Ejercicio n 1

Estudiar y representar la funcin f(x) = !!!!!!!!

a) Dominio f(x)

!! 4 = 0 (!! 2) (!! + 2) = 0 x = 2 Domin f(x) = 2 , 2

b) Simetra f(x)

f(-x) = (!!)!!!(!!)!!! = !!!!!!!!! por lo tanto no existe simetra

c) Puntos de Corte Eje x

Cuando la funcin corta al eje x y = 0

Por lo que !!!!!!!! = 0 Resolviendo x = -1,185

!!" (-1,185 ; 0)

d) Puntos de Corte Eje y Cuando la funcin corta al eje y x = 0 Por lo que f(0) = !!! = - !! !!" (0 ; -1,25)

e) Asntotas Verticales Si existen asntotas verticales son en los puntos donde la funcin no est definida, es decir en x = 2 y en x = 2 En x = ! limx 2 ! ( !!+!!!! ) = limx 2 ! ( !!+!!!! ) = + En x = ! limx 2 ! ( !!+!!!! ) = limx 2 ! ( !!+!!!! ) = + En ambos casos existen asntotas verticales

f) Asntota Horizontal

Si existen asntotas horizontales debe de tener en los valores distintos de de los siguientes lmites. a) primero vemos cuando x -

limx ( !!+!!!! ) = limx ( (!)!+!(!)!! ) = limx ( !!+!!!! ) = 0 b) ahora vemos cuando x limx ( !!+!!!! ) = 0 Cuando la ! , existe una asntota horizontal en y = 0

g) Crecimiento y Decrecimiento Lo que hacemos es hacer != 0, y los valores que nos salen nos marcan los puntos donde hay que estudiar el crecimiento y decrecimiento. ! = x! + 5x! 4 ! = 3x! 20!! 36!!(x! 4)! ! = 0 ! = 0 x = 0 Estudiamos el valor de ! en los siguientes intervalos: ( - , 2 ) ! < 0 por lo tanto la funcin decrece ( 2 , 0 ) ! < 0 por lo tanto la funcin decrece ( 0 , 2 ) ! < 0 por lo tanto la funcin decrece ( 2 , ) ! < 0 por lo tanto la funcin decrece Es decir la funcin decrece en todo su dominio.

h) Mximo y Mnimo Con el valor que hemos obtenido en ! = 0 x = 0, calculamos y ! = 3x! 20!! 36!!(x! 4)! ! = 18x! 60!! 72x (x! 4)! 2 (x! 4) 4!! (3x! 20!! 36!!)(x! 4)! f(0) = 0, como al sustituir x=0, la segunda derivada me ha salido igual a 0, en ese punto no tenemos ni mximo ni mnimo, lo que previsiblemente tenemos es un punto de inflexin, que eso lo veremos en la tercera derivada.

i) Concavidad y Convexidad Si igualamos a cero la segunda derivada obtenemos como nico resultado el valor de x=0, y si estudiamos los intervalos del dominio y sustituimos en f(x), si nos sale mayor que cero es convexa y si nos sale menor que cero es cncava. En este caso coincide los intervalos de estudio con los del crecimiento y decrecimiento. ( - , 2 ) ! ! < 0 la funcin es concava ( 2 , 0 ) ! ! > 0 la funcin es convexa ( 0 , 2 ) !(!) < 0 la funcin es concava ( 2 , ) ! ! > 0 la funcin es convexa

j) Punto de Inflexin Si calculamos la derivada tercera, y sustituimos en valor que obtuvimos de la derivada segunda igual a cero, es decir x=0, obtenemos que f 0,, por lo tanto podemos asegurar que en el punto P (0,

!!! ) tenemos un punto de inflexin.

f(x) = !!!!!!!!