Ejercicios de trigonometra.
Demostracin de igualdades

Introduccin

La trigonometra de 1 de Bachillerato ofrece una serie de ejercicios que nos piden demostrar ciertas expresiones trigonomtricas complejas, siendo un ejercicio adecuado para el razonamiento simblico y la elaboracin de demostraciones, frecuentes en las matemticas del Bachillerato.Se presenta aqu una serie de estos ejercicios desarrollados.

Ejercicios de demostracin

En ocasiones se nos pedir demostrar que una expresin trigonomtrica compleja es igual a otra, a veces totalmente distinta comparada con la primera, como la que se ilustra en la portada de esta presentacin.Aqu aprenderemos de forma prctica a resolver algunos de estos ejercicios. Lo haremos definiendo una estrategia a partir de nuestros conocimientos de trigonometra y de resolucin de ecuaciones.

Estrategia

Dada una expresin, primero nos fijamos en cual es el miembro de ella ms complejo. Aquel que tenga ms operaciones, ngulos dobles, cocientes, etc.

Nos fijamos en las expresiones trigonomtricas; si vemos la razn trigonomtrica de un ngulo doble, suma o resta de ngulos, etc. hemos de desarrollarlo hasta dejarlo como una expresin que contenga, nicamente, senos y cosenos de los ngulos dados.Por ejemplo, si tenemos una expresin con un sen(2a) buscamos su definicin en funcin de a. En este caso sen(2a)=2sen(a)cos(a).

Una vez desarrollada la expresin, lo que hacemos es simplificarla. Para ello hemos de sacar factor comn, agrupar y reducir ... los mismos pasos que realizbamos para simplificar ecuaciones, teniendo en cuentaq ue nuestras variables sern razones trigonomtricas, productos de ellas, sumas de estas etc.

A veces, podremos simplificar las expresiones haciendo uso de las razones fundamentales de la trigonometra (definicin de tangente de un ngulo y que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ngulo es 1).

En los siguientes ejercicios pondremos a prueba esta estrategia y la aplicaremos a algunos casos concretos. Su nivel de dificultad es variable, pero en todos ellos aparecer una serie de observaciones destinadas a la correcta realizacin del ejercicio y la solucin detallada del mismo. Se ha elegido mostrar las soluciones obtenidas en cada ejercicio con una tipografa de diferentes colores, indicando cada uno una operacin distinta a realizar.

1. Demostrar la siguiente expresin

Observaciones- Desarrollamos las razones trigonomtricas de la suma y la resta de los ngulos a y b, y hemos de recordar la definicin de tangente de un ngulo. Posteriormente simplificaremos

2. Demostrar la siguiente expresin

Observaciones- Desarrollamos el miembro de la izquierda de esta expresin, ya que el de la derecha ya est en funcin de a. Hemos de expresar las razones trigonomtricas del ngulo doble de a en funcin de coseno y seno de a. Posteriormente sacamos factor comn.

3. Demostrar la siguiente expresin

Observaciones- Desarrollamos el miembro de la izquierda. Aqu hemos de tener en mente la definicin de coseno de un ngulo mitad. Adems, debemos recordar la propiedad distributiva de la multiplicacin.

4. Demostrar la siguiente expresin

Observaciones- Desarrollamos el miembro de la izquierda. Para ello, hacemos uso de la definicin de coseno de la resta de dos ngulos. Posteriormente hemos de simplificar las dos expresiones dividiendo por cos(x)cos(y).

5. Demostrar la siguiente expresin

Observaciones- Desarrollamos el miembro de la izquierda. Recordamos la definicin de seno y coseno de la resta de dos ngulos. Sacamos factor comn. Cuidado con los signos.