efectuando el diagrama de cuerpo libre.

(a)

(b) Datos Adicionales

ING. EDUARDO F. AZABACHE VÁSQUEZ

WD

1.2m

2.4m

4.6m

Wp

WD1.2m

2.4m

4.6m

AyAx

A1 Wp

111

Mecánica Racional

Aplicando momento de una fuerza con respecto al punto A

WP = 80Kg

WD = 45Kg

Aplicando momento de una fuerza con respecto al punto A

M=0

By(1.2) – WD(2.4) – WP(4.6) = 0

BY = 45(2.4) + 80(4.6)

1.2 By = 396.67Kg ....(1)

SFy = 0

-Ay – WD – WP + By = 0 Ay = By – (Wp + WD)

Ay = 396.67 – (80+45) Ay = 271.67Kg ...(2)

Aplicando sumatoria de fuerzas con respecto a sus ejes x, y

Fx = 0 Ax = 0

Ax = 0Kg Ay = 271.67Kg

By = 396.67Kg

3.3. En la figura, el peso total de la carretilla y su carga es W = 100 lb.

(a) Si F = 0, ¿Qué valor tienen las reacciones verticales en A y B?(b) ¿Qué fuerza F es necesaria para levantar del suelo el soporte en

A?

ING. EDUARDO F. AZABACHE VÁSQUEZ 112

Mecánica Racional

Solución: Efectuando

(a) Por momento en el punto B; obtenemos la reacción en A:

MB = 0 100(14) – A(26) = 0 A =53.8lb

Fy = 0 A + B = 100 53.8 + B = 100 B = 46.2Lb

(b) Por momento en el punto B; obtenemos la fuerza:

MB = 0 100(14) – F(66) = 0 F = 21.2lb

3.5. Considere la viga del problema mostrada. Determine el intervalo de valores de la distancia x para la cual la viga puede estar en equilibrio en la posición mostrada.


40pulg

W

AB

12pulg 14pulg

113

Mecánica Racional

Solución: Efectuando haciendo un diagrama de cuerpo libre.

MA = 0 2T – x(100) + 8(BCos45º) = 0 (1)

Fy = 0 A Cos 45º + T – 100 + BCos45º = 0 (2)

MB = 0 -100(8 - x) + 6T+8ACos45º=0 (3)

Fx = 0 Asen45º - BSen 45º = 0 A = B

Luego de (1) y (3)

2T – x(100) = -800 + 100x + 6T -200x = -800 + 4T

x = 4 – T/50

Luego “T” puede ser 2 T en distancia y T = 100 lb y

T = 0 lb

X = 4 – 100/50 X = 2


45º45º

A B

2 pie

x

8 pie

100 lb

ASen45º

T

100lb

ACos45º BCos45º

s45º

B

BSen45º

x

2

114

Mecánica Racional

X = 4 – 0/50 :. 2 < x < 4 X = 4

3.4. El operador robótico mostrado está en reposo. Los pesos de los brazos AB y BC actúan en sus puntos medios. Los cosenos directores de la línea central del brazo AB son: cosQx = 0,500; cosQy = 0.866; cosQz = 0, y los cosenos directores de la línea central del brazo BC son: cosQx = 0,707; cosQy = 0.619; cosQz = 0,342. El soporte en A se comporta como un empotramiento. ¿Qué valor tienen las reacciones en A?

Solución: Efectuando el diagrama de cuerpo libre.

Fx = 0 Ax = 0

Fy = 0 Ay – 200 – 160 Ay = 360N

SMA = 0 AB = (0.15i + 0.259j)N

BC = (0.212i + 0.186 – 0.103k)

SMA = rAB x 200 + rACx160 + Nx + My + Mz = 0

0 = (0.15i + 0.259jy)x(-200j) + (0.212i + 0.186 – 0.103k)x(-160) +30k + 16.4i + 0j + 33.93k +

Mx + My + Mz = 0

MxA = -16.41N.m MyA = 0 MzA = -63.9N-m = Mz


160N

200NMz

My

Mx

A

B

y

x

115

y

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3.5. El cable CD de la grúa de la figura está unido a un cuerpo en reposo D. La guía esta soportada por cojinetes E y F y el cable horizontal AB. La tensión en el cable AB es de 8KN.

Determine la tensión en el cable CD.Estrategia: Como las reacciones ejercidas sobre la grúa por los cojinetes no generan momentos respecto al eje Z, la suma de los momentos respecto a este eje debidos a las fuerzas ejercidas sobre la grúa por los cables AB y CD, es igual a cero.

Solución:

Hallamos las coordenadas: C(3,6,0); D(6,0,-3)

Si sabemos: TAB = -8000i; TCP = TCP((3i-6j-3k)/7.348)

Si Mz = (SMo.k)k = 0 /TCD/ = 6535.948N

3.10. Para la Fig. mostrada:(a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la placa de 50 lb y explique

porque es estáticamente indeterminada.(b) Determine tantas reacciones en A y B como sea posible.


y

3m2m2m

zE

A

B

F D

C

116

Mecánica Racional

Solución: Efectuando

* Σ Fx = 0 * Σ Fy = 0

Ax + Bx Ay + By – 50 lb = 0 Ay + By = 50 lb

* Σ MA = 0 Bx(20) – 50 (20) =0 Bx = 50 lb ... Ax = - Bx Ax = - 50 lb

3.6. Un ingeniero determina el que le comportamiento fallará si la magnitud de la fuerza total ejercida sobre él excede de 1000 lb a si la magnitud del par ejercido cobre él excede de 3000 lb-pie. Con base en estos criterios, ¿cuál es la fuerza máxima F que se puede aplicar?


y

A

B

50lb

x

12pulg

8pulg

y

Ax

Bx

50lb

x

12pulg

8pulg

Ay

By

117

Mecánica Racional

* Se tiene que : F > 1000 Lb y Σ MA

= 3000

F = 849 Lb

3.13. La placa rectangular mostrada se mantiene en equilibrio por medio de la fuerza horizontal F. El peso W actúa en el punto medio de la placa. Demuestre que F está dada por la ecuación:

ΣMA = 0 W sen α (h/2) – w cos α (b/2) + F cos α (h) + F sen α (b) = 0

F (h cos α + b sen α) = W

3.15. Dos cojinetes de bolas lisos, cada uno de un peso w y un radio r se colocan en un cilindro abierto en ambos extremos. El conjunto descansa en una superficie horizontal, como se ve en la figura. Si el cilindro tiene un peso W y un radio R<2r, calcule:


Mecánica Racional

(a) La fuerza ejercida por cada cuerda sobre el cilindro.(b) El valor mínimo de W que evitará que el cilindro no se vuelque.(c) ¿Podría volcarse el cilindro si estuviera cerrado en el fondo?

= reacciones internas x2 = (2r)2 – (2R – 2r)2

x = x =

x = ΣFx = 0 F1 = F3

ΣFy = 0 2W = F2

ΣMA = 0 -W (2R - 2r) + F3 ( ) = 0

F3 =

F3 = F1 =

3.16. La barra AB, de peso despreciable, está bajo el efecto de una fuerza vertical de 300 kg de una horizontal de 150 kg, aplicadas como se ve en la figura. Encontrar el ángulo θ para el cual hay equilibrio. Supongo que las superficies de los planos son lisas.


Mecánica Racional

ΣFy = 0 N1 cos 63.43º - 300 + N2 cos 45º = 0 …………………(1) ΣFx = 0 N1 sen 63.43º + 150 – N2 sen 45º = 0 …………………(2)

(1) y (2) :

N1 = 111.86 kg N2 = 353.60 kg

ΣMB = 0 -300 x 1.2 cos θ + 150x 2.4 sen θ + N2 x 3.6 sen (45 - θ) = 0-360 cos θ + 360 sen θ + 353.60 x 3.6 sen (45 – θ) = 0

360 (sen θ – cos θ) + 1272.96 sen (45 – θ) = 0360 (sen θ – cos θ) + 1272.96 (sen 45 x cos θ – cos 45 x sen θ) =

0360 sen θ – 360 cos θ + 900 cos θ – 900 sen θ = 0

540 cos θ = 540 sen θ

= 1

tg = 1θ = arctg (1) θ = 45º

3.19. En el balancín de la figura, el momento de F con respecto a O equilibra el de P también con respecto a O. Encontrar F.

Tg α = ½ φ + θ + x = 90ºα = arctg (1/2) x = 90-(37º

+37º )α = 26.56 º x = 16º


Mecánica Racional

Σ Mo = 0 -(P cos 16º) (12.5) + F cos α (15) = 0

F =

F = F = 112 kg

3.21. Determine las reacciones en los soportes de la viga.

Solución:


Mecánica Racional

3.22. Determine las reacciones en el perno A y la fuerza sobre el cilindro hidráulico del camión de desechos.

Solución:

ΣMA = 05000(3cos20) – RBY (4cos20) –RBX (4sen20) = 05000(3cos20) = RB (sen30) (cos20) + RB (cos30) (4sen20)RB = 4600.06 lb.ΣFX = 0-RAX + RBX = 0 RA = 4600.06cos30 = 3983.72 lb.ΣFY = 0RB sen30 + RAy – 5000 = 0 RAy = 2700 lb.

3.24. Determine las reacciones sobre la tubería uniforme en A, B y C.

Solución:


Mecánica Racional

ΣMA = 0 RB (0.2cos60) - 100(1.75cos30) + RC (3) = 0 RB + 30RC = 8487.05.....1ΣFX = 0 RA - RC cos60 = 0 RC = 2 RA...............2ΣFy = 0 RB – 100 + RC sen60 = 0 RB = 980 – 0.866RC......3Respuesta:

RC = 257.67 N RA = 515.35 N RB = 756.85 N

3.29. Determine las reacciones en el rodamiento B, la cuña C, y donde la viga hace contacto con el plano liso en A. no tome en cuenta el peso de la viga.

Solución:

ΣMA = 0 12RC – 800(6) sen60 + 4RB – 500(4) = 0 RB + 3RC = 1539.23ΣFX = 0 RAsenθ – 800cos60 = 0 RA = 666.67 NΣFy = 0 RAcosθ – 500 – 800sen60 + RC + RB = 0 RC + RB = 659.48Resultados:RB = 219.61N RC = 439.87N

3.40. Determine las reacciones sobre la viga en A y B.

Solución:


Mecánica Racional

ΣMA = 0-20(3)-20(6)-20(9)-20(12)-4(1.7173)(15) + RB(9) = 780X

RB = 78.21 KN.ΣFX = 0 AX – 8COS60 = 0 AX = 4 KN.ΣFY = 0 RB – 20 – 20 – 20 – 20 – 8(1.7173) + AY = 0 AY = 15.64 KN.

3.46. El anclaje soporta las dos cargas verticales. Desprecie el tamaño de los collarines en D y B y el espesor del anclaje, y calcule las componentes vertical y horizontal de las fuerzas en el punto a y la fuerza en el cable CD. Fije el valor de F1= 800N y F2= 350N.

Solución:ΣMA = 0Tsenθ = 0T = 781.63 NΣFX = 0 RX – Tcosθ = 0 RX = 625.31 NΣFY = 0 RY – 800 – 350 + Tsenθ = 0 RY = 681.02 N

3.47. Se espera que el anclaje soporte las dos cargas verticales F1 Y F2. si el cable CB puede sostener una carga máxima de 1500 libras antes de que se rompa, determine las cargas críticas si F1= 2F2. También ¿cuál es la magnitud de la reacción máxima en el perno A?


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Solución:ΣMA = 0-2F2 = 0F2 = 724.49 N F1 = 1448.98 N

ΣFX = 0 RX – 1500 = 0 RX = 1200 N

ΣFY = 0 RY + 1500 – 2(724.49) – 1448.98 = 0 RY = 1997.94 N

3.52. El lindero tiene un peso de 175 libras, centro de masa en G, y está parado en la posición mostrada. Si se suelta de las manos del poste, determine la magnitud de la fuerza resultante que sus pies deben ejercer sobre el poste en B y la fuerza horizontal sobre el anillo en A. Suponga que el poste y su cintura tienen el mismo diámetro, de tal forma que ambos lados del cinturón son paralelos.

Solución:ΣMA = 0 3 = 175 RA = 101.04 lb.ΣFX = 0 -RBX + 104.04 = 0 RBX = 101.04 lb.ΣFY = 0 RBY = 175 RB

2 = RBX2 + RBY

2 RB = 202.07 lb.


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3.57. Determine la distancia d donde se deberá ubicar la carga P para el equilibrio de la barra lisa en la posición mostrada. Desprecie el peso de la barra.

Solución:

ΣMA = 0 =0

ΣFY = 0 Rcosθ = P

Despejando R e igualando: d =


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