ejercicios practicos 1
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1. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares
a. (2, 8)
r = √𝑥2 + 𝑦2 = √22 + 82 = √20 = 4,47
𝜃 = tan−1 8
2 = tan−1 4 = 75,9°
a.- Coordenadas polares (4,47, 75,9°)
b. (-5, -6)
r = √(−5)2 + (−6)2= √61 = 7,81
𝜃 = tan−1 −6
−5= tan−1 1,2 = 50°
b. -Coordenadas polares (7,81, 50°)
c. (√2 ,1
5)
r = √(√2)2
+ (1
5)
2
= √51
25= 1,42
𝜃 = tan−11
5
√2 = tan−1 1
5√2= 8°
c.- coordenadas polares (1,42, 8°)
2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar r= 1+ sin∅
Tomamos el área comprendida entre θ = 0 ; θ = π
a. A1= 2∫1
2 r2 π
0dθ
A1= 2∫1
2 (1 + sen θ)2π
o d𝜃
A1= 2∫1
2 (1 + 2 𝑠𝑒𝑛∅ + 𝑠𝑒𝑛2 𝜋
0𝜃) 𝑑𝜃
A1= ∫ 𝑑𝜃𝜋
0+ 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
0𝜃𝑑𝜃 + ∫
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
2 𝑑𝜃
𝜋
0
A1= 𝜃|0 𝜋 − 2 𝑐𝑜𝑠𝜃|0
𝜋 + 1
2𝜃 |0
𝜋 − 1
2 𝑠𝑒𝑛𝜃|0
𝜋
A1= 𝜋 − 0 − 2[cos 𝜋 − cos 0] +1
2[𝜋 − 0] −
1
2 [𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0]
A1= 𝜋 − 2(−1 − 1) +𝜋
2−
1
2(0)
A1= 𝜋 + 4 +𝜋
2
A1 = 3
2𝜋 + 4
El ejercicio anterior esta correspondido entre los 𝜃 valores
θ = π ; θ = 3
2π
𝐴2=
1
2∫ (1 + sen θ)2
32
𝜋
𝜋
𝐴2= 1
2[𝜃|𝜋
32
𝜋− 2 𝑐𝑜𝑠𝜃|𝜋
32
𝜋+
1
2𝜃|𝜋
32
𝜋−
1
2 𝑠𝑒𝑛𝜃|𝜋
32
𝜋]
𝐴2= 1
2[
3
2𝜋] − [𝑐𝑜𝑠 (
3
2𝜋) − 𝑐𝑜𝑠 𝜋]+
1
4[
3
2𝜋 − 𝜋] −
1
4[𝑠𝑒𝑛 (
3
2𝜋) 𝑠𝑒𝑛 𝜋]
𝐴2= 1
4𝜋 − 1 +
1
16𝜋 +
1
4
𝐴2=
5
16𝜋 −
3
4
3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares:
a. (2,𝜋
4)
b. (−8,3𝜋
2)
c. (−1
2,
5𝜋
4)
Nota: al momento de la realización me puede dar cuenta de que el enunciado
estaba mal por lo tanto lo realiza de tal forma: de polares a rectangulares
a. (2,𝜋
4) → 𝑟 = 2 ; 𝜃 =
𝜋
4
cos 𝜃 = 𝑥
𝑟 → 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑥 = 2 . cos (
𝜋
4) = 1,41
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑦
𝑟→ 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4= 1,41
a.- coordenadas rectangulares (1,41 ; 1,41)
b. (−8,3𝜋
2)
𝑟 = −8 ; 𝜃 = 3𝜋
2
𝑥 = cos 𝜃 = −8 . cos3𝜋
2= 0
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −8 . 𝑠𝑒𝑛 3𝜋
2= 8
b.- coordenadas cartesianas (0, 8)
c. (−1
2,
5𝜋
4)
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = −1
2 𝑐𝑜𝑠 (
5𝜋
4) = 0,35
𝑦 = −1
2 𝑠𝑒𝑛 (
5𝜋
4) = 0,35
c.- coordenadas rectangulares (0,35 ; 0,35)
4. Calcular el área que encierra la cuerva de ecuación polar r = 4cos (2𝜃)
𝐴 = 2 ∫1
2𝑟2 𝑑𝜃
𝜋
0
𝐴 = ∫ (4 cos 𝜃)2 𝑑𝜃𝜋
0
𝐴 = ∫ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃𝜋
0
𝐴 = 16 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 𝜋
0
= 16 ∫ (√1 + cos 2 𝜃
2)
2𝜋
0
𝑑𝑥 = 16 ∫1 + 𝑐𝑜𝑠2
2
𝜋
0
𝑑𝜃
𝐴 = 8 ∫ (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 = 8 (∫ 𝑑𝜃𝜋
0
+ ∫ cos 2𝜃 𝑑𝜃𝜋
0
)𝜋
0
𝐴 = [𝜃|0𝜋 +
1
2𝑠𝑒𝑛2𝜃|0
𝜋]
𝐴 = [(𝜋 − 0) +1
2(𝑠𝑒𝑛2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛20)] = 8𝜋
5. Transformar la siguiente ecuación e variable polar a rectangulares r =
2cos(3𝜃)
Multiplicando ambos lados por r
𝑟(𝑟) = 𝑟(2 cos(3𝜃))
𝑟2 = 2 𝑟 𝑐𝑜𝑠(3𝜃)
Tenemos que 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 sustituyendo tenemos
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑟 cos(3𝜃)
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 = 0
𝑥2 −2
2𝑥 + 12 − 1 + 𝑦2 = 0
(𝑥 − 1)2 + 𝑦2
6. Transformar la sigues de variables rectangulares a variable polares
𝑥2 − 2𝑦2 = 4(𝑥 + 𝑦)2
𝑥2 − 2𝑦2 = 4(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝑥2 − 2𝑦2 = 4(𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦)
Tenemos que 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
x = cos𝜃 ; y = r sen𝜃
Sustituyendo en la ecuación tenemos
(𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − 2(𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = 4(𝑟2 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 4𝑟2 + 4𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟2. (𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛2𝜃) 4𝑟2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛2 = 4(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑠𝑒𝑛𝜃)