UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA CLAVE DE EXAMEN

CURSO: Matemática Básica 1 SEMESTRE: Segundo CODIGO DEL CURSO: 101 TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial FECHA DE EXAMEN: 24/09/2007 NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIO EL EXAMEN: Manuela Vidaurre NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIGITALIZÒ EL EXAMEN: Carlos Valdéz

TERCER EXAMEN PARCIAL

TEMARIO B TEMA 1(20PUNTOS) La vida media del cesio 137 es de 30 años y desaparece de acuerdo a un modelo exponencial natural. Suponga que inicialmente se tiene una muestra de 20 gr, a partir de ello, determine:

a. Una función para la masa que queda después de t años. b. ¿Cuánto quedara de la muestra después de 60 años? c. ¿Después de cuanto tiempo quedaran solo 4 gr? d. La grafica de dicha función.

TEMA 2 (20 PUNTOS) La siguiente figura, muestra la grafica de una función trigonométrica f, trazada en un periodo. Halle una formula para ella. TEMA 3 (20 PUNTOS) En los incisos a y b resuelva las ecuaciones dejando clara constancia de sus operaciones. a) 4x – 11(2x-1) + 6 = 0; b) log2 x + log4 x = 11 – log8 x TEMA 4 (20PUNTOS) Un velero con motor sale de Naples, Florida, hacia Key West, que esta a 160millas en dirección noreste. Mantiene una velocidad constante de 20 millas por hora, pero dado que hay vientos cruzados y corrientes fuertes, la tripulación encuentra, después de 4 horas que esta a 250 fuera de curso. A partir de esta información, determine:

a) ¿A que distancia esta el velero de Key West en este momento? b) ¿En que dirección debe girar el velero para corregir su rumbo? c) ¿Cuánto tiempo se agrego al viaje suponiendo que la velocidad se conserva constante

de 20mi/h? TEMA 5 (20 PUNTOS) En los incisos a y b demuestre las identidades. a) (sec2 x + tan2 x)2 = sec2 x + tan2 x b) sen Ф + 1 + cos Ф = 2 csc Ф sec4 x – tan4 x 1 + cosФ senФ

π 12

3π 4

TEMA 1 La vida media del cesio 137 es de 30 años y desaparece de acuerdo a un modelo exponencial natural. Suponga que inicialmente se tiene una muestra de 20 gr, a partir de ello, determine:

a. Una funcion para la masa que queda después de t años. b. ¿Cuánto quedara de la muestra después de 60 años? c. ¿Después de cuanto tiempo quedaran solo 4 gr? d. La grafica de dicha función.

a) Modelo exponencial: C = Co ekt donde C es la cantidad de Cesio en gramos después de algun tiempo Co es la cantidad de Cesio inicial. K es una constante Vida media del Cesio C(30) = Co1/2 Hallando k Co1/2 = Coe30k Ln (1/2) = 30k K = ln (1/2) = - 0.0231 30 Co = 20 gr R// C(t) = 20e-0.0231t

b) despues de 60 años cuanto queda de la muestra t = 60 años C(60) = ? C(60) = 20 e-0.0231(60) C(60) = 5 gr R// Después de 60 años quedan 5 gramos

c) Después de cuanto tiempo quedaran 4 gramos C(t) = 4 gr 4 = 20 e-0.0231t 4/20 = e-0.0231t Ln(1/5) = lne-0.0231t Ln(1/5) = -0.0231t T = ln (1/5) = 69.67 años -0.0231 R// Después de 69.67 años d) Grafica

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80

tiempo en años

cant

idad

de

Ces

io e

n gr

TEMA 2 La siguiente figura, muestra la grafica de una función trigonométrica f, trazada en un periodo. Halle una formula para ella. Amplitud = a a = 5 Periodo = 3/4 π - 1/12 π Periodo = 2/3 π K = 2 π/ periodo K= 2 π/(2/3) π K = 3 F(x) = 5 sen [3(x – π/12)] + 2 R// F(x) = 5 sen [3(x – π/12)] + 2

π 12

3π 4

TEMA 3 (20 PUNTOS) En los incisos a y b resuelva las ecuaciones dejando clara constancia de sus operaciones. a) 4x – 11(2x-1) + 6 = 0; b) log2 x + log4 x = 11 – log8 x a) 4x – 11(2x-1) + 6 = 0 22x – 11(2-1)(2x) + 6 = 0 22x – 11/2(2x) + 6 = 0 Sustituyendo u = 2x u2 – 11/2 u + 6 = 0 *2 2u2 – 11u + 12 = 0 u1 = 3/2 u2 = 4 sustituyendo 2x = 3/2 2x = 4 x1 = ln (3/2) = 0.584962 x2= ln4 = 2 ln 2 ln2 R// x1 = 0.584962 y x2 = 2 b) log2 x + log4 x = 11 – log8 x log2 x + log2 x + log2 x = 11 log2 22 log2 23 log2 x + 1/2 log2 x + 1/3 log2 x= 11 log2 x + log2 x1/2 + log2 x1/3 = 11 log2 (x. x1/2. x1/3) = 11 log2 (x11/6) = 11 x11/6 = 211 x = (211)6/11 x = 26 x = 64 R// x = 64

u = 11± √[(-11)2 – 4(2)(12)] = 11± √25 = 11± 5 2(2) 4 4

80 M

TEMA 4 Un velero con motor sale de Naples, Florida, hacia Key West, que esta a 160millas en direccion noreste. Mantiene una velocidad constante de 20 millas por hora, pero dado que hay vientos cruzados y corrientes fuertes, la tripulación encuentra, después de 4 horas que esta a 250 fuera de curso. A partir de esta información, determine:

a) ¿A que distancia esta el velero de Key West en este momento? b) ¿En que dirección debe girar el velero para corregir su rumbo? c) ¿Cuánto tiempo se agrego al viaje suponiendo que la velocidad se conserva constante

de 20mi/h?

V = s/t entonces s = v*t S = 20M/h * 4 h S = 80 M a) d = √[1602+802-2(80)(160)cos25] d= 93.80 M R// estan a 93.8 M de Key West

b) En que dirección debe girar sen ß = sen Ф B C sen 25o = sen Ф 93.80 160 Ф= sen-I [(160sen25o)/ 93.8] = 46.13o R// Tiene que girar a 46.13o

c) Cuanto tiempo se agrego al viaje s = v*t t = s/t t = 93.8/20 = 4.69 h tT = 4h + 4.69h = 8.69h tiempo sin desvíos t = 160/20 = 8h tiempo agregado al viaje 8.69h – 8.00h = 0.69h R// se agrego 0.69 horas al viaje

d

160 M

Ф

25o

Key West

TEMA 5 En los incisos a y b demuestre las identidades. a) (sec2 x + tan2 x)2 = sec2 x + tan2 x b) sen Ф + 1 + cos Ф = 2 csc Ф sec4 x – tan4 x 1 + cosФ senФ a) (sec2 x + tan2 x)2 = sec2 x + tan2 x sec4 x – tan4 x (sec2 x + tan2 x)2 = sec2 x + tan2 x (sec2 x + tan2 x) (sec2 x – tan2 x) (sec2 x + tan2 x) = sec2 x + tan2 x sec2 x – tan2 x = 1

(sec2 x – tan2 x) (sec2 x + tan2 x) = sec2 x + tan2 x 1 sec2 x + tan2 x = sec2 x + tan2 x R// sec2 x + tan2 x = sec2 x + tan2 x b) sen Ф + 1 + cos Ф = 2 csc Ф 1 + cosФ senФ sen2 Ф + (1 + cos Ф)2 = 2csc Ф sen Ф (1 + cos Ф) 1 – cos Ф + 1 + 2 cos Ф + cos2 Ф = 2csc Ф sen Ф (1 + cos Ф) 2 + 2cos Ф = 2csc Ф sen Ф (1 + cos Ф) 2 (1 + cos Ф) = 2csc Ф sen Ф (1 + cos Ф) 2 = 2csc Ф sen Ф R// 2csc Ф = 2csc Ф