Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a

establecido un precio de venta de $4000, $4500 y $4100 por galón respectivamente. Para la producción de estos combustibles, la compañía cuenta con una disponibilidad de 5000 galones de petróleo crudo y 7000 galones de petróleo refinado. Además se a establecido que el costo de galón de petróleo crudo es 3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la gasolina corriente debe contener 40% de petróleo crudo y 60% de petróleo refinado; la gasolina extra debe contener 30% de petróleo crudo y 70% de petróleo refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos petróleos. Plantee el modelo de programación lineal con el fin de obtener el beneficio de la empre

2.

--------------- P. CRUDO P. REFINADO

PRECIO/GALON

CORRIENTE 40% 60% $4000EXTRA 30% 70% $4500ACPM 50% 50% $4100

DISPONIBILIDAD

5000 galones

7000 galones

PRECIO/GALON $3000 $3500

->Lo primero que hacemos es definir las variables a usar en el modelo de programación lineal:

X1= Galón de gasolina corriente; X2= Galón de gasolina extra; X3= Galón de ACPM; X4= Galón de petróleo crudo; X5= Galón de petróleo refinado.

->Ahora definimos nuestra función objetivo, que es:

Zmax= 4000X1+4500X2+4100X3-(3000X4+3500X5)

->Y las restricciones a las que esta sometido nuestro problema son:

RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. CRUDO:R1= 0.4X1+0.3X2+0.5X3 ≤ 5000

RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. REFINADO:

R2= 0.6X1+0.7X2+0.5X3 ≤ 7000

RESTRICCIONES DE POSITIVIDAD:

X1,X2,X3,X4,X5 ≤ 0

2. Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de cada crudo es:Restricciones:

CRUDO 1 2 3A 80% 10% 5%B 45% 30% 20%C 30% 40% 25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:

TIPO DE GASOLINA

A B C

SUPER ≥60% ≤25% ≥10%NORMAL ≥50% ≤30% ≤15%

EURO ≤40% ≥35% ≥20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente. El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.

DEFINIMOS LAS VARIABLES:

Xij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente de los crudos.

->Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar la producción de gasolina Euro:

Zmax= XAE+XBE+XCE ->Restricciones de cantidades:

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.6 (XAS+XBS+XCS)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.25 (XAS+XBS+XCS)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.1 (XAS+XBS+XCS)

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.5 (XAN+XBN+XCN)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.3 (XAN+XBN+XCN)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≤ 0.15 (XAN+XBN+XCN)

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≤ 0.4 (XAE+XBE+XCE)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≥ 0.35 (XAE+XBE+XCE)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.2 (XAE+XBE+XCE)

->Restricción de costos diarios: 650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) ≤ 50 millones

->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

XBS+XBN+XBE ≤ 3000 barriles.

XCS+XCN+XCE ≤ 7000 barriles.

->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:

(XAS+XBS+XCS) ≥ 2000 barriles

(XAN+XBN+XCN) ≥ 2500 barriles

->Restricción de mínimo de compras de crudo A:

(XAS+XAN+XAE) ≥ 2500 barriles.

->Restricción de positividad:

Xij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

3. Una compañía produce bibliotecas y escritorios para los cuales a establecido un precio de venta por unidad de $9000 y $10000 respectivamente. Para la producción de dichos artículos, la compañía cuenta con una disponibilidad mensual de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de lija. ¿Qué cantidad de bibliotecas y escritorios se deben fabricar mensualmente, si se sabe que una biblioteca consume 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6 pliegos de papel de lija; mientras que el escritorio consume 10 metros de madera, 8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija?

Determinamos primero que todo, nuestras variables que son:

X1= Número de bibliotecas; X2= Número de escritorios.

Ahora, la función objetivo es:

Zmax=9000X1+10000X2

Restricciones:

· Restricción de cantidad de madera a emplear: 7X1+10X2 ≤ 700 m

· Restricción de cantidad de tubo a emplear: 10X1+8X2 ≤ 800 m

· Restricción de cantidad de papel de lija a emplear: 6X1+15X2 ≤ 900 pliegos

· Restricción de positividad: X1, X2 ≥ 0

4. Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de cada crudo es:

CRUDO 1 2 3A 80% 10% 5%B 45% 30% 20%C 30% 40% 25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:

TIPO DE GASOLINA

1 1 1

SUPER ≥60% ≤25% ≥10%NORMAL ≥50% ≤30% ≤15%

EURO ≤40% ≥35% ≥20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente. El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.

DEFINIMOS LAS VARIABLES: Xij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente de los crudos.

Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar la producción de gasolina Euro:

Zmax= XAE+XBE+XCE

->Restricciones de cantidades:

0,80XAS+0,45XBS+0,30XCS ≥ 0,60(XAS+XBS+XCS) 0,10XAS +0,30XBS+0,40XCS ≤ 0,25(XAS+XBS+XCS)0,05XAS+0,20XBS+0,25XCS ≥ 0,10 (XAS+XBS+XCS)0,80XAN+0,45XBN+0,30XCN ≥ 0,50(XAN+XBN+XCN)0,10XAN +0,30XBN+0,40XCN ≤ 0,30(XAN+XBN+XCN)0,05XAN+0,20XBN+0,25XCN ≤ 0,15 (XAN+XBN+XCN)0,80XAE+0,45XBE+0,30XCE ≤ 0,40(XAE+XBE+XCE) 0,10XAE +0,30XBE+0,40XCE ≥ 0,35(XAE+XBE+XCE)0,05XAE+0,20XBE+0,25XCE ≥ 0,20(XAE+XBE+XCE)

->Restricción de costos diarios:

650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) ≤ 50 millones

->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

XBS+XBN+XBE ≤ 3000 barriles.

XCS+XCN+XCE ≤ 7000 barriles.

->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:

(XAS+XBS+XCS) ≥ 2000 barriles

(XAN+XBN+XCN) ≥ 2500 barriles

->Restricción de mínimo de compras de crudo A:

(XAS+XAN+XAE) ≥ 2500 barriles.

->Restricción de positividad:

Xij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

5. PROTRAC, produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipa de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para la silvicultura, esta destinad a la industria maderera. Tanto la maquina mas grane

de la línea de equipo de excavación (E9), como la mayor de toda la línea de silvicultura (F9) son fabricadas en los mismos departamento y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de mercadotecnia de PROTRAC ha considerado que durante ese periodo será posible vender todas las E9 y F9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción pare le mes próximo. Es decir, ¿Cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de PROTRAC desea maximizar la contribución del mes entrante a las ganancias?

Se toma en cuenta los siguientes factores importantes:

El margen de contribución unitaria de PROTRAC es de $ 5000 pro cada E-9 vendida y de $4000 por cada F-9.

Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como el B.

Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tienen tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas en el departamento A y 10 en el B.

Para que la administración cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser mas allá de 10% inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas es llevan a cavo en un tercer departamento y no tiene nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinas a las pruebas no pueden ser menores que 135.

Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la lata gerencia ha decretado como política operativa que .deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas.

Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad.

Entonces tomamos como nuestras variables:

X= # máquinas E9Y= # máquinas F9.

Nuestra función objetivo será:

Zmax= 5000X + 4000Y.

Restricciones:

· 10X + 15Y ≤ 150.· 20X + 10Y ≤ 160.· 30X + 10Y ≥ 135.

· X/Y ≤ 3.· X + Y ≥ 5.· X, Y ≥ 0.

6. Problema de Dieta

El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. Se trataba hallar la manera más económica de alimentar al ejercito pero asegurando al mismo tiempo unos determinados niveles nutricionales.

Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, etc.

Ejemplo

Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente:

A B C D

M 100 - 100 200N - 100 200 100

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible?

Solución

Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En este caso:

X1: cantidad de pienso M en Kg

X2: cantidad de pienso N en Kg

Se determina la función objetivo: Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición requerida para la dieta diaria (en Kg): En el componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4

En el componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6

En el componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2

En el componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la única restricción es que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas: X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

7. Transporte de tropasUn destacamento militar formado por 50 soldados ingenieros, 36 zapadores, 22 de las fuerzas especiales,

y 120 soldados de infantería como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posición estratégica

importante. En el parque de la base se dispone de 4 tipos de vehículos A, B, C, y D, acondicionados para

transporte de tropas. El número de personas que cada vehículo puede transportar es 10, 7, 6, y 9, de la

forma en que se detalla en la siguiente tabla:

Ingenieros Zapateros Fuerzas

especiales

Infantería

A 3 2 1 4

B 1 1 2 3

C 2 1 2 1

D 3 2 3 1

El combustible necesario para que cada vehículo llegue hasta el punto de destino se estima en 160, 80,

40, y 120 litros respectivamente. Si queremos ahorrar combustible, ¿cuántos vehículos de cada tipo

habrá que utilizar para que el consumo sea el mínimo posible?


Xi: número de vehículos de cada tipo que se usen

X1: número de vehículos de tipo A

X2: número de vehículos de tipo B

X3: número de vehículos de tipo C

X4: número de vehículos de tipo D

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = 160·X1 + 80·X2 + 40·X3 + 120·X4

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de

decisión. Dichas restricciones se deducen de los soldados que deben ser transportados:

Ingenieros: 3·X1 + X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 50

Zapadores: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≥ 36

Fuerzas especiales: X1 + 2·X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 22

Infantería: 4·X1 + 3·X2 + X3 + X4 ≥ 120

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no

puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso

las restricciones son que la cantidad de vehículos no puede ser negativa y debe ser además un número

entero:

Xi ≥ 0

Xi son enteros

8. Transporte de mercancíasPara este tipo de problemas, aunque pueden ser resueltos por el método del Simplex, existe un método

específico de más fácil resolución: el método del transporte o método simplificado del Simplex para

problemas de transporte. Este método ahorra bastante tiempo y cálculos frente al método del Simplex

tradicional.

Sin embargo el problema se modela de la misma forma.

Ejemplo

Un fabricante desea despachar varias unidades de un artículo a tres tiendas T1, T2, y T3. Dispone de dos

almacenes desde donde realizar el envío, A y B. En el primero dispone de 5 unidades de este artículo y

en el segundo 10. La demanda de cada tienda es de 8, 5, y 2 unidades respectivamente. Los gastos de

transporte de un artículo desde cada almacén a cada tienda están expresados en la tabla:

T1 T2 T3

A 1 2 4

B 3 2 1

¿Cómo ha de realizar el transporte para que sea lo más económico posible?

Solución

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

Xi: número de unidades transportadas desde cada almacén a cada tienda

X1: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda T1



X4: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda T1




Minimizar Z = X1 + 2·X2 + 4·X3 + 3·X4 + 2·X5 + X6


decisión. Dichas restricciones se deducen de la disponibilidad de unidades que hay en cada almacén así

como de la demanda de cada tienda:

Disponibilidad en el almacén A: X1 + X2 + X3 = 5

Disponibilidad en el almacén B: X4 + X5 + X6 = 10

Demanda de la tienda T1: X1 + X4 = 8



Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables:

que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este

caso las restricciones son que la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser además un

número entero:

Xi ≥ 0

Xi son enteros

9. Árboles frutalesUn agricultor tiene una parcela de 640m² para dedicarla al cultivo de árboles frutales: naranjos, perales,

manzanos y limoneros. Se pregunta de qué forma debería repartir la superficie de la parcela entre las

variedades para conseguir el máximo beneficio sabiendo que:

cada naranjo necesita un mínimo de 16m², cada peral 4m², cada manzano 8m² y cada limonero

12m².

dispone de 900 horas de trabajo al año, necesitando cada naranjo 30 horas al año, cada peral 5

horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas.

a causa de la sequía, el agricultor tiene restricciones para el riego: le han asignado 200m³ de

agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m³ por cada naranjo, 1m³ por cada peral, 1m³ por cada

manzano, y 2m³ por cada limonero.

los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 € por cada naranjo, peral, manzano y limonero

respectivamente.


X1: número de naranjos

X2: número de perales

X3: número de manzanos

X4: número de limoneros


Maximizar Z = 50·X1 + 25·X2 + 20·X3 + 30·X4


decisión. Dichas restricciones se deducen de las necesidades de cada árbol de terreno, horas de trabajo

anuales, y necesidades de riego:

Necesidades de terreno: 16·X1 + 4·X2 + 8·X3 + 12·X4 ≤ 640

Necesidades de horas anuales: 30·X1 + 5·X2 + 10·X3 + 20·X4 ≤ 900

Necesidades de riego: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≤ 200

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables:

que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este

caso las restricciones son que el número de árboles no puede ser negativo y además debe ser un número

entero:

Xi ≥ 0

Xi son enteros

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