Movimiento Armónico Simple

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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 1) Escribir la ecuación del M.A.S. representado en

la gráfica.

2) Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de

resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha, determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa un desplazamiento de 0.030m. Quitamos la balanza y conectamos un deslizador de 0.50 kg al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0.020 m por una pista de aire sin fricción, lo soltamos y vemos cómo oscila.

a) Determine la constante de fuerza del resorte.

b) Calcule la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo de la oscilación.

3) Consideremos el sistema masa-resorte del ejercicio anterior, con k=200 N/m y m=0.50 kg.

Ahora sometemos el cuerpo a un desplazamiento inicial de +0.015 m y una velocidad inicial de +0.40 m/s.

a) Determinar el periodo, la amplitud y la fase inicial del movimiento.

b) Escribir las ecuaciones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en función del tiempo.

4) Un objeto cuelga de un muelle y describe un M.A.S. con una amplitud de 10 cm y 0.1 s de

período. En el instante inicial el muelle alcanza su máxima separación negativa. Deduce la ecuación del movimiento.

5) Una partícula animada de M.A.S. inicia el movimiento en el extremo positivo de su trayectoria y tarda 0.25 s en llegar al centro de la misma. La distancia entre ambas posiciones es de 20 cm. Calcular:

a) la frecuencia del movimiento,

b) la ecuación del movimiento,

c) la posición de la partícula 0.5 s después de iniciar el movimiento.

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6) Se tienen dos resortes idénticos de constante k=2.2 N/m. Del primero de ellos colgamos una masa m1=88 gr y del segundo otra masa m2=137.5 gr. Ambos resortes se estiran 3cm, se sueltan y se dejan oscilar libremente.

a) Escribir las ecuaciones del movimiento de ambas masas si las dos se ponen en movimiento a la vez.

b) Calcular la velocidad de cada una de las masas cuando pasa por la posición de equilibrio. ¿Son iguales sus energías?

c) Suponiendo que el resorte unido a la masa m1 se libera 0.2π segundos antes de que m2 empiece a oscilar, calcular la posición de m2 cuando m1 completa su primera oscilación.

7) Un muelle elástico de 10 cm tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical y descansa en

una superficie horizontal sin rozamiento. Se le aplica una fuerza de 20 N para mantenerlo estirado una longitud de 5 cm. En esta posición se suelta y oscila libremente con un período de oscilación de 4 segundos. Calcular:

a) La constante de recuperación del resorte.

b) La ecuación del movimiento vibratorio armónico resultante.

c) Las energías potencial y cinética cuando x=2cm.

d) La velocidad y aceleración máximas, indicando las elongaciones que corresponden a cada una de ellas.

8) Un péndulo está constituido por una pequeña esfera de dimensiones que consideraremos

despreciables, cuya masa es m=200 g, suspendida de un hilo inextensible y sin peso apreciable, de 2 m de largo.

a) Calcular el período para pequeñas amplitudes.

b) Supongamos que en el momento de su máxima elongación la esfera se ha elevado 20 cm por encima del plano horizontal que pasa por su posición de equilibrio. Calcular su velocidad, energía cinética y tensión del hilo cuando pase por la vertical.

c) Supongamos que al pasar por la vertical el hilo encuentra un clavo O´ situado 1 m por debajo del punto de suspensión O y normal al plano de oscilación. Describir el movimiento ulterior de la esfera.

d) Calcular el período de este péndulo, tal como se describe en el apartado anterior, para pequeñas amplitudes.

9) Se dispone de un muelle de longitud L0=20 cm. Cuando una masa M=250 g se cuelga del

muelle, su longitud se incrementa en L=40 cm. Finalmente, la masa colgante se hace oscilar después de haber estirado el muelle una longitud A=10 cm.

a) ¿Cuál es la constante de recuperación del muelle?

b) Calcular el periodo de la oscilación.

c) Calcular la posición de la masa 6.98 s después de comenzar las oscilaciones.

d) Calcular el periodo de oscilación si se hubiese colgado la misma masa M de dos muelles idénticos a éste colocados paralelamente entre si.

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10) En el laboratorio de física se dispone de los siguientes equipos: 1- Un péndulo simple consistente en una lenteja, que puede tratarse como masa puntual,

sujeta del techo por un hilo inextensible de longitud L. 2- Un bloque de masa M que puede desplazarse oscilando horizontalmente sobre un carril

sin rozamiento, que está unido a un resorte ideal de constante k. El péndulo se separa un ángulo θ0 de la vertical, y el bloque sujeto por el muelle se separa una distancia x0 de su posición de equilibrio. Ambos se liberan en el mismo instante iniciando las respectivas oscilaciones. a) ¿Cuál debe ser la masa de la lenteja del péndulo para que la energía total de los dos

osciladores sea la misma? b) Suponiendo que la masa del péndulo es la que verifica la solución correcta del apartado

anterior, calcular (en m/s) la velocidad de la lenteja y del bloque cuando ambos pasan por su posición de equilibrio.

c) ¿Cuál es la tensión del hilo del péndulo cuando pasa por la posición de equilibrio? Datos: g=9,8 m/s2, L=2,25m, θ0 =5º, M=0,125 kg, k=20 N/m, x0=0,05m

11) Dos péndulos simples de la misma longitud L que cuelgan de un eje horizontal se separan de la vertical los ángulos θ10 y θ20 en sentidos contrarios según se muestra en la figura, y después se liberan al mismo tiempo de modo que pueden oscilar libremente. a) Determinar el periodo de los péndulos y escribir la ecuación θ = θ(t) para cada uno. b) Calcular la velocidad angular de cada péndulo cuando pasa por la vertical. c) Si la masa del péndulo 1 es m, calcular la tensión del hilo cuando el péndulo pasa por la

vertical.

12) Un pequeño proyectil de masa 10g que vuela horizontalmente a velocidad 20 m/s impacta

plásticamente contra un bloque de madera de masa 190g unido a un resorte ideal de constante 500 N/m que se halla en posición horizontal. Determinar la amplitud y frecuencia de las oscilaciones producidas.

13) Un péndulo se ajusta para tener un período exacto 2 segundos, y se pone en movimiento.

Después de 20 minutos, su amplitud ha disminuido a 1/4 de su valor inicial. Si el movimiento del péndulo puede se representado por θ=θ0e

-βt cos(ωt), ¿cuál es el valor de β? Nota: e−1,386

= 1/4 14) ¿Cómo se modifica la energía mecánica de un oscilador en los siguientes casos?

a) Si se duplica la frecuencia. b) Si se duplica la masa. c) Si se duplica el periodo. d) Si se duplica la amplitud.

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15) Una partícula de 0,050 kg vibra con una amplitud de 0,40 m y una frecuencia de 25 Hz. a) ¿En qué puntos de la trayectoria la energía cinética es el 80% de la energía total? b) ¿En qué puntos la energía cinética y la energía potencial coinciden? c) ¿Cuánto vale la energía total?

16) Un muelle horizontal tiene una constante recuperadora k=48 N/m. En el extremo del muelle se

coloca una masa m=0.75kg y se estira el muelle 0.2m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar: a) el periodo de la oscilación. b) la ecuación del M.A.S. c) el (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x=-0.1 m, después de haber

pasado por el origen. d) los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en

dicho(s) instante(s). 17) Hallar el MAS resultante de la composición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia

x1=2cos(ωt+5π/4) x2=5cos(ωt+5π/3)

18) Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa 100 g y 30 cm de longitud, la varilla pasa

por el centro de dos esferas iguales de 150 g y 5 cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10 cm del eje de giro.

a) Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2.4 s, calcular la constante K de torsión del muelle.

b) Si en el instante inicial t=0 el péndulo se desplaza π/6 de la posición de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula); escribir la ecuación del M.A.S.

c) Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

19) Hallar el periodo de la oscilación de un bloque de masa m=250 g unido a los dos muelles

elásticos de la figura. Se supone que no hay rozamiento.

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20) Una barra uniforme de masa M y longitud L puede girar

libremente alrededor de un eje horizontal perpendicular a la barra y que pasa por uno sus extremos.

a) Determinar el periodo de oscilación para pequeños desplazamientos angulares.

b) Determinar el periodo de oscilación si el eje de rotación está a una distancia x del centro de masas.

c) Determinar el valor de x para que el periodo sea mínimo.

21) Se construye un péndulo físico a partir de una lenteja esférica de radio r y masa m colgada de una cuerda (ver figura). La distancia desde el centro de la esfera al punto de suspensión es L . Cuando r es mucho menor que L , este péndulo suele considerarse un péndulo simple de longitud L .

a) Demostrar que para pequeñas oscilaciones el periodo viene dado por

2

2

05

21

L

rTT +=

en donde gLT /20 π= es el periodo del péndulo simple de longitud L.

b) Demostrar que cuando r es mucho menor que L , el periodo vale aproximadamente

)5/1( 220 LrTT +≈

c) Si L=1m y r=2cm hallar el error cuando se utiliza la aproximación 0TT = para ese péndulo

¿qué tamaño deberá tener el radio de la lenteja para que el error sea del 1%?