EJERCICIOS DE VIGAS, PORTICOS....docx
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MECANICA DE SOLIDOS II
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MECANICA DE SOLIDOS II
VIGAS
1) Determinar las ecuaciones y diagramas del esfuerzo cortante y del momento
flector de la viga bi apoyada de la figura, sometida a una carga uniforme q yuna carga puntual P, tal y como se indica:
q P
A B
l /2 l /4 l /4
Solución:
btenci!n de las reacciones:
=
− −q = , = +q
∑ Mb=0
Ra× I −q1/2×3 I / 4− P1/4=0, Ra= P /4+3qI /8
3
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MECANICA DE SOLIDOS II
Determinaci!n de las fuerzas de secci!n
q
M A
Q
RA x
∑Fy= 0
R A
− q ⋅ x − Q = 0
Q = R A− q ⋅ x;→ Re cta
∑M = 0
Rb*x-q.x.x/2-M=0
M=Ra
q
M
AQ
l /2
x
R A
4
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MECANICA DE SOLIDOS II
∑Fy= 0
Rb-q*1/2-Q=0
Q = R A − q ⋅ l
;→ Constante2
∑M = 0
M = R A
⋅ x − q ⋅ ⋅ x −
2
l → Recta
4
q P
M
AQ
l /2 l /4
R Ax
∑Fy= 0
Rb-q*/2-P-Q=0
Q-Ra-Q/2-P-P/4!"*q*1/#-q*/2-P=-"*P/4-q*/#=-Rb$ constante
∑M = 0
RA*%-q*1/2&x-1/4'-P&x-"/4'$ Recta.
5
l
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MECANICA DE SOLIDOS II
⋅
Diagrama de esfuerzos cortantes
Diagrama de momentos flectores:
Deformada de la viga:
6
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MECANICA DE SOLIDOS II
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S"#$%AS A#&AD'#AS
2). %allar las fuerzas que act(an en la estructura que se muestra en la siguiente
)igura*
SOLUCION
Primero: (alla)os las eacc+ones en el ,nto y
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• )ato+a e e3as
∑ Fy=0
R D+R E= 60+120+240
R D+R E= 240
R D= 120kg
∑ MD=0
R E*3=60*0.5+120*1.5+60*2.5
R E= 120kg
R D= 120kg
= act5 ( 0.751 ) = "6.#78
9 = act5 ( 1.50.5 ) = 71.:78
= act5 ( 0.750.5 ) = :6."18
Segundo : Po el )<too e nos alla)os las e3as +ntenas.
• >?@
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∑ FH =0
FDF *cos 9 = FDA *cos
FDF *cos 71.:7 = FDA *cos "6.#7
FDF = F DA∗cos36.87
cos71.57 BBBBBBBBBBB.1
∑ FV =0
FDA *sen = 120 ! FDA *sen 9 BBBBBBBBBBB.2
Ree),la3ano 1 en 2
FDA *sen "6.#7 = 120 ! F DA∗cos36.87
cos71.57 *sen71.:7
FDA *sen "6.#7- F DA∗cos36.87
cos71.57 *sen71.:7 = 120
FDA = - 66.667 kg
FDF = - 168.699 kg
• NUD F
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∑ FH =0
FF! = 168.699*cos 9 ! FFAcos
FF! = 168.699*cos 71.:7 - FFAcos :6."1 BBBBBBBBBBB.1
∑ FV =0
FFA*sen = 16#.6*sen 9 - 60
FFA*sen :6."1 =16#.6*sen 71.:7 - 60
FFA= 120. 241 kg BBBBBBBBBBB.2
Ree),la3ano 2 en 1
FF! = 16#.6*cos 71.:7 ! FFAcos :6."1
FF! = 16#.6*cos 71.:7 ! 120. 241 *cos :6."1
FF! =120.031 kg
• NUD A
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∑ FH =0
FA" - FA! cos = 120.241* cos ! 66.667 cos
FA" - FA! cos :6."1 = 120.241* cos :6."1 ! 66.667 cos "6.#7
FA" - FA! cos :6."1 = 120.0.31BBBBBBBBBBB.1
∑ FV =0
FA! *sen = 120.241* sen D 66.667 *sen
FA! *sen :6."1 = 120.241* sen :6."1 D 66.667 sen"6.#7
FA! = 72.167 kgBBBBBBBBBBB.2
Ree),la3ano 2 en 1
FA" # 72.167 * cos :6."1 = 120.0.31
FA" = 140.062 kg
$%s s&g'&en(es )'e%s ,e %s %% son &g'%es 'e os n',os %n(e&oes o se %
%%,'% s&(&c%.
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$+'&AS
3) +a columna uniforme A- consta de una secci!n de . ft de tuboestructural cuya secci!n se muestra* a/ 'sando la f!rmula de "uler yun factor de seguridad de 0, 1alle la carga c2ntrica admisible para lacolumna y el correspondiente esfuerzo normal* b/ si la carga
permisible, 1allada en la parte a, se aplica a 3*45 in del e6e geom2tricode la columna, determine la defle7i!n 1orizontal del tope de la columna y el esfuerzo normal m87imo en la columna* $onsidere " 9 07;3<= psi*
SOLUCIÓN
+ongitud efectiva* $omo la columna tiene un e7tremo fi6o y uno libre ,su longitud efectiva es:
+e 9 0>.ft/ 9;= ft 9 ;0 in*
$arga cr?tica* 'sando la f!rmula de "uler, se escribe*
cr=π e
¿
cr= . ps
a/ $arga admisible y esfuerzo* Para un factor de seguridad 0, se tiene*
perm= cr .
perm= .
perm= . ps
b/ $arga e7c2ntrica* bs2rvese que la columna A- y su carga sonid2nticas a la mitad superior de la columna* +a defle7i!n 1orizontalser8:
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0.75∈¿[sec( π
2√ 2 )−1]Ym=e [sec( π
2 √ P
Pcr )−1]=¿
0.75∈¿¿
Ym=¿
"l m87imo esfuerzo normal se obtiene en la ecuaci!n:
m= P
A [1+ ecr 2sec(π 2 √ P
Pcr )]
1.50∈¿2
sec(π
2 √ π
2√ 2 )0.75∈¿2∈¿
¿1+¿
m=31.1 kips
3.54 ¿2 ¿
m=8.79 ksi [1+0.667∗2.252 ]=22ksi
P@#I$S
DIAG#A&AS D" )'"#BAS "C"#A "I"#AS " +S P#I$S
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;* )igura 5: convenciones de las fuerzas internas
EJEMPLOS:
;* Dibu6ar los diagramas de fuerzas internas del p!rticomostrado*
"n este e6emplo se muestra el proceso general para analizar un p!rticoplano, obtener las reacciones, dibu6ar los diagramas de cuerpo libre decada uno de los miembros y dibu6ar los diagramas de momento, cortante y fuerza a7ial* Se usar8 el elemento gr8fico de la fibra a tensi!n y laconvenci!n de dibu6ar el diagrama de momentos del lado de la fibra atensi!n*
"l primer paso en el an8lisis de una estructura es la determinaci!n delas reacciones* Aunque esta estructura tiene cuatro reacciones>inc!gnitas/ y solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio est8tico,se puede suponer con razonable l!gica que las reacciones 1orizontales
en los apoyos son iguales, es decir que:Ax = Dx = 10/2 = 5 kN
"sta 1ip!tesis, que se podr8 comprobar m8s adelante cuando sepresente el m2todo de las fuerzas para el an8lisis de estructuras1iperest8ticas, permite analizar la estructura sin mayores problemas*
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Para las dem8s reacciones, se plantea la sumatoria de momentos en A,en la estructura:
∑MA = 010x4 - 10xDy = 0
Dy = 4 kN$on los valores de las reacciones encontrados, se dibu6an los diagramas
de cuerpo libre de cada uno de los miembros y se usan las condicionesde equilibrio para cada elemento para ello se 1acen cortes en losmiembros*
)igura: diagramas de cuerpo libre con inc!gnitas, seg(n convenci!ngeneral de signos*
"n las pro7imidades de los nudos y se colocan las inc!gnitas internas de&, V, , siguiendo las convenciones adoptadas, teniendo en cuenta quela fibra >E/ quede siempre aba6o, tanto para columnas como para vigas*Se muestran en la figura 4 los diagramas de cuerpo libre con los valoresde las fuerzas internas en los e7tremos de cada elemento, obtenidosmediante las ecuaciones de equilibrio de la "st8tica, aplicadas en cadamiembro*
)igura : diagramas de cuerpo libre de los miembros del p!rtico*
$on los valores obtenidos de las fuerzas internas en los e7tremos de losmiembros del p!rtico se pueden dibu6ar los diagramas de cortante,momento y el nuevo diagrama de fuerza a7ial >que no e7ist?a en las
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vigas/ las ordenadas en las vigas se miden verticalmente y en lascolumnas 1orizontalmente para evitar confusiones se recomienda el usode colores diferentes para las vigas y las columnas*
)igura: diagramas de fuerzas internas del p!rtico*
0* Determinar el armado longitudinal de las columnas cuadradasde F3cm 7 F3cm, del p!rtico de la figura, si fc 9 0;3 Hgcm0 y )y 9 J033 Hgcm0*
Para el an8lisis estructural se puede tomar como una buena
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apro7imaci!n del efecto de la figuraci!n en el 1ormig!n armado decolumnas y vigas, al producto " * I definido mediante las siguientese7presiones:
+as reacciones de apoyo y los diagramas de momentos flectores paracada uno de los tres estados de carga son:
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